黑龍江省大慶市喇中材料——拋物線練習(xí)

1、 拋物線練習(xí)1、已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)向直線作垂線，垂足分別為，的面積分別為記為與，那么（ ）A.      B.        C.      D.2、已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)；橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F是它的一個頂點(diǎn)，且其離心率e=（1）求橢圓E的方程；（2）經(jīng)過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l1、l2，切線l1與l2相交于點(diǎn)M證明：AB

2、MF；（3）橢圓E上是否存在一點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA、MB（A、B為切點(diǎn)），使得直線AB過點(diǎn)F？若存在，求出拋物線C與切線MA、MB所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由3、已知點(diǎn)P是圓F1：（x+1）2+y2=16上任意一點(diǎn)（F1是圓心），點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對稱線段PF2的中垂線m分別與PF1、PF2交于M、N兩點(diǎn)（I）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（）直線l經(jīng)過F2，與拋物線y2=4x交于A1，A2兩點(diǎn)，與C交于B1，B2兩點(diǎn)當(dāng)以B1B2為直徑的圓經(jīng)過F1時，求|A1A2|4、已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)

3、為時，為正三角形.（）求的方程；（）若直線，且和有且只有一個公共點(diǎn)，（）證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.5、已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、是兩曲線的交點(diǎn)，若，則雙曲線的實(shí)軸長為       .6、已知拋物線，圓 （1）在拋物線上取點(diǎn)，的圓周上取一點(diǎn)，求的最小值； （2）設(shè)為拋物線上的動點(diǎn)，過作圓的兩條切線，交拋物線于、點(diǎn)，求中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍 7、已知點(diǎn)P為y軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）為定點(diǎn)，且滿足（I）求動點(diǎn)N的軌跡E的方

4、程；（II）過點(diǎn)F且斜率為k的直線，與曲線E交于兩點(diǎn)A，B，試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得成立，請說明理由， 8、已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點(diǎn)F，線段PQ為拋物線C的一條弦（1）若弦PQ過焦點(diǎn)F，求證：為定值；（2）求證：x軸的正半軸上存在定點(diǎn)M，對過點(diǎn)M的任意弦PQ，都有為定值；（3）對于（2）中的點(diǎn)M及弦PQ，設(shè)，點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上，且滿足，求N點(diǎn)坐標(biāo)9、如圖，已知拋物線C：y2=2px和M：（x4）2+y2=1，過拋物線C上一點(diǎn)H（x0，y0）（y01）作兩條直線與M相切于A、兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為（）求拋物線C的方程；（）

5、當(dāng)AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率；（）若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值10、如圖，已知拋物線，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)（I）若，求拋物線的方程；（II）若直線與軸不垂直，直線交拋物線于另一點(diǎn),直線交拋物線于另一點(diǎn).求證：直線與直線斜率之比為定值.11、已知拋物線C：y=-x2+4x-3 .（1）求拋物線C在點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B(3，0)處的切線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求拋物線C與它在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線所圍成的圖形的面積.12、如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上（）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（）過拋物線上的動點(diǎn)作拋物線的兩條切線、， 切點(diǎn)為、若、的斜率乘積為，且，求

6、的取值范圍13、已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線y=x2的焦點(diǎn)，離心率為。（）求橢圓C的方程；（）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若=1，=，求證：1+為定值 14、用細(xì)鋼管焊接而成的花壇圍欄構(gòu)件如右圖所示，它的外框是一個等腰梯形，內(nèi)部是一段拋物線和一根橫梁拋物線的頂點(diǎn)與梯形上底中點(diǎn)是焊接點(diǎn)，梯形的腰緊靠在拋物線上，兩條腰的中點(diǎn)是梯形的腰、拋物線以及橫梁的焊接點(diǎn)，拋物線與梯形下底的兩個焊接點(diǎn)為已知梯形的高是厘米，兩點(diǎn)間的距離為厘米（1）求橫梁的長度;（2）求梯形外框的用料長度（注:細(xì)鋼管的粗細(xì)等因素忽略不計，計算結(jié)果精確到1厘米）15、如

7、圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A（）求實(shí)數(shù)b的值；（）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程16、已知點(diǎn)E(m,0)為拋物線內(nèi)的一個定點(diǎn)，過E作斜率分別為k1、k2的兩條直線交拋物線于點(diǎn)A、B、C、D，且M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面積的最小值；（2） 若k1 + k2 = 1，求證：直線MN過定點(diǎn).17、已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn) (1)證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；(2)是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由18、如圖，拋物線：與橢圓：在第一象限的交點(diǎn)為，為

8、坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，的面積為.（）求拋物線的方程；（）過點(diǎn)作直線交于、 兩點(diǎn)，射線、分別交于、兩點(diǎn)，記和的面積分別為和，問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由19、如圖，拋物線：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為、.求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程；經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程20、已知拋物C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，M為拋物線C上一動點(diǎn)，為其對稱軸上一點(diǎn)，直線MA與拋物線C的另一個交點(diǎn)為N.當(dāng)A為拋物線C的焦點(diǎn)且直線MA與其對稱軸垂直時，的面積為.（I）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）記，若t值與M點(diǎn)位置無關(guān)，則稱此時的點(diǎn)A為“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”，若

9、沒有，請說明理由. 答 案1、C2、解：（1）設(shè)橢圓E的方程為，半焦距為c由已知條件，F(xiàn)（0，1），b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1所以橢E的方程為（2）顯然直線l的斜率存在，否則直線l與拋物線C只有一個交點(diǎn)，不合題意，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1x2）與拋物線方程聯(lián)立，消去y，并整理得，x24kx4=0x1x2=4拋物線的方程為y=x2，求導(dǎo)得y=x，過拋物線上A，B兩點(diǎn)的切線方程分別是yy1=x1（xx1），yy2=x2（xx2）即y=x1x，y=x2xx22解得兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，1）=0ABMF（3）假設(shè)存在點(diǎn)M滿足題

10、意，由（2）知點(diǎn)M必在直線y=1上，又直線y=1與橢圓有唯一交點(diǎn)，故M的坐標(biāo)為（01），設(shè)過點(diǎn)M且與拋物線C相切的切線方程為yy0=x0（xx0）：，其中點(diǎn)（x0，y0）為切點(diǎn)令x=0，y=1得，1x02=x0（0x0），解得x0=2或x0=2，故不妨取A（2，1）B（2，1），即直線AB過點(diǎn)F綜上所述，橢圓E上存在一點(diǎn)M（0，1），經(jīng)過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA、MB（A、B為切點(diǎn)），能使直線AB過點(diǎn)F此時，兩切線的方程分別為y=x1和y=x1拋物線C與切線MA、MB所圍成圖形的面積為=3、（I）先確定F1、F2的坐標(biāo)，再根據(jù)線段PF2的中垂線與與PF1、PF2交于M點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義，可

11、得點(diǎn)M的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，從而可得點(diǎn)M的軌跡C的方程；（）當(dāng)直線l與x軸垂直時，B1（1，），B2（1，），不滿足條件，當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x1），由，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)、弦長公式能求出|A1A2|解：（I）由題意得，F(xiàn)1（1，0），F(xiàn)2（1，0），圓F1的半徑為4，且|MF2|=|MP|，從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4|F1F2|，（2分）點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，（4分）其中長軸2a=4，得到a=2，焦距2c=2，則短半軸b=，橢圓方程

12、為：     （5分）（）當(dāng)直線l 與x軸垂直時，B1（1，），B2（1，），又F1（1，0），此時，所以以B1B2為直徑的圓不經(jīng)過F1不滿足條件（6分）當(dāng)直線l 不與x軸垂直時，設(shè)L：y=k（x1）由即（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因?yàn)榻裹c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個交點(diǎn)設(shè)B1（x1，y1），B2（x2，y2），則：x1+x2=，x1x2=，因?yàn)橐訠1B2為直徑的圓經(jīng)過F1，所以，又F1（1，0）所以（1x1）（1x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，（8分）由得k2x2（2k2+

13、4）x+k2=0因?yàn)橹本€l 與拋物線有兩個交點(diǎn)，所以k0，設(shè)A1（x3，y3），A2（x4，y4），則：x3+x4=2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2+2=（12分）4、解析：（I）由題意知，設(shè)，則FD的中點(diǎn)為，因?yàn)?，由拋物線的定義知：，解得或（舍去）.由，解得.  所以拋物線C的方程為.（II）（）由（I）知，設(shè)，因?yàn)?，則，由得，故，  故直線AB的斜率為， 因?yàn)橹本€和直線AB平行， 設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，  由題意，得.設(shè)，則，.當(dāng)時，可得直線AE的方程為，由，整理可得，直線AE恒過點(diǎn).當(dāng)時，直線AE的方程為，過點(diǎn)，所以直線AE

14、過定點(diǎn).（）由（）知，直線AE過焦點(diǎn)，所以，設(shè)直線AE的方程為， 因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上，故，設(shè)，直線AB的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得，所以，可求得，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為.則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立. 所以的面積的最小值為16.【思路點(diǎn)撥】（I）設(shè)，因?yàn)?，則FD的中點(diǎn)為，由為正三角形求得p=2，所以拋物線C的方程為.（II）（）由（I）知，設(shè)，得，  故直線AB的斜率為，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，由得.從而得切點(diǎn). 當(dāng)時，可得直線AE的方程為，由，得直線AE的方程，直線AE恒過點(diǎn).當(dāng)時，直線AE的方程為，過點(diǎn).  所以直線AE過定點(diǎn).（）由（）知，直

15、線AE過焦點(diǎn)，所以，設(shè)直線AE的方程為，故，因?yàn)橹本€AB的方程為，即：，代入拋物線方程得，設(shè)，則 ，可求得，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為：d.則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立. 所以的面積的最小值為16.5、解析：拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），軸.設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）設(shè)左焦點(diǎn)為，則=2,由勾股定理得，由雙曲線的定義可知.6、解析：（1）設(shè)，則， 則 ，當(dāng)且僅當(dāng)是取等號3分 的最小值為的最小值減，為5分 （2） 由題設(shè)知，切線與軸不垂直， ，設(shè)切線 設(shè)，中點(diǎn)，則 將與的方程聯(lián)立消得 即得（舍）或 設(shè)二切線的斜率為，則， 8分 又到的距離為1，有， 兩邊平方得 9分

16、 則是的二根，則10分 則 11分 在上為增函數(shù) ， 13分7、（）設(shè)N（x，y），則由，得P為MN的中點(diǎn)，M（x，0），即y2=4x動點(diǎn)N的軌跡E的方程y2=4x（）設(shè)直線l的方程為y=k（x1），由，消去x得設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 ，y1y2=4假設(shè)存在點(diǎn)C（m，0）滿足條件，則，=，關(guān)于m的方程有解假設(shè)成立，即在x軸上存在點(diǎn)C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立8、（1）設(shè)出直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1x2的值，由拋物線的定義分別表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后驗(yàn)證斜率不存在時的情況；（2）設(shè)出直線PQ的方程，聯(lián)立

17、拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，即可求得定點(diǎn)M和定值；（3）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和向量垂直的條件，化簡整理即可求得定點(diǎn)N（1）證明：拋物線的焦點(diǎn)為F（，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x）（k0），代入拋物線方程，消去y，得k2x2p（k2+2）x+=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2=，x1+x2=p+，由拋物線的定義，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+=+=為定值當(dāng)PQx軸時，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）證明：設(shè)M（m，0），當(dāng)PQx軸時，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+為定值當(dāng)PQ斜率存在時，設(shè)PQ：x=ty+m，代入拋物線方程可

18、得，y22pty2pm=0，設(shè)P（，y1），Q（，y2）則y1+y2=2pt，y1y2=2pm即有|MP|2=（m）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m）2+y22=（1+t2）y22即有+=，存在m=p即有定點(diǎn)M（p，0）時，上式為=為定值；（3）解：，可得=，可得（+）（）=0，即為NP2=2NQ2，由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），設(shè)，則y1=y2，p=（p），又設(shè)N（n，0）（n0），則（n）2+y12=2（n）2+y22，即為n=（n），將平方可得，y12=2y22，將代入，化簡可得n=p則N（p，0）9、【分析】： （）利用點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離

19、為，可得，從而可求拋物線C的方程；（）法一：根據(jù)當(dāng)AHB的角平分線垂直x軸時，點(diǎn)H（4，2），可得kHE=kHF，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），可得y1+y2=2yH=4，從而可求直線EF的斜率；法二：求得直線HA的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而可求直線EF的斜率；（）法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求出直線HA的方程，直線HB的方程，從而可得直線AB的方程，令x=0，可得，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可求得t的最小值法二：求以H為圓心，HA為半徑的圓方程，M方程，兩方程相減，可得直線AB的方程，當(dāng)x=0時，直線AB在y軸上的截距（m1），再利用導(dǎo)數(shù)法，即可求得t的最

20、小值解：（）點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為=，拋物線C的方程為y2=x（2分）（）法一：當(dāng)AHB的角平分線垂直x軸時，點(diǎn)H（4，2），kHE=kHF，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），y1+y2=2yH=4（5分）（7分）法二：當(dāng)AHB的角平分線垂直x軸時，點(diǎn)H（4，2），AHB=60°，可得，直線HA的方程為，聯(lián)立方程組，得，（5分）同理可得，（7分）（）法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線HA的方程為（4x1）xy1y+4x115=0，同理，直線HB的方程為（4x2）xy2y+4x215=0，（9分）直線AB的方程為，令x=0，可得，t關(guān)于y0的函數(shù)在1，+）上單調(diào)遞增

21、，當(dāng)y0=1時，tmin=11（12分）法二：設(shè)點(diǎn)H（m2，m）（m1），HM2=m47m2+16，HA2=m47m2+15以H為圓心，HA為半徑的圓方程為（xm2）2+（ym）2=m47m2+15，M方程：（x4）2+y2=1得：直線AB的方程為（2xm24）（4m2）（2ym）m=m47m2+14（9分）當(dāng)x=0時，直線AB在y軸上的截距（m1），t關(guān)于m的函數(shù)在1，+）上單調(diào)遞增，當(dāng)m=1時，tmin=11（12分）10、（1）；（2）11、(1)，所以過點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B(3，0)的切線方程分別是，兩條切線的交點(diǎn)是（），4分(2)圍成的區(qū)域如圖所示：區(qū)域被直線分成了兩部分，分別計算再

22、相加，得：即所求區(qū)域的面積是.    8分12、（）的焦點(diǎn)為，所以，.故的方程為，其準(zhǔn)線方程為4分（）任取點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)P的的切線方程為5分由，得6分由，化簡得，8分記斜率分別為，則，因?yàn)椋?0分所以，所以 12分13、（）設(shè)橢圓C的方程為+=1（a>b>0），KS*5U.C#O則由題意知b=1，=,即=a2=5 3分橢圓的方程為+y2=1                  

23、  4分（）設(shè)A、B、M的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2),(0,y0),易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）              =1 （x1,y1y0）=1（2x1,-y1）6分x1= ， y1=                     &#

24、160;         7分KS*5U.C#O將A（x1,y1）坐標(biāo)代入橢圓方程得2+2=18分整理得：12+101+55 y02=0  同理由=得：22+102+55 y02=0                10分1、2是方程x2+10x+55 y02=0的兩根，得1+=1012分14、（1）如圖，以為原點(diǎn)，梯形的上底所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)梯形下底與軸交

25、于點(diǎn)，拋物線的方程為：由題意，得，.3取，即答：橫梁的長度約為28cm.6（2）由題意，得梯形腰的中點(diǎn)是梯形的腰與拋物線唯一的公共點(diǎn)設(shè).7則，即.10得梯形周長為答：制作梯形外框的用料長度約為141cm.1415、（I）由，得：x24x4b=0，由直線l與拋物線C相切，知=（4）24×（4b）=0，由此能求出實(shí)數(shù)b的值（II）由b=1，得x24x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x2=4y，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=1的距離，由此能求出圓A的方程解：（I）由，消去y得：x24x4b=0，因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，所以=（4）24×（4b）=0，解得b=1；（II）由（I）可知b=1，把b=1代入得：x24x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x2=4y，得y=1，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=1的距離，即r=|1（1）|=2，所以圓A的方程為：（x2）2+（y1）2=416、(1) 時，EMN的面積取最小值4； (2) 見解析