專題一 集合與簡易邏輯

1、專題一集合與簡易邏輯【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：集合中元素的基本特征，集合的表示法，元素與集合的關(guān)系，集合與集合之間的包含關(guān)系，集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算?？键c(diǎn)2：絕對(duì)值不等式、一元二次不等式及分工不等式的解法?？键c(diǎn)3：簡單命題與復(fù)合命題的相關(guān)概念，真假命題的判斷，四種命題及其關(guān)系，反證法的證題思想?？键c(diǎn)4：充分必要條件的有關(guān)概念及充分條件與必要條件的判斷?！咀晕覚z測】1、_，稱集合A是集合B的子集；2、_，叫做集合U中子集A的補(bǔ)集；3、_，叫做A與B的交集；4、_，叫做A與B的并集；5、如果已知_，那么p是q的充分條件，q是p的必要條件；如果_，那么p是q的充分且必要條件；【重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)】問題1：集合的相

2、關(guān)概念1 解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述法給出的集合x|xP,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題 2 注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論 例1：設(shè)A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，證明此結(jié)論 思路分析：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對(duì)根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、

3、kN,進(jìn)而可得b、k的值 解 (AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)04k24bk+10, 即 b214x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)0k22k+8b190, 從而8b20,即 b2 5 由及bN,得b=2代入由10和20)，若p是q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思路分析 利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.解：由題意知，命題若p是q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件p：|

4、1|2212132x10q：:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要條件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集又m0不等式*的解集為1mx1+m，m9，實(shí)數(shù)m的取值范圍是9，+點(diǎn)評(píng) 本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性。本題解題的關(guān)健是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充要條件的難理解變得簡單明了演變4：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p0,p1),求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件.點(diǎn)撥與提示 本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及解答充要條件命題時(shí)

5、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.專題小結(jié)1解答集合有關(guān)問題，理解集合的意義是關(guān)鍵，其次注意集合中元素的互異性，空集是任何集合的子集等問題，此外還要注意轉(zhuǎn)化與化歸，分類與整合，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.2命題真假的判斷，先應(yīng)分清所給命題是簡單命題還是復(fù)合命題，若是復(fù)合命題則依據(jù)復(fù)合命題真值表來判定.3充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既非充分又非必要條件的判定必須堅(jiān)持“雙向”考查的原則，也可以轉(zhuǎn)化為判斷原命題與其等價(jià)的逆否命題的真假.【臨陣磨槍】一 選擇題1.設(shè)集合Mx|x2，P=x|x3,則“xM或xP”是“x”的（）A充分

6、非必要條件B必要非充分條件C充分必要條件D非充分也非必要條件2若集合Sy|y=,T=y|y=,則ST是（）ASBTCD有限集 3（06年天津）已知集合，則（）A B CD4 （05年湖南）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分條件， 則b的取值范圍是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b25方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）ABCD6若aR，且對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都有，那么a的取值范圍是（）ABC（D7下列四個(gè)命題：“若,則實(shí)數(shù)x,y均為零”的逆命題；“相似三角形的面積相等”的否命題；“若，則B”的逆命題；“末位數(shù)不為零的數(shù)可被3整除”的逆否命題.其中真命題有（）

7、ABCD8給出命題：p:,q:在R上是連續(xù)函數(shù)，則在下列三個(gè)復(fù)合命題“p且q”,“p或q”，“非p”中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)9（06年江蘇）若A、B、C為三個(gè)集合，則一定有（）ABC（D）10設(shè)A、B是集合，A非空，已知“A的元素都是B的元素”是假命題，則下列命題中，可能成立的是（）A的元素都不是B的元素；存在A的元素不是B的元素；存在A的元素是B的元素；不是B的元素都不是A的元素。ABCD二 填充題11設(shè)U是全集，非空集合P，Q滿足PQU，若含P，Q的一個(gè)集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式是（只要寫出一個(gè)表達(dá)式）。12設(shè)集合Ax|x=，By|y=，則A與

8、B的關(guān)系是13關(guān)于x的方程至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根的充要條件是14已知命題p：函數(shù)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù) 是減函數(shù).若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是三 計(jì)算題15.已知集合A（x，y）|ax+y=1,B=(x,y)|x+ay=1,C=(x,y)|,試問：（1）當(dāng)a取何值時(shí)，為含有兩個(gè)元素的集合？（2）當(dāng)a取何值時(shí)，為含有三個(gè)元素的集合？16.已知三個(gè)集合，同時(shí)滿足的實(shí)數(shù)a和b是否存在？若存在，求出a,b所有值的集合；若不存在，請(qǐng)說明理由.17.集合，求a的值使，且同時(shí)成立。18.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，證明：|2且|2是2|a|4+b且|b

9、|4的充要條件答案與提示：1.B提示：2.A提示：3.A 提示：集合，4.D提示：由題意得：A：-1x1,B:b-axa+b，由”a=1”是“”的充分條件.則A：-1x1與B: b-1x1+b交集不為空，所以-2b0時(shí)，由0得a0或a0；當(dāng)a0時(shí)不可能。故a0.7.C提示：即“實(shí)數(shù)x,y均為零，則”命題成立；即“兩個(gè)三角形不相似，則面積不相等”不成立；原命題成立，則逆命題也成立；原命題不成立，逆命題也不成立.8.B提示：只有“p或q”是真命題9.A提示：由知，選（A）10.D提示：因?yàn)椤癆的元素都是B的元素”是假命題，即A中元素不全是B中元素，故、正確。11.CU（QP）提示：根據(jù)真子集的定義

10、即可寫出CU（QP）.12.BA提示：注意a,b都是正整數(shù)，A2,5，10,17,26，B10,17,26， 13.提示：當(dāng)有一個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，即；當(dāng)有兩個(gè)負(fù)根時(shí)， 即即，綜合得14.1a2提示：命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時(shí)，。 若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題.若p為真，q為假時(shí)，無解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1a0即有4+b2a(4+b)又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性由2|a|4+bf(2)0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線方程f(x)=0的兩根，同在(2，2）內(nèi)或無實(shí)根，是

11、方程f(x)=0的實(shí)根，同在(2，2）內(nèi)，即|2且|2【挑戰(zhàn)自我】已知數(shù)列和滿足，求證：是等差數(shù)列的充要條件是是等差數(shù)列。證明：（必要性）設(shè)an成等差數(shù)列，公差為d,an成等差數(shù)列 從而bn+1bn=a1+nda1(n1) d=d為常數(shù) 故bn是等差數(shù)列，公差為d（充分性）設(shè)bn是等差數(shù)列，公差為d,則bn=(n1)dbn(1+2+n)=a1+2a2+nanbn1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an得nan=bn1從而得an+1an=d為常數(shù)，故an是等差數(shù)列綜上所述，數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列bn也是等差數(shù)列 【答案及點(diǎn)撥】演變1： 由得x2+(m1)x+1=0AB方程在區(qū)間

12、0，2上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解 首先，由=(m1)240,得m3或m1,當(dāng)m3時(shí)，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有負(fù)根，不符合要求 CBA當(dāng)m1時(shí)，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1內(nèi)，從而方程至少有一個(gè)根在區(qū)間0，2內(nèi) 故所求m的取值范圍是m1 演變2：設(shè)A，B，C分別表示參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽的學(xué)生的集合，全體學(xué)生的集合中U，U被劃分為8個(gè)彼此交集為空集的集合（如右圖）ABC：三種競賽均參加的學(xué)生集合的213人；AB（CUC）：只參加數(shù)學(xué)、物理競賽的學(xué)生的集合的593213380人；（CUA）（BC）：只參加物理、化學(xué)競賽的學(xué)

13、生集合有26721354人；（AC）（CUB）：只參加數(shù)學(xué)、化學(xué)競賽的學(xué)生集合有371213158人；ACU（BC）：只參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生集合的80738021315856人；BCU（AC）：只參加物理競賽的學(xué)生集合有7392133805492人；CCU（AB）：只參加化學(xué)競賽的學(xué)生集合有4372135415812人；（CUA）（CUB）（CUC）：三科競賽雹不參加的學(xué)生集合為0。故參賽總?cè)藬?shù)為21338054158569212965人。演變3：方法1：設(shè)，依題意分兩種情況：在（1,1）上有兩解和有一解f(-1)f(1)0或或）方法2：由與的圖象有交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象即可。演變4：a1=S1=p+