求解變力做功的十種方法

1、For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use求解變力做功的十種方法功是高中物理的重要概念， 對(duì)力做功的求解也是高考物理的重要考點(diǎn)，恒力的功可以用公式直接求解,但變力做功就不能直接求解了，需要通過(guò)一些特殊的方法，本文結(jié)合具體的例題，介紹十種解決變力做功 的方法。動(dòng)能定理法例1. 一質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩懸掛于 0點(diǎn)，小球在水平力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)很緩Q慢地移到

2、Q點(diǎn),如圖1所示，此時(shí)懸線(xiàn)與豎直方向夾角為0 ,則拉力F所做的功為:()A : mgL cos JB： mgL(l-cosv)C. : FL sin vD: FL cos r分析：在這一過(guò)程中，小球受到重力、拉力F、和繩的彈力作用，只有重力和拉力做功，由于從平衡位置P點(diǎn)很緩慢地移到 Q點(diǎn)，小球的動(dòng)能的增量為零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。解：由動(dòng)能定理可知：WF - WG = 0 WF =Wg = mgL (1 - cos 二)故B答案正確。小結(jié)：如果所研究的物體同時(shí)受幾個(gè)力的作用，而這幾個(gè)力中只有一個(gè)力是變力，其余均為恒力，且 這些恒力所做的功和物體動(dòng)能的變化量容易計(jì)算時(shí)，利用動(dòng)能

3、定理可以求變力做功是行之有效的。二微元求和法例2.如圖2所示，某人用力 F轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R的轉(zhuǎn)盤(pán)，力F的大小不變，但方向 始終與過(guò)力的作用點(diǎn)的轉(zhuǎn)盤(pán)的切線(xiàn)一致，貝U轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一周該力做多少功。解：在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一周過(guò)程中，力F的方向時(shí)刻變化，但每一瞬時(shí)力F總是與該瞬時(shí)的速度同向(切線(xiàn)方向)，即F在每瞬時(shí)與轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的極小位移、厶豈."：sn都與當(dāng)時(shí)的F方向同向，因而在轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中，力F做的功應(yīng)等于在各極小位移段所做功的代數(shù)和，即：W =(F 0 F ：s2 F s3F 0)=F ( g ： =S2 J =S3=Sn)=F 2 二R小結(jié)：變力始終與速度在同一直線(xiàn)上或成某一固定角度時(shí)，可化曲為直，把

4、曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)或往復(fù)運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)拉直考慮，在各小段位移上將變力轉(zhuǎn)化為恒力用W = Fscos計(jì)算功，而且變力所做功應(yīng)等于變力在各小段所做功之和.三. 等值法等值法是若某一變力的功和某一恒力的功相等，則可以通過(guò)計(jì)算該恒力的功，求出該變力的功。由于恒力做功又可以用 W=FScosa計(jì)算，從而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。也是我們常說(shuō)的：通過(guò)關(guān)連點(diǎn)，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功。例3.如圖3,定滑輪至滑塊的高度為 H,已知細(xì)繩的拉力為 F牛（恒定），滑塊沿水平面由 A點(diǎn)前進(jìn)s 米至B點(diǎn)，滑塊在初、末位置時(shí)細(xì)繩與水平方向夾角分別為和B。求滑塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中，繩的拉力對(duì)滑塊所做的功。分析：在這物體從A到B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，繩的

5、拉力對(duì)滑塊與物體位移的方向的 夾角在變小，這顯然是變力做功的問(wèn)題。繩的拉力對(duì)滑塊所做的功可以轉(zhuǎn)化為 力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用點(diǎn)的位移，這樣就把變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功的問(wèn)題了。解：由圖3可知，物體在不同位置 A、B時(shí)，猾輪到物體的繩長(zhǎng)分別為：siHsinsin那么恒力F的作用點(diǎn)移動(dòng)的距離為:1 1»H (礦-才故恒力F做的功:FH ( -sin1sin小結(jié)：把變力做功巧妙轉(zhuǎn)化為恒力做功也是一種很有效的求解方法。四. 平均力法例4:如圖4所示，在盛有水的圓柱形容器內(nèi)豎直地浮著一塊立方體木塊， 木塊的邊長(zhǎng)為h,其密度為水的密度 p的一半，橫截面積也為容器截面積的一 半，水面高

6、為 2h,現(xiàn)用力緩慢地把木塊壓到容器底上，設(shè)水不會(huì)溢出，求壓 力所做的功。解：木塊下降同時(shí)水面上升，因緩慢地把木塊壓到容器底上，所以壓力總 等于增加的浮力，壓力是変力，當(dāng)木塊完全浸沒(méi)在水中的下降過(guò)程壓力是恒 力。本題的解法很多，功能關(guān)系、F-S圖像法、平均值法等均可求変力做功，現(xiàn)用平均值法求。木塊從開(kāi)始到完全浸沒(méi)在水中，設(shè)木塊下降，水面上升x2根據(jù)水的圖4Jii:1A2h22h體積不變，則：h x1 = h x2得捲=x2 所以當(dāng)木塊下降時(shí)，木塊恰好完全浸沒(méi)在水中,4F 二：F浮二:?gh2(x1 X2)hF1F2 h所以WF廠(chǎng)2木塊恰好完全浸沒(méi)在水中經(jīng)到容器底部，壓力為恒力=1 gh48 y

7、-h = 2hh44c 2 hF = :gh -所以 W2 二 F ：h 二:?gh2 五. 圖象法h 5 :?gh故壓力所做的功為： W =W1 W- Tgh4 小結(jié)：用平均值求變力做功的關(guān)鍵是先判斷変力F與位移S是否成線(xiàn)性關(guān)系，然后求出該過(guò)程初狀態(tài)的力F1和末狀態(tài)的力F2。當(dāng)已知力為線(xiàn)性變化的力時(shí)，我們可以求平均力 的公式W = F s進(jìn)行求解。，然后再利用功2 482例5.用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，每次擊釘時(shí)錘子對(duì)釘子做的功F-S圖像中與S軸所圍的面積表示該過(guò)程中変力F做的功。相同，已知第一次擊后釘子進(jìn)入木板1cm,則第二次擊釘子進(jìn)入木板的深度為多少?解：

8、鐵錘每次做功都是用來(lái)克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力， 其大小與深度成正比，F(xiàn)=kx，以F為縱坐標(biāo)，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標(biāo)，作 出F-x圖象，如圖5,函數(shù)線(xiàn)與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對(duì)鐵釘做的功由于兩次做功相等，故有：Si=S2(面積)即：1 2 1 kxi = k(x 2+xi)(x 2-xi)得 x2 = 2cm2 2 2 '所以第二次擊釘子進(jìn)入木板的深度為：x = x2片=(. 21)cm小結(jié)：某些求変力做功的問(wèn)題，如果能夠畫(huà)出変力F與位移S的圖像，則六用公式W=Pt求解例6.質(zhì)量為4000千克的汽車(chē)，由靜止開(kāi)始以恒定的功率前進(jìn)，它經(jīng)100/3秒的時(shí)間前進(jìn)425米，

9、這時(shí)候它達(dá)到最大速度 15米/秒。假設(shè)汽車(chē)在前進(jìn)中所受阻力不變，求阻力為多大？分析：汽車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中功率恒定，速度增加，所以牽引力不斷減小，當(dāng)減小到與阻力相等時(shí)車(chē)速達(dá)到最大值。已知汽車(chē)所受的阻力不變，雖然汽車(chē)的牽引力是變力，牽引力所做的功不能用功的公式直接計(jì)算。但由于汽車(chē)的功率恒定，汽車(chē)的功率可用解：當(dāng)速度最大時(shí)牽引力和阻力相等，汽車(chē)牽引力做的功為W = fvmtP=Fv求，因此汽車(chē)所做的功則可用W=Pt進(jìn)行計(jì)算。P 二 Fvm 二 fvm根據(jù)動(dòng)能定理有：wfs1 mv2解得： f=6000(N) 對(duì)于變力做功的問(wèn)題，首先注意審題，其次在此基礎(chǔ)上弄清物理過(guò)程，再建立好物理模型，最后使用以上 談

10、到的各種方法進(jìn)行解題，就會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。小結(jié)：對(duì)于機(jī)器以額定功率工作時(shí)，比如汽車(chē)、輪船、火車(chē)啟動(dòng)時(shí)，雖然它們的牽引力是變力，但是 可以用公式 W=Pt來(lái)計(jì)算這類(lèi)交通工具發(fā)動(dòng)機(jī)做的功。對(duì)于交通工具以恒定功率運(yùn)動(dòng)時(shí)，都可以根據(jù) W二Pt來(lái)求牽引力這個(gè)變力所做的功。七. 機(jī)械能守恒法如圖7例7.如圖7所示，質(zhì)量 m為2kg的物體，從光滑斜面的頂端 A點(diǎn)以 v° =5m/s的初速度滑下，在 D點(diǎn)與彈簧接觸并將彈簧壓縮到 B點(diǎn)時(shí)的速度 為零，已知從 A到B的豎直高度h =5m，求彈簧的彈力對(duì)物體所做的功。解：由于斜面光滑，故機(jī)械能守恒，但彈簧的彈力是變力， 彈力對(duì)物體做 負(fù)功，彈簧的彈性

11、勢(shì)能增加，且彈力做功的數(shù)值與彈性勢(shì)能的增加量相等。取2對(duì)狀態(tài) A Emgh對(duì)狀態(tài)b： eb二w單簧 0B所在水平面為零參考面，彈簧原長(zhǎng)處D點(diǎn)為彈性勢(shì)能的零參考點(diǎn)，則由機(jī)械能守恒定律得：2W彈簧二 mgh0= 125J2小結(jié)：對(duì)于涉及彈簧彈力做功的試題，一般我們都可以用機(jī)械能守恒定律求功。八. 功能原理法例8.如圖8所示，將一個(gè)質(zhì)量為 m,長(zhǎng)為a,寬為b的矩形物體豎立起來(lái)的過(guò)程中，人至少需要做 多少功？解：在人把物體豎立起來(lái)的過(guò)程中，人對(duì)物體的作用力的大小和方向均未知，無(wú)法應(yīng)用 W二Fl cos求解。該過(guò)程中，物體要經(jīng)歷圖8所示的狀態(tài)，當(dāng)矩形77777TTTn7Tn77TT7?77TfffT77

12、TT對(duì)角線(xiàn)豎直時(shí)，物體重心高度最大，重心變化為:由功能原理可知 ®卜二幾Ep uEk當(dāng).: Ek =0時(shí)，W卜卜最小，為:W卜卜二. ：Ep 二 mg=h=#mg a2 b2 - b。小結(jié)：做功是能量轉(zhuǎn)化的原因，做功是能量轉(zhuǎn)化的量度，我們可以根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的情況來(lái)判斷做功的 情況，則給求変力做功提供了一條簡(jiǎn)便的途徑。關(guān)鍵是分清研究過(guò)程中有多少種形式的能轉(zhuǎn)化，即有什么 能增加或減少，有多少個(gè)力做了功，列出這些量之間的關(guān)系。九. 能量守恒法例9.如圖9所示，一勁度系數(shù) k=800N/m的輕彈簧兩端各焊接著一個(gè)質(zhì)量為 m=12kg的物體。 立靜止在水平地面上，現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體

13、A上，使A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)B剛要離開(kāi)地面。設(shè)整個(gè)過(guò)程彈簧都處于彈性限度內(nèi)（g取10m/s2）求：（1）此過(guò)程中所加外力大值和最小值。（2）此過(guò)程中力F所做的功。解：（1）設(shè)A上升前，彈簧的壓縮量為 x1 , B剛要離開(kāi)地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x2 , A 上升的加速度為a 。A原來(lái)靜止時(shí)，因受力平衡，有：kxmgma設(shè)施加向上的力，使 A剛做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的最小拉力為F1，有：F.J kmg二B恰好離開(kāi)地面時(shí)，所需的拉力最大，設(shè)為F2，對(duì)A有：F2 - kx2 - mg = ma對(duì) B有: kx2 二 mg由位移公式，對(duì)A有: X1 - X2二蘭2由式，得:X1mgk=0.15 m由式，解得

14、 a = 3.75m/s分別解得:F1F2= 45N= 285N0.4s內(nèi)，在末狀態(tài)有 形式的能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的重力勢(shì)能和動(dòng)能，即：（2）力作用的x1=X2，彈性勢(shì)能相等，由能量守恒知，外力做了功,將其他WFmg X1X2m(at)22= 49.5J小結(jié)：當(dāng)我們分析一個(gè)物理過(guò)程時(shí)，不僅要看速度、加速度，還要分析能量轉(zhuǎn)化情況。十.利用W=qU在勻強(qiáng)電場(chǎng)中移動(dòng)電荷的時(shí)候，可以直接根據(jù)恒力做功的公式求解。如果是在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中，由于電 場(chǎng)力是變力，不能用功的定義式求解，但若已知電荷的電量和電場(chǎng)中兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，我們就可以用公式 W = qU進(jìn)行求解。例10.電場(chǎng)中有A、B兩點(diǎn)，它們的電勢(shì)分別為 = -10

15、0V, B =200V，把電量q二-2.0 10C 的電荷從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，是電場(chǎng)力做功還是克服電場(chǎng)力做功？做了多少功？解：電荷從A到B的過(guò)程中，電場(chǎng)力作的功為：7_5Wab 二 qUAB =(-2 10 ) (-100 -200) = 6.0 10 J因?yàn)閃 0，所以是電場(chǎng)力做功。小結(jié)：求非勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)力做功時(shí)，一般都用該方法求解。綜上所述，變力做功的求解有很多方法，一個(gè)個(gè)看似復(fù)雜，無(wú)法求解變力做功的問(wèn)題，只要靈活運(yùn)用 以上方法，就一定能夠手到擒來(lái)。僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not fo

16、r commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 員 ex.以下無(wú)正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen fu r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l &