球的體積ppt4

1、9.10.2-3正六棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表正六棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？面積？正棱柱的側面展開圖正棱柱的側面展開圖ha正五棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的表正五棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？面積？側面展開正棱錐的側面展開圖正棱錐的側面展開圖正四棱臺的側面展開圖是什么？如何計算它的表正四棱臺的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？面積？側面展開hh正棱臺的側面展開圖正棱臺的側面展開圖 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算它們的體，它們的側面展開圖還是平面圖

2、形，計算它們的表面表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和hOOr)(2222lrrrlrS圓柱表面積lr2圓柱的側面展開圖是矩形圓柱的側面展開圖是矩形S側=2 rl圓錐的側面展開圖是扇形圓錐的側面展開圖是扇形)(2lrrrlrS圓錐表面積r2lOr122rlS側=rl 參照圓柱和圓錐的側面展開圖，試想象圓臺的側參照圓柱和圓錐的側面展開圖，試想象圓臺的側面展開圖是什么面展開圖是什么 )(22rllrrrS圓臺表面積r2lOrO r2 r圓臺的側面展開圖是扇環(huán)圓臺的側面展開圖是扇環(huán)S側S側=12 22rr l rr l rr llOrO rlOrlOO

3、r)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺 圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系？這種關系是巧合還是存在必然聯(lián)系？關系？這種關系是巧合還是存在必然聯(lián)系？rrr0 棱柱、棱錐和棱臺的體積公式： v= 當s=s時為棱柱體積公式v=sh. 當s=0為棱錐體積公式v=. 13sh13h ss ss怎樣求球的體積怎樣求球的體積?h實驗：排液法測小球的體積實驗：排液法測小球的體積h實驗：排液法測小球的體積實驗：排液法測小球的體積h實驗：排液法測小球的體積實驗：排液法測小球的體積h實驗：排液法測小球的體積實驗：排液法測小球的體積h實驗：排液法

4、測小球的體積實驗：排液法測小球的體積h實驗：排液法測小球的體積實驗：排液法測小球的體積h實驗：排液法測小球的體積實驗：排液法測小球的體積hH 實驗：排液法測小球的體積實驗：排液法測小球的體積曹沖稱象曹沖稱象假設將圓n等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多邊形)AAAAAA( p211n3221正多邊形pC21圓正多邊形時，當CC,Rpn2RR2R21S圓pA3回顧圓面積公式的推導回顧圓面積公式的推導 割割 圓圓 術術 早在公元三世紀，我國數(shù)學家劉徽為推早在公元三世紀，我國數(shù)學家劉徽為推導圓的面積公式而發(fā)明了導圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術倍

5、邊法割圓術”。他用加倍的方式不斷增加圓內接正多邊形的他用加倍的方式不斷增加圓內接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂謂“割之彌細，所失彌小割之彌細，所失彌小”。這樣重復下去，。這樣重復下去，就達到了就達到了“割之又割，以至于不可再割，則割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣與圓合體而無所失矣”。這是世界上最早的。這是世界上最早的“極限極限”思想。思想。,21RRr ,)(222nRRr 已知球的半徑為已知球的半徑為R,R,用用R R表示球的體積表示球的體積. .,)2(223nRRr AOB2C2AOOR)1( inR半半徑徑：層層“

6、小小圓圓片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA334RV定理定理:半徑是半徑是R的球的體積的球的體積R332RV半球331RV圓錐3RV圓柱高等于底面半徑的旋轉體體積對比高等于底面半徑的旋轉體體積對比閱讀材料以及思考題1.球的直徑伸長為原來的球的直徑伸長為原來的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉眢w積變?yōu)樵瓉淼膸妆兜膸妆?2.一個正方體的頂點都在球面上一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是它的棱長是4cm,求這個球的體積求這個球的體積. 8倍倍332A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O 鋼球直徑是5cm,.把鋼球放入一個正方體的有

7、蓋紙盒中把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中, ,至至少要用多少紙少要用多少紙? ?用料最省時用料最省時, ,球與正方體有什么位置關系球與正方體有什么位置關系? ?球內切于正方體球內切于正方體226 5150Scm全側棱長為側棱長為5cm兩個幾何體兩個幾何體相（內）切相（內）切:一個幾何體的各個一個幾何體的各個面面與另一個幾何體與另一個幾何體的各的各面面相切相切.O OE EO O1 1P PO OD DC CB BA A兩個幾何體兩個幾何體相接相接:一個幾何體的所有一個幾何體的所有頂點頂點都都 在另一在另一個幾何體的個幾何體的表面表面上上A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1

8、1A A1 1O OOBDA1OMR 球面不能展開成平面圖形，所以球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢如何求球的表面積公式呢? ? 回憶球的體積公式的推導方法回憶球的體積公式的推導方法, , 得得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來推到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來推導球的表面積公式。導球的表面積公式。球面：半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面球面：半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面。球球( (即球體即球體):):球面所圍成的幾何體。球面所圍成的幾何體。它包括它包括球面球面和和球面所包圍的空間球面所包圍的空間。半徑是半徑是

9、R R的球的體積：的球的體積：334RVoiS o第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n個網(wǎng)格，表面積分別為：個網(wǎng)格，表面積分別為：則球的體積為：則球的體積為：iV 設“小錐體”的體積為設“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O34133RsR定理定理 半徑是半徑是 的球的表面積：的球的表面積： R24SR 球的表面積是大球的表面積是大圓面積的圓面積的4倍倍R1、地球和火星都可以看作近似球體，地球半徑約為6370km，火星的直徑約為地球的一半。 求地球的表面積和體積；(1) 火星的表面積約為地球表面積的幾分之幾？體積呢？V地球=433=433=4212(km3

10、)S地球=428(km2)解：（1）（2）V火V地=43火343地3=R火3R地3=(12R地)3R地3=18S火S地=4 火24 地2=R火2R地2=(12R地)2R地2=14例例1.1.如圖如圖, ,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑, ,求證求證: : (1) (1)球的表面積等于圓柱的側面積球的表面積等于圓柱的側面積. . (2) (2)球的表面積等于圓柱全面積的三分之二球的表面積等于圓柱全面積的三分之二. .O O證明證明: :R R(1)(1)設球的半徑為設球的半徑為R,R,24RS球球得得: :則圓柱的底面半徑為則圓柱的底面半徑為R,R,高為高為2R

11、.2R.2422RRRS圓圓柱柱側側圓圓柱柱側側球球SS(2)(2)24RS球球圓圓柱柱全全球球SS32222624RRRS圓柱全圓柱全Q例例2.2.如圖，已知球如圖，已知球O O的半徑為的半徑為R,R,正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長的棱長 為為a,a,它的各個頂點都在球它的各個頂點都在球O O的球面上，的球面上， 求證：求證：aR23A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形

12、可分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：aRaaRaDBRDBDDBRt23,)2()2(22:2221111得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O切于這個正方體的六個面，則有切于這個正方體的六個面，則有R=R=。2a (1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)閯t半徑變?yōu)樵瓉淼脑瓉淼谋?。倍?(2)(2)若球的半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虻陌霃阶優(yōu)樵瓉淼? 2倍，則表面積變?yōu)楸?，則表面積變?yōu)樵瓉淼脑瓉淼谋?。倍?(3)(3)若兩球表面積之比

13、為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比，則其體積之比是是。 (4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比，則其表面積之比是是。 (5)(5)若兩球表面積之差為若兩球表面積之差為48 ,48 ,它們大圓周長之它們大圓周長之和為和為12 ,12 ,則兩球的直徑之差為則兩球的直徑之差為。題組一題組一:題組二題組二:1、一個四面體的所有的棱都為、一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點在同，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積（一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C 2D 62、若正四體的棱長都為、若正四體的棱長都為6，內有一球與四個面都相，內有一球與四個面

14、都相切。求球的表面積。切。求球的表面積。1、一個四面體的所有的棱都為、一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點在同，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積（一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C D 62C 解：設四面體為解：設四面體為ABCD， 為其外接球為其外接球心。心。1O 球半徑為球半徑為R，O為為A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M為為CD的中點。的中點。連結連結B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAOBDA1OMR1、一個四面體的所有的棱都為、

15、一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點在同，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積（一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 構造棱長為構造棱長為1的正方的正方體，如圖。則體，如圖。則A1、C1、B、D是是棱長為棱長為 的正四面體的頂點。的正四面體的頂點。正方體的外接球也是正四面體正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時球的直徑的外接球，此時球的直徑為為 ，23選選A2、若正四體的棱長都為、若正四體的棱長都為6，內有一球與四個面都相，內有一球與四個面都相切，求球的表面積。切，求球的表面積。 解：作出過一條側棱解：作出過一

16、條側棱PC和高和高PO的截面，則截面三角形的截面，則截面三角形PDC的的邊邊PD是斜高，是斜高，DC是斜高的射影，是斜高的射影，球被截成的大圓與球被截成的大圓與DP、DC相切，相切，連結連結EO，設球半徑為，設球半徑為r，16,2rPOrDOPD得246Sr球故Rt PEO1Rt PO D由由E EO O1 1P PO OD DC CB BA A2、若正四體的棱長都為、若正四體的棱長都為6，內有一球與四個面都相，內有一球與四個面都相切，求球的表面積。切，求球的表面積。解法解法2：連結：連結OA、OB、OC、OP，那么，那么E EO O1 1P PO OD DC CB BA A4P ABCO P

17、ABO PBCO PCAO ABCO ABCVVVVVV11,3P ABCABCVSPO因11,3O ABCABCVSOO14Or所以P162 6,.2Or易求P所以解題小結：解題小結：1、多面體的、多面體的“切切”、“接接”問題，必須明問題，必須明確確“切切”、“接接”位置和有關元素間的數(shù)量位置和有關元素間的數(shù)量關系，常借助關系，常借助“截面截面”圖形來解決。圖形來解決。2、正三棱錐、正四面體是重要的基本圖形，要、正三棱錐、正四面體是重要的基本圖形，要掌握其中的邊、角關系。能將空間問題化為平掌握其中的邊、角關系。能將空間問題化為平面問題得到解決，并注意方程思想的應用。面問題得到解決，并注意方程思想的應用。3、注意化整為零的思想的應用。、注意化整為零的思想的應