定積分不等式

1、第三章 一元積分學(xué)第三節(jié) 定積分值的估計(jì)及不等式定積分值的估計(jì)及不等式證明是一個(gè)較難的問(wèn)題，方法多樣，用到的知識(shí)（微分學(xué)的知識(shí)，積分學(xué)的知識(shí)等）也很多?？偟恼f(shuō)來(lái)：（1）主要用積分學(xué)的知識(shí)，除了定積分的性質(zhì)、積分中值定理、計(jì)算方法外，以下幾個(gè)簡(jiǎn)單的不等式也是有用的：（i）若，則 .（ii）.（iii）若,則.(iv)(柯西不等式)(2)主要用微分學(xué)的知識(shí),包括前面己講過(guò)的利用微分學(xué)知識(shí)證明不等式的一切方法.(3)利用二重積分、級(jí)數(shù)等值得注意的是：題目的解法往往有多種，同一題目其解答過(guò)程中往往要用到各種知識(shí)和方法例判斷積分的符號(hào)分析：這個(gè)積分值是求不出來(lái)的如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上有確切的符號(hào)，那么

2、積分值的符號(hào)很容易判斷如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上有正、有負(fù)，那么應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的正、負(fù)情況將積分區(qū)間分成部分區(qū)間，然后利用積分學(xué)等方面的知識(shí)比較在這些部分區(qū)間上的積分值（實(shí)際上是比較積分值的絕對(duì)值）本題中被積函數(shù)在積分區(qū)間上有正、有負(fù)，先作換元：，把積分變?yōu)楹?，?wèn)題更清晰，因而想到至此積分的符號(hào)憑直覺(jué)已經(jīng)能判斷了但嚴(yán)格說(shuō)明還需做一些工作，上式右端兩個(gè)積分的積分區(qū)間不一樣，為了方便比較，應(yīng)將兩個(gè)積分放在同一積分區(qū)間上進(jìn)行比較有了這些分析和思路后，解答就容易了解：令，則對(duì)上式右端后一積分換元得從而 注：本題的解答過(guò)程不復(fù)雜，但其過(guò)程中有兩個(gè)技巧很有用（）將積分區(qū)間分成部分區(qū)間（尤其是等分區(qū)間，特別是

3、二等分）（）如要比較兩個(gè)在不同積分區(qū)間上的積分的大小，可通過(guò)換元變成相同積分區(qū)間上的積分，然后比較例設(shè)，證明：分析:： 從形式上看很象柯西不等式，但兩個(gè)積分的積分區(qū)間不一樣，前面的積分可用教材上介紹的一個(gè)等式變?yōu)樯系姆e分，再用柯西不等式便可得結(jié)論。解：例設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：（）（）分析：（）該不等式實(shí)際上給出了左邊積分的一個(gè)界。若令，則有，即給出了導(dǎo)數(shù)的界，再加條件，可估計(jì)出，進(jìn)而估計(jì)出積分的界。（）不等式兩邊分別有和，而等式可將兩者聯(lián)系起來(lái)，這里要根據(jù)具體問(wèn)題具體選擇，本題中容易想到證明：（）令，由拉氏中值定理知從而所以 （），則故注：（）中，若將條件改為(i)，結(jié)論仍成立，(i

4、i) ,右端改為,(iii) 且,右端改為,另外本題也可利用等式去證:所以(2)中右邊作為左邊積分的一個(gè)界有點(diǎn)粗(證明過(guò)程中能感覺(jué)到這一點(diǎn)),我們可以更精細(xì)一點(diǎn)：不做(2)的證明過(guò)程中的第二步放大,便可證出上面結(jié)論：,再分部即可例設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：方法一：利用上一節(jié)中的例10中的（2），或練習(xí)題21可證出結(jié)論。方法二：由泰勒公式有兩邊在上積分并注意到得，從而得方法三：令，則，且，由泰勒公式有： （1） （2）（1）（2）得所以 例設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)增加，求證：分析：本題有多種證明方法，思路一：這里有兩個(gè)參數(shù)，把改成變量，欲證左右兩邊均是函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)這一工具去證明思路二：變形為被積函

5、數(shù)中因子關(guān)于積分區(qū)間中點(diǎn)具有某種對(duì)稱性，而又單調(diào)，因此可想到前面介紹的利用對(duì)稱性計(jì)算積分的有關(guān)公式去處理思路三：基于思路二的考慮，將積分區(qū)間二等分，然后用積分中值定理或其它方法去證思路四：由于故就一目了然思路五：變形為那么看過(guò)例6后就知道怎么做了證：令，則且從而取，便得，結(jié)論得證或：（或：）或：注：第一種方法我們稱之為變易常數(shù)法，即把某個(gè)常數(shù)（在積分中一般是積分上限或下限）換成變量，從而化為一個(gè)函數(shù)不等式，再利用微分學(xué)的知識(shí)及其它知識(shí)去證明，這是一種常用的技巧。本題若把條件“連續(xù)且單調(diào)增加”改為“單調(diào)且有界”，結(jié)論仍成立。但變易常數(shù)法不能用（為什么？）。例6設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)增加，求證：分析：右

6、端出現(xiàn)了兩個(gè)積分，若將兩個(gè)積分的積分變量換成不同符號(hào)則可化為二重積分：而左邊亦可化為二重積分：這樣就化為二重積分的比較了。證：令 則 同樣可得 兩式相加得 故 結(jié)論得證。注：本題是通過(guò)化為二重積分來(lái)證明，這也是有用的方法。仔細(xì)體會(huì)這個(gè)證明過(guò)程并用此方法去證一下柯西不等式。凹凸性及平均值等式例7設(shè)在上連續(xù)，且為凹函數(shù)即對(duì)，及有證明：證明：從而得左過(guò)得不等式，下證右過(guò)不等式，有從而兩邊積分得于是得右過(guò)不等式注：能看出該不等式的幾何意義嗎？個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均有如下關(guān)系：我們把以上關(guān)系推廣到積分形式：設(shè)正值連續(xù)，則（）上面不等式中的第一項(xiàng)稱為在上的調(diào)和平均，第二項(xiàng)稱為在上的幾何平均，

7、第三項(xiàng)稱為在上的算術(shù)平均還可推廣到加權(quán)平均的形式：，其中為正值連續(xù)函數(shù)（）下面證一下（）對(duì)于任意，有取，則，從而兩邊在上積分，并注意到不等式右邊最后一項(xiàng)的積分為零，得即下證左過(guò)不等式：左過(guò)不等式等價(jià)于把右邊不等式的換成，便得上式分析上面證明過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵用到了：的二階導(dǎo)大于零及因此有下面更一般的結(jié)論：設(shè)在上連續(xù)，且，在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，則（）注：，則上面不等式變號(hào)同學(xué)可仿（2）的證明去證一下（3）練習(xí)題: 證明:(,而) 證明: （左右，然后用利用對(duì)稱性計(jì)算積分的有關(guān)公式） 證明: （通過(guò)換元將左、右積分分別比為和，然后比較被積函數(shù)的大小便可得結(jié)論） 設(shè)表示橢圓的周長(zhǎng)，證明：（由弧長(zhǎng)公式可

8、得，由可得左邊不等式，再用積分的柯西不等式可得右邊不等式） 設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：（若在上不變號(hào)，不等式成立；若變號(hào)則存在，使得，由，可得結(jié)論） 設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，證明對(duì)，有（由積分中值定理知，再由可得結(jié)論） 設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證：（利用） 設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證：（,再用柯西不等式) 設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證：（令，利用導(dǎo)數(shù)證明）（）設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：（）設(shè)在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：（1）利用上一節(jié)中例10的（1），（2）是（1）的推廣，先證明：，其中）設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：對(duì)有（左）設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：（，利用上題有而當(dāng)時(shí)總有）設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證明：（左而）14設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)增加，且連續(xù)，求證：15設(shè)在上連續(xù)，且，證明：（左邊不等式可用二重積分或柯西不等式去證，左邊不等式與條件“”無(wú)關(guān)，但需“”。右邊不等式的證明有一定難度：）設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)減少，證明：（用二重積分證明）證明：（，其中，便可得左邊不等式當(dāng)