7-4微積分基本定理

1、§7-4微積分基本定理一、變上限積分函數(shù)1. 設(shè)e Ra,b,/x g a,b,定義F(x) = f f(t)dt9積分上限函數(shù)2. 定理 1若f 鳳a#,則F(x) g Ca,b證明:Vx0,x0 +7r go,6F(x0+/i)-F(x0)J aJ aJ Xq璉砧有界肘a)|<M °+hf(t)dt<Mh,:.limF(x0 +7i)-F(xo) = Oh-0由兀o任意性F(兀)e Ca，方.積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性質(zhì)定理2如果/在方上連續(xù)，則積分上限函數(shù)F(x) = f(t)dt在a，方上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù) 是兒叱7曲5)(a-x-b)證 F(x + h)

2、= +hAF =F(x + h)-F(x)=ffgtJaJafxfx+hpx=f /W + fwwJaJxJafix+hya x £ * + 方 b=J/力，Jx由積分中值定理得21F = f ©llex,x + h,必=于(歹)，lim 代 = lim/h 丿0 h hQ J 7仇一0，歹一兀 Ff(x) = f(x).補(bǔ)充如果/連續(xù)，a(x)t (兀)可導(dǎo)，則F(x) = *；/(訕的導(dǎo)數(shù)刃(工)為F3 = ；1(：fW= / 6(x)&r(x)-/tt(x)az(x) 證 )=(：)+JT h(訕Fx) = /6(x)&x) -/a(x)ar(x)例1

3、求limx->0J4.2e'dtcosxX2分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.dxJ1Jcosx補(bǔ)2Cl fCOSX ,2-e"cos2x-(cosxy = sin x e cos2 xlimf e t2dtJcosx21宀宀兀一02x2e例2設(shè)于（兀）在（-8，+8）內(nèi)連續(xù)，且/（兀） 0.證明函數(shù)尸=嚴(yán)在（0,+8）內(nèi)為單調(diào)增 Jo fdt加函數(shù) 證 第;（咖=燈（x）, £覽/（恫=/（兀），x/（x）r f（t）dt-f（x）rt/（t）dtF （兀）=7v（鳥(niǎo)町叫）=何（一5曲,v/(x)>o, (x>0)/*(/)力 >0,

4、(x 一> 0,(兀 一> 0,/. Fx)>0 (x > 0).故F （兀）在（0,+8）內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).例3設(shè)于（兀）田0,1上連續(xù)，_a/（x）<i.證明2x - J： /（妙=1田0,1上只有一個(gè)解.證 令 F(x) = 2x-ff(t)dt-l9 f(x) v 1，.F'(x) = 2 -f(x) > 0,F（兀）在0，l上為單調(diào)增加函數(shù)F（0） = -1<0,F(l) = l-ff(t)dt = jl-f(t)dt > 0,所以F"） = 0即原方程在0,1上只有一個(gè)解.定理3 (原函數(shù)存在定理)如果/*(兀)在a

5、,上連續(xù)，則積分上限的函 數(shù)F(x) = V f(t)dt就是于(兀)在a,上的一個(gè) Ja原函數(shù).定理的重要意義：(1) 肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.(2) 初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.1、牛頓一萊布尼茨公式定理4 (微積分基本公式)如果F(x)是連續(xù)函數(shù)/(兀)在區(qū)間a，方上 的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)dx = F(b)-F(a).證/已知F(x)是/(兀)的一個(gè)原函數(shù)， 又a)=£7(tw也是/(兀)的一個(gè)原函數(shù), F(x)一(兀)=Cx g a,b令 X a => F(a)-(a) = C，t (a) = £y(l)d/ = O =>

6、F(a) = C, F(x)-f/W=C.打(ns)-F), 令x =b => f(x)dx = F(b)-F(a).tt牛頓一萊布尼茨公式f(x)dx = F(b)-F(a)=F(x)l微積分基本公式表明:一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,方上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間S,方上的增量.求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.注意 當(dāng)a >b時(shí)，£/(x)rfx = F(b)-F(a)仍成立.例4求f(2cosx + sinx-l)rfx.設(shè)于（兀）=2x50<x<ll<x<2求仃（兀）必2 12Jo f(x)dx =/(X)6tr +£ f(x

7、)dx在1,2上規(guī)定當(dāng)兀=1時(shí)，/（x） = 5, 原式=2兀必+ J 5必=6.例 6 求 J： maxx, x2 dx 解由圖形可知/(x) = maxx,x2x2 -2<x<0=< x 0<x<l，x2 l<x <2原式=J x2dx + xdx +>dx = T求J :打兀當(dāng)XV 0時(shí)，丄的一個(gè)原函數(shù)是lnlxl,ilxf_2= in I x l 2= In 1 In2 = In2.計(jì)算曲線j =sinx在0,冗上與x軸所圍 成的平面圖形的面積.解面積A =sinxdxJo= -cos 咄=2.1積分上限函數(shù)F(x) = f(t)dt2積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)F7x) = /(x)3微積分基本公式 打Mdx = F(b)-F(a) 之間的關(guān)系.牛頓一萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)01arJ思考題設(shè)/（兀）在a，方上連續(xù),則f（tyit與f/