高中數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量教案完整版

1、高中數(shù)學(xué)必修 4第二章平面向量教案（12 課時(shí)）本章內(nèi)容介紹向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概 念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具向量概念引入后，全等和平行（平 移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而 把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景在本章中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景， 理解平面向量及其運(yùn)算的意義，學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)

2、和物理中的一些問題本節(jié)從物理上的力和位移出發(fā)，抽象出向量的概念，并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的一些基本概念（讓學(xué)生對(duì)整章有個(gè)初步的、全面的了解.）第1課時(shí)§2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念教學(xué)目標(biāo)：1. 了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共 線向量.2. 通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別3. 通過學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共

3、線向量的概念，會(huì)表示向量教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系學(xué) 法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：一、情景設(shè)置：如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓?jiān)?B處向東追去，設(shè)問：貓能否 追到老鼠？（畫圖）結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.分析：老鼠逃竄的路線 AC、貓追逐的路線BD實(shí)際上都是有方向、有長短的量引言：請(qǐng)同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向?、新課學(xué)習(xí)：（一）向量的概念：我們把既有大小又

4、有方向的量叫向量（二）請(qǐng)同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？2、如何表示向量？3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、 長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？5、滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？7、 如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)0,這是它們是不是平行向量？這時(shí)各向 量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系？（三）探究學(xué)習(xí)1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小;向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小起點(diǎn)、方向、長度2向量的表示

5、方法： 用有向線段表示； 用字母a、b（黑體，印刷用）等表示; 用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB ; 向量AB的大小 長度稱為向量的模，記作|AB |.3有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素: 向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量 就是相同的向量;（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是 不同的有向線段4、零向量、單位向量概念： 長度為0的向量叫零向量，記作 0. 0的方向是任意的注意0與0的含義與書寫區(qū)別 長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制

6、了大小5、平行向量定義： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a /b/ c .6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量說明：（1）向量a與b相等，記作a = b; （2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有 向線段的起點(diǎn)無關(guān).7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量， 這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要

7、區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系（四）理解和鞏固：例1書本86頁例1.例2判斷：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長度相等且方向相同）（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）例3下列命題正確的是（）A. a與b共線，b與c共線，則a與c也共線B. 任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C. 向量a與b不共線，則a

8、與b都是非零向量D. 有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形， 根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對(duì)于 C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考 慮，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個(gè)是零向量， 而由零向量與任一向量都1h0A、OB、0C 相共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量，所以應(yīng)選C.例4 如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心

9、，分別寫出圖中與向量 等的向量變式一：與向量長度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？（CB, DO, FE)課堂練習(xí)：1. 判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由向量AB與CD是共線向量，則 A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上; 單位向量都相等； 任一向量與它的相反向量不相等; 四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng) AB = DC 一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0; 共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同解：不正確共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量AB、AC在同一直線上不正確單位向量模均

10、相等且為 1,但方向并不確定 不正確零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的、正確彳Ef不正確如圖AC與BC共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同2 .書本88頁練習(xí)三、小結(jié)：1、描述向量的兩個(gè)指標(biāo)：模和方向2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡(jiǎn)單類比3、向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn)四、課后作業(yè)：書本88頁習(xí)題2.1第3、5題第2課時(shí)§ 2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo):1、掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義；2、 會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解 決問題的能力；3、 通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生

11、掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié) 合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法；教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量教學(xué)難點(diǎn)：理解向量加法的定義學(xué) 法：數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：一、設(shè)置情景:1、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念強(qiáng)調(diào)：向量是既有大小又

12、有方向的量 長度相等、方向相同的向量相等因此，我們研 究的向量是與起點(diǎn)無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提 下，移到任何位置2、情景設(shè)置:(1) 某人從A到B,再從B按原方向到C，則兩次的位移和：AB B AC(2)若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，則兩次的位移和： AB BC二AC(3)某車從A到B,再從B改變方向到C，則兩次的位移和:AB BC 二 AC(4)船速為AB，水速為BC，則兩速度和:二、探索研究：1、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、b .在平面內(nèi)任取一點(diǎn) A，作AB = a, BC

13、 = b ,則向量AC叫做a與b的和，記作a+b，即a+b = AB BC = AC ,規(guī)定:a + 0-= 0 + aa-b.a + bIb+Jb探究：（1）兩相向量的和仍是一個(gè)向量;（2）當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a + b的方向不同向，且|a + b |<|a |+|b（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，則a + b、a、b同向,且 |a + b|=|a|+|b |,當(dāng) a 與 b 反向時(shí)，若 |a|>|b 則a + b的方向與a相同，且|a + b|=|a|-|b|；若|a|<|b|,則 a + b 的方向與 b相同，且 |a+b|=|b |-|a|.（4）“向量平移”（自由向量）：使

14、前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到 n個(gè)向量連加3. 例一、已知向量 a、b，求作向量a + b作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作 0A = a AB = b，則OB = a b .4. 加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中b + a的結(jié)果與a + b是否相同？驗(yàn)證結(jié)果相同從而得到：1）向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)） 2）向量加法的交換律：a + b = b + ar fc-fc- f|向量加法的結(jié)合律：（a + b）+ c = a + （b + c）、證：如圖：使AB =/a ,貝y(a + b ) + c = AC CD = AD ,a + ( b + c) =

15、AB BD = AD/.(a + b)+ c= a + (b + c)從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行三、應(yīng)用舉例：例二(P94 95)略練習(xí)：P95四、小結(jié)1、向量加法的幾何意義；2、交換律和結(jié)合律；3、注意：|a + b| < |a| + |b|,當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)取等號(hào) .五、課后作業(yè)：P103 第 2、3 題六、板書設(shè)計(jì)(略)七、備用習(xí)題1、一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以2 = 3km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，船的實(shí)際航行的 速度的大小為4km/h，求水流的速度.2、一艘船距對(duì)岸 4.3km，以2 3km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，到達(dá)對(duì)岸時(shí)， 船的

16、實(shí)際航程為8km，求河水的流速.3、 一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以論的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為V2，船 的實(shí)際航行的速度的大小為 4km/h，方向與水流間的夾角是 60，求v1和v2.4、 一艘船以5km/h的速度在行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h，則船的實(shí)際航行速度大小最大是km/h，最小是km/h5、已知兩個(gè)力F1, F2的夾角是直角，且已知它們的合力 F與F1的夾角是60 , |F|=10N求F1和F2的大小.6、用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形第3課時(shí)§222向量的減法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo):1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的減法，會(huì)

17、作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義；3. 通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.教學(xué)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法教學(xué)難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確疋.學(xué) 法：減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn) 算掌握向量的減法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路:復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則 向量加法的運(yùn)算定律：例：在四邊形中， CB BA BA =.解：CB BA BA =CB BA AD = CD提出課題：向量的減法1. 用"相反向量”

18、定義向量的減法(1) "相反向量”的定義：與 a長度相同、方向相反的向量.記作-a(2) 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(電=a.任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0如果a、b互為相反向量，則 a =七， b = -a,a + b = 0(3) 向量減法的定義：向量 a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：a-b = a + (-b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法2. 用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：若b + x = a，貝U x叫做a與b的差，記作a - b3. 求作差向量：已知向量 a、b,求作向量/ (a-b) + b

19、 = a + ( -b) + b = a + 0 = a作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn) O,ab作 OA = a, AB = b則 BA = a - b顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)4.探究：1）如果從向量a的終點(diǎn)指向向量 b的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是b 一 a.B'a-b *OA_bba-bB O2）若a / b, 如何作出a-b ?三、例題：例一、（P9 7例三）已知向量a、b、c、d,求作向量 a-b、c-d.解：在平面上取一點(diǎn) O,作OA = a, OB = b, OC = c, OD = d,作 BA , DC , 則 BA = a-b,DC = c-d即a_b可以表示為從向量

20、b的終點(diǎn)指向向量 a的終點(diǎn)的向量注意：1 AB表示a -b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2用“相反向量”定義法作差向量，a-b = a + （-b）例二、平行四邊形 ABCD中，AB二a, AD二b,用a、b表示向量AC、DB .解：由平行四邊形法則得:AC = a + b, DB = ABAD = a_b變式一：當(dāng)a， b滿足什么條件時(shí)，a+b與a_b垂直？ （ |a| = |b|） 變式二：當(dāng)a， b滿足什么條件時(shí)，|a+ b| = |a_b|?（ a， b互相垂直） 變式三：a+ b與a-b可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，t二對(duì)角線方向不同）練習(xí)：P 98四、小結(jié)：向量減法的定義、作圖法

21、|五、作業(yè)：P103第4、5題六、板書設(shè)計(jì)（略）七、備用習(xí)題：1在 ABC 中，BC = a, CA = b，則 AB 等于)A. a+ bB,-a+(-bCa-bDh b- a2.0為平行四邊形ABCD平面上的點(diǎn)，設(shè) 0A= a,OB = b,OC =c, OD = d，則A. a+ b+c+d=OB. a- b+ c- d 二。C.a+ b-c-d =0D. a-b-c+d=03 .如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空:a+ b=， b+c=， c-d=， a+ b+ c-d=4、如圖所示，0是四邊形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b

22、= AB，c-d= DC，并畫出b-c和a+ d.J2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第4課時(shí)§ 231平面向量基本定理教學(xué)目的：(1) 了解平面向量基本定理；(2) 理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；(3) 能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用 授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，記作： 入a(1) |入a |=|入|a | ； (2)入0時(shí)入a與a方向

23、相同；入0時(shí)入a與a方向相反；入=0時(shí)入a = 02. 運(yùn)算定律入(a + b)=入a +入b結(jié)合律：入(歸)=(入卩)；分配律：(入+卩)=入a+a ,3. 向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使、講解新課:平面向量基本定理：如果 ei , e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面 內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 入1,入2使a=入1+入2e2.探究：(1) 我們把不共線向量 e 1、e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量 a在給出基底e 1、e 2的條件下進(jìn)行分解；(4) 基底

24、給定時(shí)，分解形式惟一.1入力是被a , e , e2唯一確定的數(shù)量三、講解范例:D例1已知向量q , e2 求作向量_2.5© +3色.例2 如圖一 ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M，且AB = a ,AD =b，用 a , b表示 MA , MB , MC 和 MD例3已知，一ABCD的兩條對(duì)角線 AC與BD交于E,例4（ 1）如圖，OA，OB不共線，AP=tAB(t R)用 OA，任意一點(diǎn)，求證： OA + OB + OC + OD =4 OEOB表示OP .B所在的平面內(nèi)，且P三點(diǎn)共線.（2 ）設(shè)OA、OB不共線，點(diǎn) P在0、A、T T TOP =（1-t）OA tOB（t R）.

25、求證：A、B、例5已知a=2&-3e2， b= 2+3a,其中& ,血不共線，向量 c=2&-9e2，問是否存在這樣的 實(shí)數(shù)、I,使d'='aQ._jb與c共線.四、課堂練習(xí)：1. 設(shè)&、e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有（）A. ei、e2 一定平行B. ei、e?的模相等C. 同一平面內(nèi)的任一向量a都有a = ?ei+姥（入 吐R）D. 若ei、e?不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a = ?ei+ue2（入u R）2. 已知矢量a = ei-2e2, b =2ei+e2，其中&、e2不共線，則 a+b與c =6ei-2e2的關(guān)系A(chǔ).

26、不共線B.共線C.相等D.無法確定3. 已知向量ei、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足（3x-4y）ei+（2x-3y）e2=6ei+3e2,則x-y的值等于（）A.3B.-3C.0D.24. 已知a、b不共線，且c =入a+迪兀加R），若c與b共線，則入=.5. 已知刀0,力0,ei、e2是一組基底，且a =入ei+?2e2,則a與ei, a與e2（填共線或不共線）.五、小結(jié)（略）六、課后作業(yè)（略）：七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記:第5課時(shí)§ 2.3.2-§ 233平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算教學(xué)目的：（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）會(huì)

27、根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 平面向量基本定理：如果 ei , e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 入1,入2使a=入10+入2e2（1）我們把不共線向量 e 1、e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；（2）基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；（3）由定理可將任一向量 a在給出基底ei、e 2的條件下進(jìn)行分解；（4）基底給定時(shí)，分解形式惟一.認(rèn)滄是被a , q , e?唯一確定的數(shù)量二、講解新課：1.平面向

28、量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a =xi 十 yjO1a我們把（x, y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a = （x, y）02o：其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，02式叫做向y山量的坐標(biāo)表示與a相等的向量的坐標(biāo)也為 （x, y）.y事Oj） /特別地，i =(1,0) , j =(0,1), 0 =(0,0).如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA =a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定設(shè)OA=xi yj，則向量OA的坐標(biāo)(x, y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)

29、；反過來，點(diǎn) A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1 ) 若 a =(人，yj , b =(X2, y2), 貝V a b =(X! x?, yi y?),a b =(x! X2,yi - y?)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差設(shè)基底為 i、j，則 a b 二(x1i y-i j) (x2i y2j) = (x1 x2)i (y1y2)j即 a b = (x1 x2, y1y2)，同理可得 ab = (x1x2, y1 - y2)(2)若 A(x1，y1), B(X2,y2)，則

30、AB 二 x? -為2一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)AB =OB -OA =(X2，y2)-(X1, y”=(X2- X1, y2- y”(3)若 a =(x, y)和實(shí)數(shù) U a =( 'X, 'y) 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)設(shè)基底為 i、j JU 'a = (xi yj)二Xi $，即 = ( x, y)三、講解范例:例 1 已知 A(X1, y1), B(X2,y2)，求AB的坐標(biāo).例2已知a =(2, 1),b =(-3, 4)，求 a + b , a -b , 3 a +4 b 的坐例3已知平面上三

31、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A( -2,1), B(-1,3),C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，由AB = DC 得 Di=(2,2)當(dāng)平行四邊形為 ACDB時(shí)，得D2=（4 , 6）,當(dāng)平行四邊形為 DACB時(shí)，得D3=（_6, 0） 例 4 已知三個(gè)力F1（3,4）, F2 （2,與）,F3（x, y）的合力F +F2+ F3= 0，求 F3 的坐標(biāo).fe解：由題設(shè) F1 + F2 + F3 = 0得：（3， 4）+ （2， -5）+（x， y）=（0， 0）- F3 (-5, 1)即: 3+2+x = 04 _ 5 + y = 0四、課堂練習(xí)：一

32、11. 若 M（3 ,-2）N（-5,-1）且 MP MN , 求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)22 若 A(0 ,1),B(1 ,2),C(3 ,4),則 AB -2 BC =3. 已知：四點(diǎn) A(5 ,1) ,B(3 ,4) ,C(1 ,3) ,D(5 ,-3), 求證：四邊形 ABCD是梯形.五、小結(jié)（略）六、課后作業(yè)（略）七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記:第6課時(shí)§ 2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目的：（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性授課類型：新授

33、課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入:1平面向量的坐標(biāo)表示分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi yj把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作 a = (x, y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地,i =(1,0)，j =(0,1)，0 =(0,0).2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算右 a=(Xi,yi), b =(x2,y2),則 a b =(X! X2,y!y?), a - b =(X!- x?,y!-y?), a = ( x, y).若 A(x1, y1), B(X

34、2, y?)，則 AB mix? -兀山 - 二、講解新課：a b (b =0 )的充要條件是 X1y2-X2y1=0設(shè) a=(x1, y”，b =(X2, y2)其中 b 嚴(yán)a.-xi =扎 x2了肖去 入，X1y2-X2y1=0由 a =入 b 得，(X1, y” =入(x2,y2) n、探究：(1)消去入時(shí)不能兩式相除,y = Z.y2y1,y2有可能為0, t b =0/. X2,y中至少有一個(gè)不為0(2)充要條件不能寫成 血=垃X-Ix2/ X1,X2有可能為0(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式:a b (b =0)二a =，bX2 一 X2% =0三、講解范例:例 1 已知 a

35、 =(4 , 2), b =(6 , y)，且 a / b，求 y.例2已知A(-1 ,-1),B(1 , 3),C(2 , 5)，試判斷A , B, C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系例3設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，Pi、P2的坐標(biāo)分別是(xi, yi),(X2, y2).(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段PlP2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).例4若向量a =(-i，x)與b =(-x，2)共線且方向相同，求x又/ 2X 2-4X 1=0 AB / CD解： a =(-1, x)與 b=(-x,2)共線.(-1) X 2- x?(-x)=0 x= ± .

36、2a與b方向相同 x= 2例 5 已知 A(-1 ,-1),B(1 , 3),C(1, 5),D(2 , 7),向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？解： AB =(1-(-1),3-(-1)=(2 ,4),CD =(2-1 , 7-5)=(1 , 2)又/ AC =(1-(-1) , 5-(-1)=(2 ,6) , AB =(2, 4), 2X 4-2 X 6=0 AC 與 AB 不平行 A , B, C不共線 AB與CD不重合 AB / CD四、課堂練習(xí)：1. 若 a=(2 , 3), b=(4, -1 + y)，且 a / b,則 y=()A.6B.5C.7D.82. 若A(

37、x, -1), B(1 , 3), C(2 , 5)三點(diǎn)共線，則 x的值為()A.-3B.-1C.1D.33. 若AB = i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線,貝U x、y的值可能分別為()A.1 , 2B.2 , 2C.3 , 2D.2 , 44. 已知 a=(4 , 2) , b=(6 , y),且 a / b,貝U y=.5. 已知a=(1 , 2) , b=(x, 1),若a+2b與2a-b平行，貝U x的值為6. 已知 CABCD 四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(5 , 7) , B(3 , x) , C(2

38、, 3) , D(4 , x),貝U x=五、 小結(jié)(略)六、課后作業(yè)(略)七、板書設(shè)計(jì)(略)八、課后記:§ 2.4平面向量的數(shù)量積第7課時(shí)一、平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然

39、后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí) 主要知識(shí)點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義； 平面向量數(shù)量積的 5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn) 算律教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) 入，使b =入 a ¥ *2平面向量基本定理：如果 ei , e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 入1,入2使a=入10+入2e23. 平面向量的坐標(biāo)表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i、j作為基底.任作一個(gè)向量a ,由平面向 量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x、y，使得a =

40、 xi yj把（x, y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作 a二（x, y）4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若 a =(xyj , b =(X2,y2)，則 a b =區(qū) x?,yi y?) , a b =(捲 一 x?,力 一 y?), = ( x, y).若 A（Xi, yi）, B（X2, y2），則 AB = x? - Xi, y? - yi i5. a / b （b =0 ）的充要條件是 xiy2-X2yi=06線段的定比分點(diǎn)及入Pi, P2是直線I上的兩點(diǎn)，P是I上不同于Pi, P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù) 入，使Pip =入PP2 ,入叫做點(diǎn)p分PP2所成的比，有三種情況入0（內(nèi)分）（外分）入0（入

41、-i）（外分）入0 （-i入0）7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)P1 （xi,yi）, P2 （X2,y2）,入為實(shí)數(shù)，且RP =入PF2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（井，井），我們稱入為點(diǎn)P分麗所成的比.8點(diǎn)P的位置與入的范圍的關(guān)系: 當(dāng)do時(shí)，RP與PF2同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為RP?的內(nèi)分點(diǎn).當(dāng)xo （扎羊-i）時(shí)，PiP與PP?反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為RF2的外分點(diǎn)9線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,設(shè)OR = a ,可得op =a b ii0力做的功：W = |F|s|cos K二是F與s的夾角二、講解新課:i 兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA = a , OB = b

42、，則/ AOB = 0 (0 <0<n叫a與b的夾角說明：(1)當(dāng)0=0時(shí)，a與b同向；(2)當(dāng)0= n時(shí)，a與b反向；(3)當(dāng)0=上時(shí)，2a與b垂直，記a丄b ；(4)注意在兩向量的夾角疋義，兩向量必須是冋起點(diǎn)的.范圍 0 WW 1802. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b ,它們的夾角是0，則數(shù)量a|b|cos訓(xùn)a與b的數(shù)量積，記作 a b,即有ab = |a|b|cosv(o <0<n .并規(guī)定o與任何向量的數(shù)量積為o.探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別(1 )兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由COST的符號(hào)所決定.(2)

43、 兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積 ax b,而ab是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“x”代替.(3) 在實(shí)數(shù)中，若a=0，且ab=0，則b=0;但是在數(shù)量積中，若 a=0，且a b=0，不能推出 b=0.因?yàn)槠渲衏os7有可能為0.(4 )已知實(shí)數(shù) a、b、c(b=0)，貝U ab=bc = a=c.但是 a b = be' a = c 如右圖：ab = |a|b|cos'- = |b|OA|，b c = |b|c|cos = |b|OA|二 a b = b c 但 a 屮c在實(shí)數(shù)中，有(

44、ab)c = a(b c)，但是(ab)c=a(bc)顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c c共線的向量，而右端是與 a共線的向量，而一般 a與c不共 線.3“投影”的概念：作圖定義：|b|cosv叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)：為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)7為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)二為直角時(shí)投影為0;當(dāng)二=0時(shí)投影為|b|;當(dāng)滬180時(shí)投影為_|b|.4. 向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosn的乘積.5. 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = a e =|a|cosv2 a_b= a b = 0

45、3 當(dāng)a與b同向時(shí)，a b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a b = -|a|b|.特別的a a = |a|2或| a = a a4 cost = ±ab5 |ab| < |a|b|三、講解范例:已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角0 =120,求a b.已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60o求(a+2b) (a-3b).已知|a|=3,判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由|b|=4,且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量 a+kb與a-kb互相垂直. a 0 = 0; 0 a = 0; 0 AB = BA :丨 a b| = | a|b| ;若 aQ 則對(duì)任一非零b有a bO;

46、a b = 0,貝U a與b中至少有一個(gè)為 0;對(duì)任意向量 a , b , c都有（a b ） c= a （ b c）;a與b是兩個(gè)單位向量，則 a 2 =b.解：上述8個(gè)命題中只有正確；對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0a = O;對(duì)于：應(yīng)有O a = 0;對(duì)于：由數(shù)量積定義有丨a b 1 = 1 al |blcos 01 <| all b I,這里0是a與b的夾角，只有 0=0或0= n時(shí)，才有| a b | = | a | | b | ;對(duì)于：若非零向量 a、b垂直，有a b=0;對(duì)于：由a b = 0可知a丄b可以都非零；對(duì)于：若a與c共線，記a=入貝U a b =（入）b

47、=入（cb） =入（b C ,( a，b) c=入(b C c=( b C 入 c( b c) a若a與c不共線，則(a b ) c* ( b c) a .評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律例6已知丨a |=3,| bl=6，當(dāng)a / b,a丄b，a與b的夾角是60°時(shí)，分 別求a b .解：當(dāng)a / b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角0=0 °, a b=| a | | b | cosO°= 3X6X1 = 18;若a與b反向，則它們的夾角0= 180° a b=| a | b| cos180° = 3>6X

48、(-1) = 18; 當(dāng)a±b時(shí)，它們的夾角 0= 90°, a b = 0; 當(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，有1a -b =| a| b | cos60°= 3X5X= 92評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0° 180°,因此，當(dāng)a / b時(shí)，有0°或180°兩種可能.四、課堂練習(xí)：1已知|a|=1, |b|=、2，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是()A.60 °B.30 °C.135 °D. 4 5 °2. 已知|a|=2, |b|=1, a與b之間的夾

49、角為，那么向量 m=a-4b的模為()3A.2B.2、3C.6D.123已知a、b是非零向量，則|a|=|b是(a+b)與(a-b)垂直的()A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件714. 已知向量 a、b 的夾角為一，lal=2, PF1，則 |a+b| |a-b|=35. 已知a+b=2i-8j, a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a b=.( 26. 已知 a丄 b、c 與 a、b 的夾角均為 60° 且 |a|=1, |b|=2, |c|=3，則(a+2b-c) =.7. 已知 |a|=1,

50、 |b|=J2 , (1)若 a / b，求 a b;若 a、b 的夾角為 6 0 ° 求 |a+b|;若 a-b 與a垂直，求a與b的夾角.8. 設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為6 0°,求向量 a=2m+n與b=2n-3m的夾角.9. 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b，求使|a+tb|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)b與a+tb的夾角.五、小結(jié)（略）六、課后作業(yè)（略）七、教學(xué)后記：第8課時(shí)二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律教學(xué)目的：1掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；2能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；3掌握兩個(gè)向量共線、 垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直， 以及能解決一些簡(jiǎn)單問題

51、 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：?jiǎn)l(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，弓I導(dǎo)學(xué)生注意 數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA = a , OB = b，則Z AOB = 0 （0 <0<n叫a與b的夾角2. 平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b ,它們的夾角是0，則數(shù)量ai|b|cos7叫a與b的數(shù)量積，記作 a b，即有a b = |a|b|cos”二（o.并規(guī)定

52、o與任何向量的數(shù)量積為o.3“投影”的概念：作圖定義：|b|cosr叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)7為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)洶鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)二為直角時(shí)投影為0;當(dāng)二=0時(shí)投影為|b|;當(dāng)二=180時(shí)投影為-|b|.4. 向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosyi的乘積.5. 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = a e =|a|cosv2 a_b二 a b = 03 當(dāng)a與b同向時(shí)，a b = |a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a b = -|a|b|.特別的a a = |af或Ia

53、 I二a a* a b 亠4 cost =; 5 |a b| < |a|b|a|b|二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1 .交換律：a b = b a證：設(shè) a, b 夾角為 v,貝U a b = |a|b|cosr, b a = |b|a|cosv-a b = b a2. 數(shù)乘結(jié)合律：( a) b = (a b) = a (，b)證：若> 0, ( a) b = |a|b|cos=, (a b) = |a|b|cosn, a ( b) = |a|b|cos ,若 < 0, ( a) b =| - a|b|cos(二七)=- |a|b|(_cos = |a|b|cosv, (a b) =，|a|b|cosv a ( b) =|a| b|cos(T)=先 |a|b|(-cost) = |a|b|cosn3. 分配律：(a + b) c = a c + b c在平面內(nèi)取一點(diǎn) 0 ,作OA = a , AB = b , OC = c , / a + b (即OB )在c方向上的 投影等于a、