高中數(shù)學(xué)平面向量知識點總結(jié)及常見題型

1、平面向量一. 向量的基本概念與基本運算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：uuuuuuAB幾何表示法 AB , a ；坐標(biāo)表示法a xi yj (x, y).向uuu量的大小即向量的模(長度)，記作| AB |即向量的大小，記作丨a | ,向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小. 零向量：長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行 零向量a = 0| a | = 0由于0的方向是任意的，且規(guī)定 0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行(共線)的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件.(注意與0的區(qū)別) 單

2、位向量：模為1個單位長度的向量向量a0為單位向量I a0 1 = 1. 平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量 任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a / b .由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量 相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為小相等，方向相同(x1, y1)(x2, y2)Xi*X22向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法uuu r uuu rr uuu ULU uuiu設(shè) AB a, BC b，貝U a + b = AB BC = AC(1

3、) 0 a a 0 a ；( 2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：(1) 用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點 重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量(2) 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的 有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則向 量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：uuuuruur uuuuuuuuuABBCCDL PQQRAR，但

4、這時必須“首尾相連”.3向量的減法 相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作 a,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： (i )( a) =a ； (ii) a+( a)=( a)+ a = 0 ；(iii) 若a、b是互為相反向量，則 a= b,b= a, a + b =0 向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a b a ( b)求兩個向量差的運算，叫做向量的減法 作圖法：a b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量(a、b有共同起點)4實數(shù)與向量的積：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作入 a，它的長度與方向規(guī)定如下：(I) a a ;(n)當(dāng) 0

5、時，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，入a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a 0，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線 有且只有一個實數(shù)，使得b = a6平面向量的基本定理：如果e1, e是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) !, 2使：a1巴2e2，其中不共線的向量 e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意：(1 )向量的加法與減法是互逆運算(2) 相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件(3) 向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)，而向量平行則包括共線

6、(重合)的情況(4 )向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置 有關(guān)二. 平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量ir, j作為基底 由平面向rj量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量 a可表示成a xi yj，由于a與數(shù)對(x,y)是一一 對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量首的坐標(biāo)，記作a =(x,y)，其中x叫作a在x軸上的坐標(biāo)，y 叫做在y軸上的坐標(biāo)(1) 相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位 置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)

7、運算：2)2yX2,r by1X1,y2y1卷X1y1X1>X2(3)若 a=(x,y)，貝Ura =( x, y)ra若r by1X1,X2,y2，則 abXi yX2 yi0r a若5)r by1X1>y2%X2捲 r b r a貝2yX2,r若 a b，貝V x1 x2 y1 y203向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量(內(nèi)積) 及其各運算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)運算 類型幾何方法坐標(biāo)方法運算性質(zhì)向1 .平行四邊形法則r r量2三角形法則a b (x x2,y %)abba的加(a b) c a (b c)法uur uur uurAB BC AC向三角形法則r r量a

8、b (x 冷, 適)a b a ( b)的uuuuuu減ABBA法uur uurLuuOB OA AB向a是一個向量,a ( x, y)(a)()a量滿足：的>0時,a與a同()a乘aa向；法<0時,a與a異(a b)b向；a=0時,a = 0.a b ab向r r量a?b 是一.個數(shù)a?b為禺yya?b b?a的(a?b)數(shù)a 0或b 0時,(a)?b a?( b)量積a?b=0(a b) ?ca?cb?ca 0且b 0時，2 2 a |a| , |a| v2 2x ya?b |a|b|cos a,b| a ?b | |a|b|三. 平面向量的數(shù)量積i兩個向量的數(shù)量積：叫做a與b

9、的r r已知兩個非零向量 a與b，它們的夾角為數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定0 a 02向量的投影:rbsocr braTa r,稱為向量b在a方向上的投影投影的絕對值稱6#為射影3數(shù)量積的幾何意義：a b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：a a a2 |a|25乘法公式成立:2 r b2ra2r b2r a rb r a rb r a2r b r b r a22ra2r b r b r a22r a2r br a#6平面向量數(shù)量積的運算律:#ra r b r b 交換律成立：arrr 對實數(shù)的結(jié)合律成立：a b a b a b R 分配律成立：a b c acbc cab

10、rr特別注意：(i)結(jié)合律不成立：a b c a b c ；rr(2) 消去律不成立a b a c不能得到b crr r r(3) a b =o不能得到a=o或b =o7兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算：rr已知兩個向量 a (x1,y1),b (x2,y2)，則 a b =X|X2 yyr r mu r uuiu r8向量的夾角： 已知兩個非零向量a與b ,作OA = a , OB = b ,則/ AOB=r r(001800 )叫做向量a與b的夾角cos = cos a, ba ?b _x1x2 y1 y2a|?b Jx, y12rrr當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量a與b同方向時，0 =00,當(dāng)且僅當(dāng)a與

11、b反方向時& =180°,同時0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題rrr9垂直:如果a與b的夾角為900則稱a與b垂直，記作a丄b10兩個非零向量垂直的充要條件a丄b a b = O X1X2 y°20.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)題型1.基本概念判斷正誤：(1 )共線向量就是在同一條直線上的向量.(2)若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點(3 )與已知向量共線的單位向量是唯一的uuu uuu(4) 四邊形ABCD是平行四邊形的條件是 AB CD.(5) 若Ab Cd，則A、B、C D四點構(gòu)成平行四邊形(6 )因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量(7) 若a與b

12、共線，b與c共線，則a與c共線.r r r r(8) 若 ma mb，則 a b.(9)若 ma na ,貝U m n .(10)若a與b不共線，則a與b都不是零向量(11 )若 a b |a| |b|，則 a/b.(12)若 |a b | | a b |，則 a b.題型2.向量的加減運算1.設(shè)a表示"向東走8km"b表示"向北走6km",則| a b |9#uuu uuruur uuu uuu2. 化簡(AB MB) (BO BC) OMuuu uuuuuu3.已知|OA I 5, |OB| 3,則| AB |的最大值和最小值分別為uuur, AD

13、_.uuur uuu uuuruuurr uuuruuu4.已知AC為AB與AD的和向量，且ACa, BDb，則ABuuur3 uuuujuruuu uuuuuu5.已知點C在線段AB上,且AC AB ,則ACBC , ABBC .5題型3.向量的數(shù)乘運算r r r rr r rr r r1. 計算：(1) 3(a b) 2(a b)(2) 2(2a 5b 3C) 3( 2a 3b 2C)rrr 1 r2. 已知 a (1, 4),b( 3,8)，則 3a b2題型4.作圖法球向量的和r rr 1 r r 3 r已知向量a,b，如下圖，請做出向量 3ab和2a b .2 2#題型5.根據(jù)圖形由

14、已知向量求未知向量uuu uuuuuir1.已知在 ABC中，D是BC的中點，請用向量 AB,AC表示AD2.在平行四邊形 ABCD中，已知Acuur,BDr uuu mur b，求 AB和 AD .題型6.向量的坐標(biāo)運算uuu1. 已知AB (4,5) , A(2,3)，則點B的坐標(biāo)是uuu2. 已知PQ ( 3, 5) , P(3,7)，則點Q的坐標(biāo)是若物體受三個力 £(1,2) , F2( 2,3) , F3( 1, 4),則合力的坐標(biāo)為 #rr rr4.已知 a ( 3,4) , b (5,2)，求 a b , a b , 3a 2b.5. 已知 A(1,2), B(3,2)

15、,向量 a (xuuu2,x 3y 2)與AB相等，求x, y的值.10#uuu(1,4)，則 DAuuuuuuuuu6. 已知 AB (2,3) , BC (m, n), CD7.已知O是坐標(biāo)原點,uur uuu r uuuA(2, 1),B( 4,8)，且 AB 3BC 0，求 OC 的坐標(biāo).題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底ur rn1. 已知,e2是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：iriuuriuuruuixir ur iu ur ir tuuiura. e僉和e e?B. 3e 2e?和4q 6ec. e3色和僉3eD. e2和e? e2. 已知a (3,4)

16、，能與a構(gòu)成基底的是()A.(3,4) B. (4,3) C. (3, 4 D. (i,-)5 55 5553題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uuuuuu1. 已知O是坐標(biāo)原點，點 A在第二象限，|OA| 2， xOA 150o，求OA的坐標(biāo).uuu _uur2. 已知O是原點，點 A在第一象限，|OA| 4-、3， xOA 60o，求OA的坐標(biāo).題型9.求數(shù)量積rrrr1. 已知aI 3,ib 14，且 a與b 的夾角為 60o，求(1)a b，(2)a (a ，r 1 r rr r r r(3) (a -b) b，(4)(2a b) (a 3b).2rrrr2. 已知 a (2,6),b (

17、8,10)，求(1)靑|小|，(2)a b，(3)a(2a b)，rr(4) (2si b) (a 3b).題型10.求向量的夾角rrr1. 已知|a | 8,|b | 3 , a b 12，求a與b的夾角.2. 已知a (、3i),b ( 2.3,2)，求a與b的夾角3. 已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5)，求 cos BAC .題型11.求向量的模rrrr1. 已知 |a | 3,|b|4，且 a與 b的夾角為 60o，求(1) |首 b|, (2)| 2si 3b|.rrr rr rr 1 r2. 已知 a (2, 6),b( 8,10)，求(1) |a|,|b|, (5

18、) |a b|, (6)靑 丄b |.2r rr rrr3. 已知 |a| 1,1 bI 2 , |3a2b |3，求 I 3ab|.rr題型12.求單位向量【與a平行的單位向量：e 皐】|a|1. 與a (12,5)平行的單位向量是r12. 與m ( 1,-)平行的單位向量是2題型13.向量的平行與垂直rrr1. 已知 a (6,2)，b ( 3,m)，當(dāng) m 為何值時，(1) a/b ？ ( 2) a b ？rrr2. 已知a (1,2)，b ( 3,2)，( 1) k為何值時，向量ka b與a 3b垂直？rr(2) k為何值時，向量ka b與a 3b平行？rrr3. 已知a是非零向量，a

19、 b a c，且b c，求證：a (b C).題型14.三點共線問題1.已知 A(0, 2)，B(2,2)，C(3,4)，求證:A,B,C 三點共線.uuu2.設(shè) AB、2 r r uuur (a 5b), BC 2uuu r r uuu3.已知 AB a 2b, BCr r uuur r r2a 8b,CD 3(a b)，求證： A B、D 三點共線.rr uuur rr5a 6b,CD 7a 2b，則一定共線的三點是2)在直線AB上，求a的值.4. 已知 A(1, 3), B(8, 1)，若點 C(2a 1,a5.已知四個點的坐標(biāo)0(0,0) , A(3,4)， B( 1,2)，C(1,1

20、)，是否存在常數(shù)t，使uuu uuu uuurOA tOB OC 成立？題型15.判斷多邊形的形狀uuu r uuu r uuur uuur1. 若AB 3e，CD 5e，且| AD | |BC|,則四邊形的形狀是.2. 已知 A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0, 2)，證明四邊形 ABCD 是梯形.3. 已知A( 2,1)，B(6, 3)，C(0,5)，求證：ABC是直角三角形.uuuuuuuur4. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求證：ABC是等腰直角三角形.題型16.平面向量的綜合應(yīng)用rrr1. 已知a (1,0)，b (2,

21、1)，當(dāng)k為何值時，向量ka b與a 3b平行？2. 已知a (忌、5)，且a b，|b| 2，求b的坐標(biāo).3.已知a與b同向，b (1,2)，貝y a10，求 a的坐標(biāo).13#已知 a (1,2) , b (3,1), c(5,4)，貝y c14rr4.已知a (5,10)，b ( 3, 4)，c (5,0)，請將用向量a,b表示向量c.rrr r5. 已知a (m,3)，b (2,1)，( 1)若a與b的夾角為鈍角，求 m的范圍；(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍.rrr6. 已知a (6,2)，b ( 3,m)，當(dāng)m為何值時，(1)a與b的夾角為鈍角？( 2)與b 的夾角為銳角？7. 已知梯形 ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A(