專題一阿基米德三角形地性質(zhì)

1、實用標準阿基米德三角形的性質(zhì)阿基米德三角形：拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的。阿基米德三角形的性質(zhì)：設(shè)拋物線方程為x2=2py，稱弦 AB為阿基米德三角形的底邊，M為底邊 AB的中點， Q為兩條切線的交點。性質(zhì) 1阿基米德三角形底邊上的中線與拋物線的軸。性質(zhì) 2阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點C，則另一頂點Q的軌跡為。性質(zhì) 3拋物線以 C為中點的弦與 Q點的軌跡。性質(zhì) 4若直線 l 與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點。性質(zhì) 5底邊長為 a 的

2、阿基米德三角形的面積的最大值為。性質(zhì) 6若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點Q的軌跡為拋物線的，且阿基米德三角形的面積的最小值為。性質(zhì) 7在阿基米德三角形中， QFA=QFB。性質(zhì) 8在拋物線上任取一點I（不與、B重合），過I作拋物線切線交、于、 ，則AQA QBS TQST的垂心在上。性質(zhì)9|2AF| · | BF|=| QF| .性質(zhì) 10的中點P在拋物線上，且P處的切線與AB。QM性質(zhì) 11在性質(zhì) 8 中，連接 AI 、 BI ，則 ABI 的面積是 QST面積的倍。精彩文檔實用標準高考題中的阿基米德三角形例 1（ 2005 江西卷，理 22 題）如圖，設(shè)拋物線 C : y =

3、 x2 的焦點為F，動點 P在直線 l : x - y - 2 = 0上運動，過P 作拋物線 C的兩條切線 PA、 PB，且與拋物線C分別相切于 A、B 兩點 .（ 1）求的重心G的軌跡方程 .APB（ 2）證明 PFA= PFB.y解：（ 1）設(shè)切點 A、B 坐標分別為22x0 ) ，F(xiàn)B(x, x0 )和(x1, x1 )( x1 1Alxx02切線 AP的方程為：2x0 x - y -= 0;O切線 BP的方程為： 2x1 x - y -x12=0;P解得 P 點的坐標為： xP=x0 + x1 , yP= x0x12所以的重心 的坐標為，APBGyG =y+ y+ yP =x2+ x

4、2 + xx1 =(x+ x)2- xx1 =4xP 2 - yp,010100103333所以 yp = - 3yG + 4xG2，由點 P 在直線 l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：x - (- 3y +4x 2 ) -2 =0,即 y =1 (4x 2 - x + 2).uur3uuuruuur1x0+ x111（ 2）方法 1：因為 FA= (x, x2-, xx-= (x , x2).00), FP= (1), FB1-420414uuur由于 P 點在拋物線外，則 | FP |10.uuuruuurx0+ x1 ?x 0(x0x1 -1)( x02-1)x 0x1 +1 cos

5、 ? A FPFP ×FA=244=uuur4 ,uuuruuuruuur1| FP| FA|22-)2| FP| FP | x0+ ( x04uuuruuurx0+ x1?x1(x0x1 -1)( x12-1x0x1 +1)同理有 cos? BFPFP ×FB=244=uuur4 ,uuuruuuruuur1|FP |FB |222| FP|FP |x-1 + (x1)4=.AFPPFB方法 2：當 x1x0= 0時由,于 x1?x0 , 不妨設(shè) x00,則 y0= 0,所以 P 點坐標為 ( x1,0) ，則 P點到直2精彩文檔實用標準線 AF的距離為： d=| x1

6、| ; 而直線 BF 的方程 : y -1=x12 -14 x,124x1即211-4)x - x1y +4 x1 = 0.(x1| (x12 -所以 P 點到直線 BF的距離為： d2 =(x12 -1)x1+x1|(x2+1| x1 |42414)| x1 |2=1 )2 + (x1 )2x12 + 1244所以 d1=d2，即得 AFP= PFB.21當 x1x0 1 0 時，直線 AF的方程：y -1=x 0 -4(x - 0),即(x211x0 = 0,4x0 -00- )x - x0y +442-1直線 BF的方程： y -1x14 ( x - 0), 即(x12 -11=)x -

7、x1y +x1= 0,4x1 -044所以 P 點到直線 AF的距離為：21x+ x21x- x21d1 =| (x0 -4 )(0 21 ) - x0x1+4 x 0 | =|021 )( x 0+4) =| x0 - x1 | ，(x 02 -1 )2 + x02x 02 + 1244同理可得到P點到直線BF的距離d2| x1-x 0 |1=2，可得到=PFB=2，因此由 ddAFP例 2(2006 全國卷，理21 題 ) 已知拋物線x2 4y 的焦點為 F，A、B 是拋物線上的兩動點，且AF FB（ 0）過 A、 B 兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為（）證明 FM· AB為定

8、值；（）設(shè) ABM的面積為 S，寫出 Sf ( ) 的表達式，并求S 的最小值解： ( ) 由已知條件，得F(0 ， 1) ， 0設(shè) A( x1， y1) ， B( x2， y2) 由 AF FB，即得( x1， 1y) ( x2， y2 1) ， x1 x21 y1 (y 21)精彩文檔實用標準11將式兩邊平方并把y1 4x12， y24x22 代入得y1 2y21解、式得y1 ， y2 ，且有 x1x2 x22 4 y2 4，11拋物線方程為y4x2，求導(dǎo)得 y 2x所以過拋物線上A、B 兩點的切線方程分別是11y 2x1( xx1) y1，y 2x2( x x2) y2，1111即 y

9、2x1x 4x12，y 2x2x4x22M的坐標為 (x1 x2x1x2x1 x2解出兩條切線的交點2， 4) (2，1)4 分x1 x2111所以 FM· AB (2， 2) · ( x2 x1， y2 y1) 2( x22x12) 2( 4x22 4x12) 07 分所以 FM· AB為定值，其值為 01( ) 由 ( ) 知在 ABM中， FMAB，因而 S 2| AB|FM| x1x2111| | (2) 2( 2) 24x2 x 2xx 4FM142212111y1 y22× ( 4) 4 2 因為| |、| 分別等于 、到拋物線準線 1 的距

10、離，所以AFBFA By11| AB| | AF| | BF| y1 y2 2 2 ( )2 11于是S 2| AB|FM| ( )3 ，1由 2 知 S 4，且當 1 時， S 取得最小值 4例 3（ 2007 江蘇卷， 理 19 題）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，過 y 軸正方向上一點 C (0,c) 任作一直線，與拋物線y = x 2 相交于 AB 兩點，一條垂直于x 軸的直線，分別與線段 AB 和直線 l : y = - c 交于 P,Q ，uuur uuur2 ，求 c 的值；（ 5 分）（ 1）若 OA ?OB精彩文檔實用標準（ 2）若 P 為線段 AB 的中點，求證： QA

11、 為此拋物線的切線； （ 5 分）（ 3）試問（ 2）的逆命題是否成立？說明理由。（4 分）解：（ 1 ）設(shè)過C 點的直線為y = kx + c ，所以 x2 = kx + c( c>0) ，即 x2 - kx -c = 0 ，設(shè)A(x1, y1 ), B (x2 , yuuuruuuruuuruuur2 ) ， OA =(x1, y1 )， OB = (x2 ,y2 )，因為 OA?OB 2，所以x1x2 + y1y2 = 2 ，即 x1x2 + (kx1 + c)(kx2 + c) = 2 ， x1x2 + k2 x1x2 - kc (x1 + x2 )+ c 2 = 2所以 - c

12、 -k 2c + kcgk + c 2= 2 ，即 c2 - c - 2 =0, 所以 c = 2 (舍去 c = -1)（ 2 ） 設(shè) 過 Q 的 切 線 為 y - y1 = k1 (x - x1 ) ， y / = 2x ， 所 以 k1 = 2x1， 即驏c÷22y = - cM?x1y = 2x1 x - 2x1+ y1 = 2x1 x - x1， 它 與的交點為?-÷， 又?,- c÷?2x1÷桫2驏驏2驏cx1 + x2 y +÷k1y ÷ 2 k k÷= x?÷?÷?,-P?,= ? ,c

13、，所以 Q?- c÷= - c2，所以， 因 為 x x, 所 以?÷?÷?÷1 2÷÷x?÷ ?22桫21桫 2桫2驏x2÷驏x1k÷?÷?M?+÷所以點 M和點 Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。, - c = ? ,- c ,?÷?÷÷÷?2桫桫22驏÷k,?÷（ 3）（ 2）的逆命題是成立， 由（ 2）可知 Q- c ，因為 PQ x 軸，?÷?÷桫2驏所以 P ?k , y ÷

14、7;?桫2P ÷÷因為 x1 + x2 = k ，所以 P為 AB的中點。22例 4（ 2008 山東卷，理22 題）如圖，設(shè)拋物線方程為x 2= 2py( p > 0) ， M 為直線 y = - 2p 上任意一點，過 M 引拋物線的切線，切點分別為A，B （）求證： A， M ，B 三點的橫坐標成等差數(shù)列；（）已知當 M 點的坐標為 (2，- 2p) 時， A B = 410 求此時拋物線的方程；（）是否存在點M ，使得點 C 關(guān)于直線 AB 的對稱點2D 在拋物線 x = 2py( p > 0) 上，其中，uuuruuuruuur點C 滿足OC =OA +

15、 OB （ O 為坐標原點） 若存在，求出所有適合題意的點M 的坐標；若不精彩文檔實用標準存在，請說明理由驏2鼢驏2瓏x1x2瓏，鼢，解：（）證明：由題意設(shè)A x，B xx< x鼢M (x - 2p ) 瓏鼢2120瓏12p鼢2p桫桫由 x 2 = 2py 得 y = x2 ，得 y = x ，2pp所以 kMA=x1， kMB=x2pp因此直線 MA 的方程為 y +2p=x1 (x -x0 ) ，直線 MB 的方程為 y + 2p =x2 (x - x0 ) pp所以 x12+ 2p =x1 (x1 - x0 ) ，x22+ 2 p =x 2 (x2 - x0 ) 2pp2pp由、得

16、 x1 + x2 = x1 + x2 -x0 ，2因此 x0=x1 + x2 ，即 2x0 = x1 + x2 2所以 A， M ， B 三點的橫坐標成等差數(shù)列（）解：由（）知，當x0=2時，將其代入、并整理得：2222x1 - 4x1 - 4 p = 0 ，x2 - 4x 2 - 4p = 0 ，所以 x1， x22-20 的兩根，是方程 x4x - 4 p =因此 x1 + x2 = 4 ， x1x2 = - 4p 2 ，又 kAB =x22-x12x1+ x2x0 ，所以 kAB =22p2p =p x 2 -x12pp由弦長公式得AB =1 + k22- 4x1x2 = 1 +42(

17、x1 + x2 )2 16 + 16pp又 A B= 410，所以 p =1或 p =2 ，精彩文檔實用標準因此所求拋物線方程為x2=2y或 x 2 =4y（）解：設(shè) D (x 3， y3 ) ，由題意得 C (x1 + x2， y1+ y2 ) ，驏+ x2 + x 3 y1 + y2 + y3 ÷x1則的中點坐標為?，÷CDQ?，?÷÷?22÷桫設(shè)直線 AB 的方程為 y - y1 =x0(x - x1 ) ，p驏+ x2 y1+ y2 ÷x0x1由點 Q 在直線上，并注意到點?，÷上，代入得 y=xAB?也在直線AB3

18、3?÷?22÷p桫若 D ( x3，y3 ) 在拋物線上，則 x32= 2py 3=2x 0x3 ，驏2x2D (0，0)?0 ÷因此或 D?，÷x= 0 或 x= 2x即2x0330?÷÷?p÷桫（ 1）當 x0=0時，則 x1 + x 2 = 2x0 =0 ，此時，點 M (0，-2p)適合題意驏22x12 + x2222D (0，0)?x1+ x2 ÷x1 + x2（ 2）當，此時?，÷，x010，對于C ?2x0，2p =÷k=?2p÷4px 0桫÷CD2x0x0x

19、02222又 kAB=， AB CD ，所以 kAB gkCD =x1 + x2x1 + x2= - 1，ppg4px0=4p222= -2即 x1 + x24p，矛盾驏2÷驏22÷?2x0?x1+ x2平行于 y 軸，對于，÷，÷D?，因為C?，此時直線CD?2x0÷?2x0÷?p÷?2p÷桫÷÷桫x又 kA B = 0 ? 0 ，所以直線 AB 與直線 CD 不垂直，與題設(shè)矛盾， p所以 x0 1 0 時，不存在符合題意的M 點綜上所述，僅存在一點M (0，- 2p) 適合題意精彩文檔實用標

20、準例5 （ 2008江 西 卷 ， 理 21 題 ） 設(shè) 點 P (x 0, y0 ) 在 直 線x =m(y貢,m0<<m)1上，過點 P 作雙曲線 x 2 -y 2 = 1 的兩條切線 PA、 PB ，切點為 A、 B ，定點 M ( 1，0) m（ 1）過點 A 作直線 x -y = 0 的垂線， 垂足為 N ，試求 AMN的重心 G 所在的曲線方程；（ 2）求證： A、 M 、 B 三點共線證明：（ 1）設(shè) A(x1, y1 ), B (x2 ,y 2) ，由已知得到 y1 y210，且 x 2- y2= 1 ， x2- y2= 1 ，1122ì?= k(x - x1)設(shè)切線 PA 的方程為： y -y1 = k(x -?y - y1得x1) 由 íx2-y2