九年級數(shù)學(xué)一元二次方程知識點及練習(xí)

1、知識點總結(jié)：一元二次方程知識框架知識點、概念總結(jié)1. 一元二次方程 ：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元） ，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四個特點：(1) 含有一個未知數(shù)；(2) 且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2 ；(3) 是整式方程。要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理。如果能整理為ax 2+bx+c=0(a0) 的形式，則這個方程就為一元二次方程。（ 4）將方程化為一般形式：2時，應(yīng)滿足（ a0）ax +bx+c=03. 一元二次方程的一般形式 ：一般地，任何一個關(guān)于 x 的一元二次方程， 經(jīng)過整理，

2、?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（ a0）。一個一元二次方程經(jīng)過整理化成 ax2+bx+c=0（a 0）后，其中 ax2 是二次項， a 是二次項系數(shù)； bx 是一次項， b 是一次項系數(shù)； c 是常數(shù)項。4. 一元二次方程的解法（ 1）直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如( xa)2b 的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a 是 b 的平方根，當(dāng)b0 時， x ab ， x ab ，當(dāng) b<0 時，方程沒有實數(shù)根。（ 2）配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)

3、域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a22abb2( ab) 2 ，把公式中的a 看做未知數(shù)x ，并用x 代替，則有x 22bxb2( xb) 2 。配方法解一元二次方程的一般步驟： 現(xiàn)將已知方程化為一般形式； 化二次項系數(shù)為 1；常數(shù)項移到右邊；方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；變形為 (x+p) 2=q 的形式，如果q0，方程的根是x=-p ± q；如果 q 0,方程無實根（ 3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 ax2bx c0(a0)的求根公式：xbb24ac (b24ac

4、0)2a（ 4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判別式根的判別式：一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 中， b24ac 叫做一元二次方程 ax2bx c 0(a0) 的根的判別式，通常用“”來表示，即b24ac知識點 1.只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程叫一元二次方程。例題：1、判別下列方程是不是一元二次方程，是的打“” ，不是的打“×” ，并說明理由 .(1)2x2 -x-3=0.(2)y -y 2 =0.(3) t2 =0.412 -3=0.(4)

5、 x3 -x 2 =1.(5) x2 -2y-1=0.(6)x(7)x23x =2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2 .(9)3x2 - 4 +6=0.(10)3x2 = x -3.x41、若關(guān)于 x 的方程 a(x 1)2=2 x2 2 是一元二次方程，則a 的值是（）（A）2（B） 2（C） 0（D）不等于 22、已知關(guān)于x 的方程 m1 x2n23 xp0 ，當(dāng)時，方程為一次方程；當(dāng)時，兩根中有一個為零a 。3、已知關(guān)于x 的方程m2 xm22x m0：（ 1） m 為何值時方程為一元一次方程；（ 2） m 為何值時方程為一元二次方程。知識點二 .一元二次方程的一般形式一元二次方

6、程的一般形式是：ax2bx c0 a0 ，其中 ax 2 是二次項， a 叫二次項系數(shù)； bx 是一次項， b 叫一次項系數(shù)，c 是常數(shù)項。特別警示：（ 1）“ a 0 ”是一元二次方程的一般形式的一個重要組成部分；（ 2）二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項系數(shù)時，必須先將方程化為一般形式。例題：1、指出下列一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.(2)5 x210 x 2.2 0(3)2 x2150(4) x23x 0(5) (x2)232 、 關(guān) 于 x 的 方程 3x 22x 60 中 a 是； b 是； c是。知識點三 .一元二次方

7、程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。例題：1、已知方程3x29 xm0 的一個根是1，則 m 的值是。2a是一元二次方程x25x0的較大根，b 是x23x20較小根，、設(shè)那么 ab 的值是（）（A）-4（B）-3（C）1（ D）23、已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2kx 20的一個解與方程x13的解相同。求 k 的值；x1（ 1）（ 2）求方程 x2kx20 的另一個解。知識點四 .一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：（ 1）直接開平方法：如果x2k k0 ，則 xk（ 2） 配方法：要先把二次項系數(shù)化為1，然后方程兩變同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全

8、平方式，右邊是非負常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解；（ 3）公 式 法 ： 一 元 二 次 方 程ax2bxc0 a0的 求 根 公 式 是x b b2 4ac b2 4ac 0 ； 2a（ 4）因式分解法：如果xaxb0 則 x 1a, x2b 。溫馨提示：一元二次方程四種解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的頻率最高，在具體應(yīng)用時，要注意選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ń?。例題：解方程：1、方程 x22x 0 的解是：（）2、當(dāng) m 滿足何條件時， 方程 mx22 m 1 x 9m 1 0 有兩個不相等實根？有兩A. x 1 x21B. x 11,x23 C. x 1 2, x2 0D. x 12,

9、x2個相等實根？有實根？02、方程51 x215x 的較簡便的解法應(yīng)選用。解為3、解下列方程：（ 1） x23 3 x 1（ 2） 2x2x 3 0（ 3） x22x 3 03 、 關(guān) 于 x 的 方 程 mx22 m 2 xm 5 0 無 實 根 ， 試 解 關(guān) 于 x 的 方 程m 5 x22 m 2 x m 0 。（ 4） 23 y 22 3 y（ 5） 1 x 1 21x 1324、已知關(guān)于x 的一元二次方程x24 m 1 x 2m 1 0 ，求證：不論m 為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根。（ 6） ( x 3)22x5 2(7) 3 y 26y2 2y2 2知識點六 .一元二次

10、方程根與系數(shù)的關(guān)系若 一 元 二 次 方 程 ax2bx c0 a 0 的 兩 個 實 數(shù) 根 為 x1, x2， 則x1 x 2b , x x12 c 。aa溫馨提示： 利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，一元二次方程必須有實數(shù)根。知識點五 .一元二次方程根的判別式例題：對于一元二次方程 ax2bx c0 a0 的根的判別式是 b24ac ：1、關(guān)于 x 的一元二次方程 x2kx4k23 0 的兩個實數(shù)根分別是 x1 , x2 ，且滿足（ 1）當(dāng) b24ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（ 2）當(dāng) b24ac0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根；x1 x2x1x2 ，則 k 的值為：（）（ 3）當(dāng) b24

11、ac0時，方程無實數(shù)根。溫馨提示 ：若方程有實數(shù)根，則有b24ac0 。（ A ）1或 3（ B）1（ C）3（ D）不存在例題：441、已知方程 x23xk 0 有兩個不相等的實數(shù)根，則k=。2、已知, 是關(guān)于 x的一元二次方程x22m3 x m20 的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足111，則 m 的值是（）（A）3 或-1（B）3（C）1（D）-3 或 13、方程 x23x60 與方程 x26x 30的所有根的乘積是4 、 兩 個 不 相 等 的 實 數(shù) m,n滿 足 m26m4, n26n4 ， 則 mn的 值為。5、設(shè) x1 , x2 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2pxq0 的兩個根，

12、x1 1, x2 1 是關(guān)于x 的一元二次方程x2qx p 0的兩個根，則 p,q 的值分別等于多少？知識點七 .一元二次方程的實際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（ 1）審題（ 2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（ 4）解方程（ 5）檢驗（ 6）寫出答案。在檢驗時，應(yīng)從方程本身和實際問題兩個方面進行檢驗?！究碱} 1】（ 2009、襄樊）為了改善居民住房條件，我市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10 平方米提高到12.1 平方米，若每年的增長率相同，則年增長率為（）A.9B.10C. 11D.12【考題 2】（ 2009、?？冢┠乘l(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果如果每千克盈利1

13、0 元，每天可售出500 千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1 元，日銷售量將減少20 千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000 元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【考題 3】如圖，在 ABC 中， B=90°， AB=5 ，BC=7 ，點 P 從 A 點開始沿 AB 邊向點 B 點以 1cm/s 的速度移動，點 Q 從B 點開始沿BC 邊向點 C 以 2cm/s 的速度移動 .（ 1）如果點 P、 Q 分別從 A 、 B 兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘， PBQ 的面積等于 4？（ 2）如果點 P、 Q 分別從 A 、 B 兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，

14、PQ 的長度等于 5？一元二次方程綜合復(fù)習(xí)1、下列方程中，關(guān)于x 的一元二次方程是（）2112D. x22A. 3 x 12 x 1 B.2x2 0 C. ax bx c 02x x 122x）2、方程（ m 1）x mx 5 0 是關(guān)于 x 的一元二次方程， 則 m 滿足的條件是, （ A）m1（ B） m0（C） | m| 1（ D） m± 13、若 x1 是一元二次方程ax2bx20 的一個根，則 a b。4、實數(shù) bb24ac 是方程的根（）2a（ A ） ax2bx c0（ B） ax2bx c 0（ C） ax2bx c0（ D） ax 2bx c 05、方程 x2250

15、 的解是：（）A. x 1x25 B. x 1x225C. x 15, x25D. x 1 25,x2256、關(guān)于x 的一元二次方程 kx22x10 兩個不相等的實數(shù)根，則k 的取值范圍是（）（ A ） k1（ B） k1（C） k 0（ D） k1且 k 07、在下列方程中，有實數(shù)根的是（）A ） x23x 1 0B） 4x 11C） x22 x 3 0 D ）x11xx 18 、 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2x22x 3m 1 0 有 兩 個 實 數(shù) 根 x1 , x2 ， 且x1 x2x1x2 4 ，則 m 的取值范圍是（）（ A ） m51（C） m5（ D）513（ B） m33m229.若（ x+y ）（ 1x y）+6=0 ，則 x+y 的值是（）A 2B 3C2或 3D2 或 310、若（ m+1 ） xm(m 2) 1+2mx 1=0是關(guān)于 x的一元二次方程，則m 的值是 _11、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立：x 25x (x ) 2 12、當(dāng) x =時，代數(shù)式 x23x 比代數(shù)式 2x2x 1的值大 2 13、某商