人教版高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(有答案)【真題】

1、西安市長安高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共一項是滿足題目要求的 .）1（5 分）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足（ 1+i）z=2i，則 | z| =（60 分，在每小題給出的四個選項中，只有）ABCD 22（5 分）已知命題 “? x R，2x2+（a1）x+ 0 是假命題，則實數(shù)a 的取值范圍是（）A（，1）B（1，3）C（ 3，+）D（ 3，1）3（5分）在一段時間內(nèi)有2000輛車通過高速公路上的某處，現(xiàn)隨機抽取其中的200 輛進行車速統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下面的頻率分布直方圖所示若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km/h 120km/h ，試估計 200

2、0 輛車中，在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車約有（）A30 輛B 300 輛C170 輛D1700 輛4（5 分）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+ +n2=，則當(dāng)n=k+1 時左端應(yīng)在n=k 的基礎(chǔ)上加上（）A k2+1 B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2 +3）+ +（ k+1）25（5 分）已知正四面體ABCD的棱長為 a點 E， F 分別是棱 AC，BD 的中點，則的值是（）A a2Ba2Ca2 Da26（5 分）直線y=4x 與曲線y=x3 在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（）A 4B4C2D 27（5 分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績老師說

3、：你們四人中有 2 位優(yōu)秀， 2 位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績根據(jù)以上信息，則（）A乙可以知道四人的成績B丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D乙、丁可以知道自己的成績8（5 分）如圖莖葉圖記錄了甲 乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則 x， y 的值分別為（單位：分）A2，5B5，5C5，8D8，8（分）已知命題p：x2+2x 3 0；命題 q：xa，且 q 的一個充分不必要條件是 p，則9 5a 的取值范圍是（）A（， 1B 1，+）C 1，+）D

4、（， 3（分）已知正四棱柱1 1 1 1 中， AB=2， CC1=2，E為1 的中點，則直線 AC1105ABCDA B C DCC與平面 BED的距離為（）A 2BCD 111（5 分）已知雙曲線 C：=1（a0，b0）與直線交于 M （x1，y1），N（ x2，y2），其中 x10， y10，x20，y2 0，若，且 MNQ=30° ，則雙曲線C 的漸近線方程為（）AB y=±xCy=±2xD12（5 分）設(shè)函數(shù) f（ x）=ex（2x1） ax+a，其中 a1，若存在唯一的整數(shù)x0 使得 f（ x0）0，則a 的取值范圍是（）A ） B） C）D）二 .填

5、空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 .請把答案填寫在答題紙的相應(yīng)橫線上.）13（5 分）某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方向，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300 的樣本進行調(diào)查， 已知該校一年級、 二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生14（5 分）做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為15（5 分）設(shè)函數(shù) f （x）是奇函數(shù) f（ x）（xR）的導(dǎo)函數(shù)， f（ 1） =0，當(dāng) x 0 時，xf （x）f（ x） 0，則使得 f （x） 0 成立

6、的 x 的取值范圍是16（5 分）平面直角坐標系xOy 中，雙曲線 C1： =1（a 0， b 0）的漸近線與拋物線 C ：x2（ ）交于點，若的垂心為C2的焦點，則 C 的離心率為2=2py p0OABOAB1三、解答題：（本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（10 分）已知 p： “直線 x+ym=0 與圓（ x1）2+y2=1 相交 ”；q：“方程 mx2x+m4=0有一正根和一負根 ”若 p 或 q 為真，非 p 為真，求實數(shù) m 的取值范圍18（12 分）已知函數(shù) f（ x）=alnx bx2，若函數(shù) f（x）的圖象在 x=1 處與直線 y

7、=相切（）求實數(shù)a， b 的值；（）求函數(shù)f（ x）在 ， e 上的最大值19（12 分）已知過拋物線y2=2px（p0）的焦點，斜率為B（ x2，y2）（x1x2）兩點，且 | AB| =92的直線交拋物線于A（x1，y1），（1）求該拋物線的方程；（2）O 為坐標原點， C 為拋物線上一點，若=+ ，求 的值20（12 分）如圖，在四棱錐P ABCD中， ABCD，且 BAP=CDP=90°（1）證明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， APD=90°，求二面角 A PBC 的余弦值21（12 分）一張坐標紙上涂著圓 E：（x+1）2+y2=8

8、 及點 P（1，0），折疊此紙片，使 P 與圓周上某點 P'重合，每次折疊都會留下折痕，設(shè)折痕與 EP'的交點為 M（1）求 M 的軌跡 C的方程；（ 2）直線l ： y=kx+m 與 C 的兩個不同交點為A， B，且 l 與以EP 為直徑的圓相切，若，求 ABO 的面積的取值范圍22（12 分）已知函數(shù)（1）討論 f（ x）的單調(diào)性；（2）當(dāng) a=1 時，證明：對于任意的 x 1， 2 成立2017-2018 學(xué)年陜西省西安市長安高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （理科）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共一項是滿足題目要求的 .）1（5 分）設(shè)復(fù)數(shù)

9、 z 滿足（ 1+i）z=2i，則 | z| =（60 分，在每小題給出的四個選項中，只有）ABCD2【解答】 解：（ 1+i）z=2i，（ 1i）（1+i）z=2i（ 1 i），z=i+1則| z| =故選： C2（5 分）已知命題 “? x R，2x2+（a1）x+ 0 是假命題，則實數(shù) a 的取值范圍是（）A（， 1）B（ 1，3） C（ 3，+）D（ 3，1）【解答】 解： “? x R， 2x2+（a1）x+ 0”的否定為 “? xR，“? x R， 2x2+（a1）x+”為假命題“為真命題即恒成立解得 1 a3故選 B3（5 分）在一段時間內(nèi)有2000 輛車通過高速公路上的某處，現(xiàn)

10、隨機抽取其中的200 輛進行車速統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下面的頻率分布直方圖所示若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km/h 120km/h ，試估計 2000 輛車中，在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車約有（）A30 輛B 300 輛 C170 輛 D1700 輛【解答】 解：由頻率分布直方圖得：在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車的頻率為（0.03+0.035+0.02）× 10=0.85，估計 2000 輛車中，在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車約有：2000×0.85=1700（輛）故選： D4（5 分）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+ +n2=，則當(dāng) n=k+1 時左端應(yīng)

11、在 n=k 的基礎(chǔ)上加上（）A k2+1 B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2 +3）+ +（ k+1）2【解答】 解：當(dāng) n=k 時，等式左端 =1+2+ +k2，當(dāng) n=k+1 時，等式左端 =1+2+ +k2 +k2+1+k2+2+ +（k+1）2，增加了項（ k2+1）+（ k2+2）+（k2+3）+ +（k+1）2故選 D5（5 分）已知正四面體ABCD的棱長為 a點 E， F 分別是棱 AC，BD 的中點，則的值是（）A a2Ba2 Ca2 Da2【解答】 解：如圖所示，正四面體 ABCD的棱長為 a點 E，F(xiàn) 分別是棱 AC，BD 的中點，=a2cos60

12、76;= = 故選： C6（5 分）直線 y=4x 與曲線 y=x3 在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（）A4 B4 C2 D2【解答】 解：先根據(jù)題意畫出圖形，兩個圖形在第一象限的交點為（2，8），所以曲線 y=x3 與直線 y=4x 在第一象限所圍成的圖形的面積是02（4x x3 ）dx，而2（ 4xx3）dx=（ 2x2 x4）|24=400=8曲封閉圖形的面積是4，故選 B7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有 2 位優(yōu)秀， 2 位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績根據(jù)以上信

13、息，則（）A乙可以知道四人的成績B丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D乙、丁可以知道自己的成績【解答】 解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知道自己的成績）乙看到了丙的成績，知自己的成績丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，給甲看乙丙成績，甲不知道自已的成績，說明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu)，則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自已的成績了給乙看丙成績，乙沒有說不知道自已的成績，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道自己成績 給丁看甲成績， 因為甲不知道自己成績，乙丙是一優(yōu)一良，則

14、甲丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績，假定甲是優(yōu)，則丁是良，丁肯定知道自已的成績了故選： D8（5 分）如圖莖葉圖記錄了甲 乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 16.8，則 x， y 的值分別為（單位：分）A2，5B5，5C5，8D8，8【解答】 解：甲組數(shù)據(jù)分別為：9，12， 10+x，24，27；乙組數(shù)據(jù)分別為： 9，15， 10+y， 18，24因為甲組的中位數(shù)為15，所以 10+x=15，所以 x=5；因為乙組的平均數(shù)為16.8，所以=16.8，所以 y=8，故選： C9（5 分）已知命題 p：x2+2x 3 0；命題 q：xa，且 q

15、的一個充分不必要條件是p，則a 的取值范圍是（）A（， 1B 1，+）C 1，+）D（， 32 【解答】 解：由 p：x +2x30，知 x 3 或 x1，則 ?p 為 3x1，?q 為 xa，又 ?p 是?q 的充分不必要條件，所以 a1（分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AB=2， CC1=2，E為1 的中點，則直線 AC1105CC與平面 BED的距離為（）A 2BCD1【解答】 解：如圖：連接 AC，交 BD于 O，在三角形 CC1A 中，易證 OEC1A，從而 C1A平面BDE，直線 AC1 與平面 BED的距離即為點 A 到平面 BED的距離，設(shè)為 h，在三棱錐 EAB

16、D 中， VEABD= S ABD× EC= × ×2×2× =在三棱錐 ABDE中， BD=2，BE=，DE=， S EBD×2×=2=VA BDE=×S EBD×h=×2× h=h=1故選 D（分）已知雙曲線C：（ ， ）與直線交于1，y1），11 5=1 a 0 b0M （xN（ x2，y2），其中 x10， y10，x20，y2 0，若，且 MNQ=30° ，則雙曲線C 的漸近線方程為（）AB y=±xCy=±2xD【解答】 解：設(shè) MN 的中點為

17、 H，MN 與 x 軸交于 P，由直線，可得 P（，0），由 y= xm 代入雙曲線的方程，可得：（b23a2）x2 2 ma2xa2b2 a2m2=0，設(shè) M（ x1，y1），N（x2， y2），可得 x1+x2，=可得 MN 的中點 H（，），若，則 O 為 MQ 的中點，由 OH 為 MNQ 的中位線，可得 MNQ= MHO=30° ，又 MPO=180°120°=60°，HPO為等腰三角形，且PO=PH，OH=PO，即有（）2+（）2=3?，化為 a=b，則雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為 y=±x故選： B12（5 分）設(shè)

18、函數(shù) f（ x）=ex（2x1） ax+a，其中0，則 a 的取值范圍是（）a1，若存在唯一的整數(shù)x0 使得f（ x0）A ） B） C）D）【解答】 解：設(shè) g（x）=ex（2x1），y=axa，由題意知存在唯一的整數(shù)x0 使得 g（ x0）在直線y=axa 的下方，g（x）=ex（2x 1） +2ex=ex（2x+1），當(dāng)x時， g（ x） 0，當(dāng)x時， g（ x） 0，當(dāng) x=時， g（ x）取最小值 2，當(dāng) x=0 時， g（0）=1，當(dāng) x=1 時， g（1）=e0，直線 y=axa 恒過定點（ 1，0）且斜率為 a，故 ag（0）=1 且 g（ 1）=3e 1a1 aa，解得故選：

19、 D二 .填空題：（本大題共4 小題，每小題5 分，共20 分 .請把答案填寫在答題紙的相應(yīng)橫線上.）13（5分）某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方向，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300 的樣本進行調(diào)查， 已知該校一年級、 二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取60名學(xué)生【解答】 解：根據(jù)分層抽樣的定義和方法，一年級本科生人數(shù)所占的比例為=，故應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生數(shù)為300×=60，故答案為： 6014（5 分）做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為3 【

20、解答】 解：設(shè)圓柱的高為h，半徑為 r2則由圓柱的體積公式可得，rh=272S 全面積 =r+2rh=（法一）令 S=f（ r），（ r0）=令 f （r） 0 可得 r3，令 f （ r） 0 可得 0 r3f（ r）在（ 0，3）單調(diào)遞減，在 3， +）單調(diào)遞增，則f（ r）在 r=3 時取得最小值2（法二）： S全面積 =r+2rh=27當(dāng)且僅當(dāng)即 r=3 時取等號當(dāng)半徑為 3 時， S最小即用料最省故答案為： 315（5 分）設(shè)函數(shù) f （x）是奇函數(shù) f（ x）（xR）的導(dǎo)函數(shù)， f（ 1） =0，當(dāng) x 0 時，xf （x）f（ x） 0，則使得f （x） 0 成立的x 的取值范圍

21、是（，1）（ 0，1）【解答】 解：設(shè)g（x）=，則g（ x）的導(dǎo)數(shù)為：g（x） =，當(dāng) x0 時總有 xf （x） f （x）成立，即當(dāng) x0 時， g（x）恒小于 0，當(dāng) x0 時，函數(shù) g（x）=為減函數(shù)，又 g（ x）=g（x），函數(shù) g（ x）為定義域上的偶函數(shù)又 g（ 1）=0，函數(shù) g（ x）的大致圖象如圖所示：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f （x） 0? x?g（x） 0?或，? 0x 1 或 x 1 f（ x） 0 成立的 x 的取值范圍是（， 1）（ 0，1）故答案為：（， 1）（ 0， 1）16（5 分）平面直角坐標系1： =1（a 0， b 0）的漸近線與拋物xOy 中，雙曲線

22、 C線 C2：x2（ ）交于點，若的垂心為2 的焦點，則 C1 的離心率為=2py p0OABOABC【解答】 解：雙曲線 C1：=1（ a 0， b0）的漸近線方程為y=±x，與拋物線 C2： x2 =2py 聯(lián)立，可得 x=0 或 x=±，取 A（，），設(shè)垂心 H（ 0，），則 kAH=， OAB 的垂心為 C2 的焦點，×（）=1，5a2=4b2，5a2=4（c2 a2）e=故答案為：三、解答題：（本大題共 6 小題，共 70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（分）已知p： “直線x+ym=0與圓（ x1）2+y2=1相交 ”； ：“方程mx2x

23、+m4=017 10q有一正根和一負根 ”若 p 或 q 為真，非 p 為真，求實數(shù) m 的取值范圍【解答】 解：對 p：直線與圓相交，d=1+1m+1對 q：方程 mx2 x+m4=0 有一正根和一負根，令 f（x）=mx2x+m 4，或，解得 0 m4又 ?p 為真， p 假又 p 或 q 為真， q 為真由數(shù)軸可得+1m 4故 m 的取值范圍是+1m418（12 分）已知函數(shù) f（ x）=alnx bx2，若函數(shù) f（x）的圖象在 x=1 處與直線 y=相切（）求實數(shù) a， b 的值；（）求函數(shù) f（ x）在 ， e 上的最大值【解答】 解：（）由 f （x）=alnxbx2，得 f （

24、 x） = 2bx， f （1）=a 2b，則，解得 a=1，b=；（）由（）知， f （x）=lnxx2f （ x） = x=（x0）當(dāng) x（，1）時， f （ x） 0，當(dāng) x（ 1， e）時， f （x） 0 f（ x）在（ ， 1）上為增函數(shù)，在（ 1，e）上為減函數(shù)，則 f （x）max=f（ 1） = 19（12 分）已知過拋物線 y2=2px（p0）的焦點，斜率為 2 的直線交拋物線于 A（x1，y1），B（ x2，y2）（x1x2）兩點，且 | AB| =9（1）求該拋物線的方程；（2）O 為坐標原點， C 為拋物線上一點，若=+ ，求 的值【解答】解：（1）依題意可知拋物線的

25、焦點坐標為（，0），故直線 AB 的方程為 y=2xp，聯(lián)立，可得4x25px+p2=0 x1x2， p 0， =25p216p2=9p2 0，解得，x2=p經(jīng)過拋物線焦點的弦| AB| =x1+x2+p=p=9，解得p=4拋物線方程為y2=8x；（2）由（ 1）知， x1=1，x2 =4，代入直線 y=2x4，可求得，即 A（1，2），B（4，4=+ =（1， 2）+（ 4， 4）=（4+1，4C（4+1，42），C 點在拋物線上，故，解得： =0或 =2），2），20（12 分）如圖，在四棱錐P ABCD中， ABCD，且 BAP=CDP=90°（1）證明：平面 PAB平面 PA

26、D；（2）若 PA=PD=AB=DC， APD=90°，求二面角 A PBC 的余弦值【解答】（ 1）證明： BAP=CDP=90°， PAAB，PD CD，AB CD， AB PD，又 PAPD=P，且 PA? 平面 PAD，PD? 平面 PAD，AB平面 PAD，又 AB? 平面 PAB，平面 PAB平面 PAD；（2）解： AB CD， AB=CD，四邊形 ABCD為平行四邊形，由（ 1）知 AB平面 PAD， ABAD，則四邊形 ABCD為矩形，在 APD 中，由 PA=PD， APD=90°，可得 PAD為等腰直角三角形，設(shè) PA=AB=2a，則 AD=

27、取 AD 中點 O，BC中點 E，連接 PO、 OE，以 O 為坐標原點，分別以O(shè)A、 OE、OP所在直線為 x、y、z 軸建立空間直角坐標系，則：D（），B（），P（0，0，），C（），設(shè)平面PBC的一個法向量為，由，得，取 y=1，得AB平面 PAD，AD? 平面 PAD， ABPD，又 PDPA， PAAB=A，PD平面 PAB，則為平面PAB的一個法向量，cos=由圖可知，二面角A PBC 為鈍角，二面角 APBC 的余弦值為21（12 分）一張坐標紙上涂著圓 E：（x+1）2+y2及點 （， ），折疊此紙片，使P與圓周=8P 10上某點 P'重合，每次折疊都會留下折痕，設(shè)折痕

28、與EP'的交點為 M（1）求 M 的軌跡 C的方程；（ 2）直線 l ： y=kx+m 與 C 的兩個不同交點為A， B，且 l與以 EP 為直徑的圓相切，若，求 ABO 的面積的取值范圍【解答】 解：（1）折痕為 PP的垂直平分線，則 | MP| =| MP| ，由題意知圓 E的半徑為 2 ，| ME|+| MP| =| ME|+| MP| =2| EP| ，E 的軌跡是以 E、 P 為焦點的橢圓，且 a=， c=1，b2 2c2，=a=1M 的軌跡 C 的方程為=122（2）l 與以 EP為直徑的圓 x +y =1 相切，則 O 到 l 即直線 AB 的距離：由，消去 y，得（ 1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直線 l 與橢圓交于兩個不同點， =16