不定積分的概念及性質ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念及性質不定積分的概念及性質 第二節(jié)第二節(jié) 不定積分的積分方法不定積分的積分方法第五章第五章 不定積分不定積分 一、不定積分的概念一、不定積分的概念 二、基本積分公式二、基本積分公式 三、不定積分的性質三、不定積分的性質第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念及性質不定積分的概念及性質 1 1原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念例例 因為因為1(ln )xx ，故，故lnx是是 1x的一個原函數(shù)；的一個原函數(shù)； 因因為為2()2xx，所所以以 2x是是2x的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，但但 222(1)(2)(3)xxx2x，所所以以 2x的的原原函函 數(shù)數(shù)不不是是惟惟一一的的 原函數(shù)說明：原函

2、數(shù)說明：第第一一， 原原函函數(shù)數(shù)的的存存在在問問題題： 如如果果( )f x在在某某區(qū)區(qū)間間連連續(xù)續(xù)，那那么么它它的的原原函函數(shù)數(shù)一一定定存存在在( (將將在在下下章章加加以以說說明明) ) 定義定義 1 1 設設( )f x是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存在函數(shù)在函數(shù)( )F x，使得，使得 ( )( )F xf x或或d ( )( )dF xf xx, 則稱則稱( )F x為為( )f x的一個原函數(shù)的一個原函數(shù) 一、不定積分的概念一、不定積分的概念第第二二，原原函函數(shù)數(shù)的的一一般般表表達達式式：前前面面已已指指出出，若若( )f x 存存在在原原函函數(shù)數(shù)，

3、就就不不是是惟惟一一的的，那那么么，這這些些原原函函數(shù)數(shù)之之間間有有 什什么么差差異異？能能否否寫寫成成統(tǒng)統(tǒng)一一的的表表達達式式呢呢？對對此此，有有如如下下結結 論論： 定定理理 若若( )F x是是( )f x的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則( )F xC是是 ( )f x的的全全部部原原函函數(shù)數(shù)，其其中中 C為為任任意意常常數(shù)數(shù) 證證 由于由于( )( )F xf x， 又， 又 ( )( )( )F xCF xf x，所以函數(shù)族所以函數(shù)族( )F xC中的每一個都是中的每一個都是( )f x的原函數(shù)的原函數(shù) 另另一一方方面面, ,設設( )G x是是( )f x的的任任一一個個原原函函數(shù)數(shù)

4、， 即即( )( )G xf x，則則可可證證( )F x與與( )G x之之間間只只相相差差一一個個常常數(shù)數(shù). . 這這樣樣就就證證明明了了( )f x的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)剛剛好好組組成成函函數(shù)數(shù)族族 ( )F xC 所以所以( )( )F xG xC，或者，或者( )( )G xF xC，這就是說，這就是說 ( )f x的任一個原函數(shù)的任一個原函數(shù)( )G x均可表示成均可表示成( )F xC的形式的形式 事實上事實上, ,因為因為 ( )( )( )( )( )( )0F xG xF xG xf xf x， 2. 2. 不定積分的概念不定積分的概念定義定義 2 2 函數(shù)函數(shù)( )f

5、x的全體原函數(shù)的全體原函數(shù)( )F xC叫做叫做( )f x的不的不定積分，定積分，記為定積分，定積分，記為 ( )d( )f xxF xC，其其中中( )( )F xf x, , 上上式式中中的的x叫叫做做積積分分變變量量，( )f x叫叫做做被被積積函函數(shù)數(shù)，( )df xx叫叫做做被被積積表表達達式式，C叫叫做做積積分分常常數(shù)數(shù)， “”叫叫做做積積分分號號 例例 1 1 求下列不定積分：求下列不定積分：（1 1）2dxx； （2 2）sin dx x；（3 3）1dxx 解解 （1 1）因因為為2331xx，所所以以Cxxx3231d. . （2 2）因因為為xxsin)cos(，所所以

6、以Cxxxcosdsin. . （3 3）因因為為0 x時時，xx1)(ln，又又0 x時時， xxx11 )ln(，所以，所以Cxxx|lnd1. . 例例 2 2 設設曲曲線線過過點點（1 1，2 2）且且斜斜率率為為x2，求求曲曲線線方方程程 解解 設所求曲線方程為設所求曲線方程為)(xyy 按按xxy2dd，故故Cxxxy2d2 又又因因為為曲曲線線過過點點 （1 1， 2 2） ， 故故代代入入上上式式C12， 得得 1C，于于是是所所求求方方程程為為12 xy. . 例例 3 3 設設某某物物體體運運動動速速度度為為23tv， 且且當當 0t時時，2s，求求運運動動規(guī)規(guī)律律)(ts

7、s 解解 按按題題意意有有23)(tts，即即Ctttts32d3)(，再再將將 條條件件0t時時2s代代入入得得 2C，故故所所求求運運動動規(guī)規(guī)律律為為23ts 積分運算與微分運算之間的互逆關系：（1 1）)(d)(xfxxf或或；xxfxxfd)(d)(d ( (2 2) )CxFxxF)(d)(或或CxFxF)()(d 由于求不定積分是求導數(shù)的逆運算，所以由導數(shù)公由于求不定積分是求導數(shù)的逆運算，所以由導數(shù)公 式可以相應地得出下列積分公式：式可以相應地得出下列積分公式： ( (1 1) )Ckxxkd( (k為為常常數(shù)數(shù)) )， ( (2 2) )Cxxx111d（1） ， ( (3 3)

8、 )Cxxxlnd1， ( (4 4) )e dexxxC， ( (5 5) )Caaxaxxlnd ， ( (6 6) )Cxxxsindcos， ( (7 7) )Cxxxcosdsin， 二、二、 基本積分公式基本積分公式( (8 8) )Cxxxxxtandsecdcos122， ( (9 9) )Cxxxxxcotdcscdsin122， ( (1 10 0) )Cxxxxsecdtansec， ( (1 11 1) )Cxxxxcscdcotcsc， ( (1 12 2) )Cxxxarctand112， （1 13 3）Cxxxarcsind112. . 性質性質1 1 被積函數(shù)

9、中不為零的常數(shù)因子可提到積分被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分 號外，即號外，即 xxfkxxkfd)(d)( （0k）. . 性質性質2 2 兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分 的代數(shù)和，即的代數(shù)和，即 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. . 例例 4 求下列不定積分：求下列不定積分：（1 1）；xxd12 (2)(2)xxxd； (3)(3)gxx2d 解解 （）CxCxxxxx112dd11222. . （）Cxxxxxx252352dd. . 三、三、 不定積分的性質不定積分的性質 （） xxggxxd212d ggxCxg21211

10、21121 C 例例 5 5 求下列不定積分求下列不定積分: :（）xxxxd11； （）xxxd1122 解解（1 1）xxxxxxxxxd11d11 xxxxxxxxd1d1dd.2215221225Cxxxx（）xxxxxxxxd121d121d1122222 .arctan21d2d2Cxxxxx 例例 6 6 求下列不定積分：求下列不定積分：(1)(1)xxdtan2； (2) (2)xxd2sin2 解解 ( (1 1) ) xxdtan2xxd) 1(sec2 = =.tanddsec2Cxxxxx 21 cossindd2211sin.22xxxxxxC (2) (2)例例 7 7 設設,cossin22xxf求求 xf 解解 由由于于xxxf222sin1cossin， 所所以以 xxf1, ,故故知知)(xf是是x1的的原原函函數(shù)數(shù) ， Cxxxxxf2d)1 (