考研數(shù)學一真題及答案解析

1、2017年考研數(shù)學一真題及答案解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1cosxcx0(1)若函數(shù)f(x)ax,在x0處連續(xù)，則()b,x0【答案】A_1_1cos.xOx111【解析】limlim,Qf(x)在x0處連續(xù)bab-.選a.x0axx0ax2a2a2-_(2)設(shè)函數(shù)f(x)可導，且f(x)f(x)0,則()【答案】C【解析】Qf(x)f'(x)0,f(x)0(1)或f(x)0(2),只有C選項?t足(1)且滿足(2),所以選C。f'(x)0f'(x)0(3)

2、函數(shù)f(x,y,z)x2yz2在點(1,2,0)處沿向量u1,2,2的方向?qū)?shù)為()【答案】D【解析】gradf2xy,x2,2z,gradf叱)4,1,0gradf示4,1,013,|,|2.選D.(4)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處，圖中實線表示甲的速度曲線vv1(t)(單位：m/s),虛線表示乙的速度曲線VV2(t),三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3,計時開始后乙追上甲的時刻記為t0(單位：s),則()【答案】Bt0t0【解析】從0到t0這段時間內(nèi)甲乙的位移分別為0V1(t)dt,0v2(t)dt,則乙要追上甲，則t0V2(t)V1(t)dt10,當t0

3、25時滿足，故選C.(5)設(shè)【答案】A是n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則(【解析】選項A,由(E T)0得(E T)x 0有非零解，故E T 0。即E T不可逆。選項B,由r( T)它選項類似理解。1得 T的特征值為n-1個0, 1.故ET的特征值為n-1個1 , 2.故可逆。其(6)設(shè)矩陣A【答案】B【解析】由(E2 0 00 2 1 ,B0 0 1A)2 1 00 2 0 ,C0 0 11 0 00 2 0 ,則()0 0 20可知A的特征值為2,2,1100因為3r(2EA)1,A可相似對角化，且A020002由EB0可知B特征值為2,2,1.因為3r(2EB)2,.B不可相似對角化

4、，顯然C可相似對角化,AC，且B不相似于CP(A B)的充分必要條件是()設(shè)A,B為隨機概率，若0P(A)1,0P(B)1，則P(AB)【答案】A【解析】按照條件概率定義展開，則A選項符合題意。(8)設(shè) X1，X2Xn(n 2)為來自總體N( ,1)的簡單隨機樣本，記1n，一一Xi,則下列結(jié)論中不正確的ni1是()【答案】B【解析】由于找不正確的結(jié)論，故B符合題意。二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上已知函數(shù)f(x),則f(0)=1x【答案】f(0)6【解析】(10)微分萬程y2y3y0的通解為y【答案】yex(c1cosJ2xc2sinV2x),(g,c

5、2為任意常數(shù))1,2【解析】齊次特征方程為故通解為ex(c1cos、,2xc2sin、,2x)若曲線積分xdxaydy在區(qū)域D(x,y)|x2y21內(nèi)與路徑無關(guān)，則Lxy1a【答案】a1【解析】一P2津一r,-Q22axy,由積分與路徑無關(guān)知a1y(x2y21)2x(x2y21)2yx(12)募級數(shù) (1)n 1nxn 1在區(qū)間( n 11,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x) 驟.(15)(本題滿分10分)x 11 x (1 x)2【答案】s(x)nnn1n1/rn1n【解析】(1)nx(1)xn1n1(13)設(shè)矩陣A101112,1,2,3為線性無關(guān)的3維列向量組，則向量組A1,A2,A3的秩為011【

6、答案】2【解析】由1,2,3線性無關(guān)，可知矩陣1,2,3可逆，故123123rA1,A2,A3rA1,2,3rA再由rA2得rA1,A2,A32x4(14)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)0.5(x)0.5(一),其中(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，則EX【答案】205x4_05x4【解析】F(x)0.5(x)05(-),故EX0.5x(x)dx05x(-)dx2222x4x4x(x)dxEX0。令t,則x()dx=242t(t)dt814t(t)dt8因此E(X)2.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步設(shè)函數(shù)f (u,v)具有2階連

7、續(xù)偏導數(shù),y f(ex,cosx),求dy dxd2y dx2【解析】結(jié)論：(16)【解析】(17)dydx(本題滿分(本題滿分d2y37f11(1,1),10分)10分)已知函數(shù)y(x)由方程x求limn3x3y0確定，求y(x)的極值【答案】極大值為 y(1) 1 ,極小值為y( 1) 0【解析】兩邊求導得：_ 2 _ 2 _ _ _ _ _3x3y y' 3 3y' 0(1)令y' 0得x 1對(1)式兩邊關(guān)于x求導得 6x 6y y'2 3y2y'' 3y'' 0(2)將x 1代入原題給的等式中，得x 1x 1ory 1y

8、 0將 x 1,y 1 代入(2)得 y”(1)1 0將 x 1,y 0 代入(2)得 y”(1) 2 0故x 1為極大值點，y(1) 1； x1為極小值點，y( 1) 0(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間0,1上具有2階導數(shù)，且f (1)0, lim "X)0 ,證明:x 0 x()方程f(x)0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一個實根;2()萬程f(x)f(x)(f(x)0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個不同實根。【答案】【解析】(I)f(x)二階導數(shù)，”1)0,limfix10x0xf(x)解：1)由于lim0,根據(jù)極限的保號性得x0x0,x(0,)有Ux)0,即f(x)

9、0x進而x0(0,)有£0又由于f(x)二階可導，所以f(x)在0,1上必連續(xù)那么f(x)在,1上連續(xù)，由f()0,f(1)0根據(jù)零點定理得：至少存在一點(，1),使f()0,即得證(II)由(1)可知f(0)0,(0,1)，使f()0,令F(x)f(x)f'(x),則f(0)f()0由羅爾定理(0,),使f'()0,則F(0)F()F()0,對F(x)在(0,),(,)分別使用羅爾定理：1(0,),2(,)且1,2(0,1),12,使得F'(1)F'(2)0,即2F'(x)f(x)f''(x)f'(x)0在(0,1)至

10、少有兩個不同實根。得證。(19)(本題滿分10分)設(shè)薄片型物體S是圓錐面z&_y2被柱面z22x割下的有限部分，其上任一點的密度為9x2y2z20記圓錐面與柱面的交線為C()求C在xOy平面上的投影曲線的方程；()求S的M質(zhì)量?！敬鸢浮?4【解析】22(1)由題設(shè)條件知，C的方程為z"Xyx2y22x2z22x22則C在xoy平面的方程為xy2xz0(2)（20）（本題滿分11分）設(shè)3階矩陣A3有3個不同的特征值，且()證明r(A)求方程組Ax的通解。（I）證明:因此,I)略；（II)通解為k22可得,k0,即1,2,3線性相關(guān),的特征值必有又因為A有三個不同的特征值，則三個

11、特征值中只有個0,另外兩個非0.且由于A必可相似對角化，則可設(shè)其對角矩陣為r(A)r(II)r(A)2,知3r(A)1,Ax0的基礎(chǔ)解系只有1個解向量,30可得3,即2,綜上,Ax的通解為k(21)（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換XQY下的標準型20,則Ax0的基礎(chǔ)解系為,kf(x1，x2,x3)的一個特解為1c2222x1x2ax32x1x28x1x32x2x3a的值及一個正交矩陣Q111、.31【答案】a2;Q',3131,262,616,fxQyc2c23y16y2【解析】f(X1,X2,X3)XTAX,其中由于f（X1，X2,X3）XTAX經(jīng)正交變換后,得到的標準形為21丫

12、122y2故r(A)2|A|0a2,將a2代入,滿足r(A)IEA|2,因此2符合題意，此時13,20,由（3EA)x0,可得的屬于特征值-3的特征向量為由（6EA)x0,可得A的屬于特征值6的特征向量為由(0EA)x0,可得A的屬于特征值0的特征向量為31_P1AP2,3彼此正交，故只需單位化即可:I1,1,11,0,1161,2,1T1.313131,2162,61.6QTAQ(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且一一一一1的概率分布為P(X0)P(X2)-概率密度為f(y)2y,0y10,其他()求P(YEY)()求2XY的概率密度。乙 0 zz 2,2 z，、4，(I)

13、PYEY；(II)fz(z)9(1)z0,z20,而z0,則Fz(Z)0(2)當z21,z1,即z3時，F(xiàn)z(Z)10z01z2,0z12,一1所以綜上Fz(Z),1z212-(z2),2z32z3z0z1z22z32121,.所以fz(Z)Fz(Z)(23)(本題滿分11分)某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做n次測量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)n次測量結(jié)果測量的絕對誤差ZiXi(i()求Zi的概率密度；()利用一階矩求的矩估計量【答案】【解析】()Fzi(z)P(Ziz)當z0,Fz(z)0當z0,F,(z)P(zXi當z0時，z22彳綜上fz(z)2e,z0,z01n令E(Zi)ZZ-ni1由此可得的矩估計量LX1，X2Xn相互獨立且均服從正態(tài)分布1,2,n),利用Z，Z2Zn估計2、,.一.N(,)o該工程師記錄的是n次對總體X的n個樣本X1,X2,值為Z1,Z2,Zn,ZiXiuP(Xi|z)z)P(zXiz)Fx(01n乙一Xini11n|Xini1Xn,