《1.1.1集合的含義與表示》教學(xué)案3

1、1.1.1集合的含義與表示教學(xué)案 3教學(xué)目標1了解集合的含義；理解元素與集合的“屬于”關(guān)系；熟記常用數(shù)集專用符號2深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關(guān)問題 3能選擇不同的形式表示具體問題中的集合重點難點教學(xué)重點：集合的基本概念與表示方法 教學(xué)難點：選擇適當?shù)姆椒ū硎揪唧w問題中的集合教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路 1集合對我們來說可謂是“最熟悉的陌生人”說它熟悉，是因為我們在現(xiàn)實生 活中常常用到“集合”這個名詞；比如說，軍訓(xùn)的時候，教官是不是經(jīng)常喊：“高一 （4） 班 的同學(xué)，集合啦！”那么說它陌生，是因為我們還未從數(shù)學(xué)的角度理解集合，從數(shù)學(xué)的層 面挖掘集合的內(nèi)涵那么，在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中

2、，集合究竟是什么呢？集合又有著怎樣的含義 呢？就讓我們通過今天這堂課的學(xué)習(xí)，一起揭開“集合”神秘的面紗思路 2你經(jīng)常會談?wù)撃愕募彝?，你的班級其實在講到你的家庭、班級的時候，你必 定在聯(lián)想構(gòu)成家庭、班級的成員，例如：家庭成員就是被你稱為父親、母親、哥哥、姐 姐、妹妹、弟弟 , 的人；班級成員就是與你在同一個教室里一起上課、一起學(xué)習(xí)的人； 一些具有特定屬性的人構(gòu)成的群體，在數(shù)學(xué)上就是一個集合那么，在數(shù)學(xué)中，一些對象 的總體怎樣才可以構(gòu)成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？這就是本節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容思路 3“同學(xué)們，在小學(xué)和初中的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)接觸過一些集合的例子，比 如

3、說：有理數(shù)集合，到一個定點的距離等于定長的點的集合（圓） ，那么大家是否能夠舉出更多關(guān)于集合的例子呢？” （ 通過兩個簡單的例子，引導(dǎo)大家進行類比，運用發(fā)散性思維思 考說出更多的關(guān)于集合的實例，然后教師予以點評 ）“那么，集合的含義究竟是什么？它又該如何表示呢？這就是我們今天要研究的課 題”推進新課新知探究提出問題 中國有許多傳統(tǒng)的佳節(jié)，那么這些傳統(tǒng)的節(jié)日是否能構(gòu)成一個集合？如果能，這個 集合由什么組成？ 全體自然數(shù)能否構(gòu)成一個集合？如果能，這個集合由什么組成？ 方程X2 3x + 2= 0的所有實數(shù)根能否構(gòu)成一個集合？如果能，這個集合由什么組成？ 你能否根據(jù)上述幾個問題總結(jié)出集合的含義？討論

4、結(jié)果：能這個集合由春節(jié)、元宵節(jié)、端午節(jié)等有限個種類的節(jié)日組成，稱為 有限集 能這個集合由 0， 1， 2， 3， , 等無限個元素組成，稱為無限集 能這個集合由 1， 2兩個數(shù)組成 我們把研究對象統(tǒng)稱為“元素”，把一些元素組成的總體叫做“集合”.提出問題通過以上的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道集合是由一些元素組成的總體，那么是否所有的元素都 能構(gòu)成集合呢？請看下面幾個問題 . 近視超過 300度的同學(xué)能否構(gòu)成一個集合？ “眼神很差”的同學(xué)能否構(gòu)成一個集合？ 比較問題，說明集合中的元素具有什么性質(zhì)？ 我們知道冬蟲夏草既是一種植物，又是一種動物那么在所有動植物構(gòu)成的集合中，冬蟲夏草出現(xiàn)的次數(shù)是一次呢還是兩次？

5、組成英文單詞every的字母構(gòu)成的集合含有幾個元素？分別是什么？ 問題說明集合中的元素具有什么性質(zhì)？ 在玩斗地主的時候，我們都知道 3, 4, 5, 6, 7是一個順子，那比如說老師出牌的時 候把這五張牌的順序擺成了 5， 3， 6， 7， 4，那么這還是一個順子么？類比集合中的元素， 一個集合中的元素是 3, 4, 5, 6, 7,另外一個集合中的元素是 5, 3, 6, 7, 4,這兩個集 合中的元素相同么？集合相同嗎？這體現(xiàn)了集合中的元素的什么性質(zhì)？討論結(jié)果：能. 不能 確定性問題對“眼神很差”的同學(xué)沒有一個確定的標準，到底怎樣才算眼神 差,是近視 300度？ 400度？還是說“眼神很差

6、”只是寓意？我們不得而知因此通過問題 我們了解到，對于給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個元素要么在這個 集合中，要么不在這個集合中，這就是集合中元素的確定性. 一次. 4個元素.e, v, r, y這四個字母. 互異性.一個集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn). 是.元素相同.集合相同.體現(xiàn)集合中元素的無序性，即集合中的元素的排列是沒 有順序的只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.提出問題 如果用A表示所有的自然數(shù)構(gòu)成的集合，B表示所有的有理數(shù)構(gòu)成的集合，a =1.58，那么元素a和集合A, B分別有著怎樣的關(guān)系？ 大家能否從問題中總結(jié)出

7、元素與集合的關(guān)系？ A表示“ 120內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合，那么3A, 4A.討論結(jié)果：a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素. a是集合B中的元素，就說a屬于集合B，記作a B ； a不是集合A中的元素，就說a不 屬于集合A,記作aA.因此元素與集合的關(guān)系有兩種，即屬于和不屬于. 3 A, 4 A.提出問題 從這堂課的開始到現(xiàn)在，你們注意到我用了幾種方法表示集合嗎？ 字母表示法中有哪些專用符號？ 除了自然語言法和字母表示法之外，課本還為我們提供了幾種集合的表示方法？分 別是什么？ 列舉法的含義是什么？你能否運用列舉法表示一些集合？請舉例！ 能用列舉法把下列集合表示出來嗎？小于10的質(zhì)數(shù)；

8、不等式x 2>5的解集. 描述法的含義是什么？你能否運用描述法表示一些集合？請舉例！ 集合的表示方法共有幾種？討論結(jié)果：兩種，自然語言法和字母表示法. 非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；除0的非負整數(shù)集，也稱正整數(shù)集，記作N*或N + ;整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作 Q；實數(shù)集，記作R. 兩種，列舉法與描述法. 把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來表示集合的方法叫做列舉法例如“地球上的四大洋”組成的集合可以用列舉法表示為太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，方程x2 3x+ 2 = 0的所有實數(shù)根組成的集合可以用列舉法表示為 1, 2 “小于10的質(zhì)數(shù)”可以用列舉法表示出來；“

9、不等式x 2> 5的解集”不能夠用列舉法表示出來，因為這個集合是一個無限集因此，當集合是無限集或者其元素數(shù)量較多而 不便于無一遺漏地列舉出來的時候，如果我們再用列舉法來表示集合就顯得不夠簡潔明了. 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法具體方法是：在花括號內(nèi) 先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值 (或變化 )范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征例如，不等式X 2> 5的解集可以表示為x R| x>7;所有的正方形的集合可以表示為x| x是正方形，也可寫成正方形 自然語言法、字母表示法、列舉法、描述法.應(yīng)用示例例1 下列所給對象不能構(gòu)成集合

10、的是 ( 1)高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題;(2) 某一班級 16歲以下的學(xué)生;(3) 某中學(xué)的大個子;(4) 某學(xué)校身高超過 1. 80米的學(xué)生 活動探究：教師首先引導(dǎo)學(xué)生通過讀題、審題，了解本題考查的基本知識點集合中元素的確定性;然后指導(dǎo)學(xué)生對4個選項進行逐一判斷;判斷所給元素是否能構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看是否滿足集合元素的確定性解析： (1) 不能構(gòu)成集合“難題”的概念是模糊的，不確定的，無明確的標準，對于 一道數(shù)學(xué)題是否是“難題”無法客觀地判斷實際上一道數(shù)學(xué)題是“難者不會，會者不 難”，因而“高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題”不能構(gòu)成集合(2) 能構(gòu)成集合，其中的元素是某班級 16歲以下的學(xué)生(3) 因

11、為未規(guī)定大個子的標準，所以(3) 不能組成集合(4) 由于 (4) 中的對象具備確定性，因此，能構(gòu)成集合答案： (1)( 3)例 2 用列舉法表示下列集合：(1) 小于 10的所有自然數(shù)組成的集合;(2) 方程x2 = x的所有實數(shù)根組成的集合；(3) 由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.活動探究：講解例 2的過程中，可以設(shè)計如下問題引導(dǎo)學(xué)生：針對例2(1):自然數(shù)中是否含有 0?小于10的自然數(shù)有哪些？如何用列舉法表示 小于10的所有自然數(shù)組成的集合？針對例2(2):解一元二次方程的方法有哪些？分別是什么？方程x2= x的解是什么？如何用列舉法表示方程 x2= x的所有實數(shù)根組成的集合？針對例

12、2( 3):如何判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù) (即質(zhì)數(shù)的定義是什么)孑120以內(nèi)的質(zhì) 數(shù)有哪些？如何用列舉法表示由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合？在用列舉法表示集合的過程中，應(yīng)讓學(xué)生先明確集合中的元素，再把元素寫入 “ ”內(nèi)，并用逗號隔開解: (1)小于10的自然數(shù)有 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，設(shè)小于 10的所有自然數(shù)組 成的集合為 A,那么 A =0,1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;(2) 方程x2 = x的兩個實根為xi= 0, X2= 1，設(shè)方程x2= x的所有實數(shù)根組成的集合為B,那么 B= 0, 1;(3) 120以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2, 3,

13、5, 7, 11, 13, 17, 19,設(shè)由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成 的集合為 C,那么 C = 2, 3, 5,乙 11 , 13, 17, 19.點評：本題主要考查了集合表示法中的列舉法，通過本題的教學(xué)可以體會利用集合表示教學(xué)內(nèi)容的嚴謹性和簡潔性例3試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1) 方程x2 2= 0的所有實數(shù)根組成的集合；(2) 由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.活動探究：講解例3的過程中，可以設(shè)計如下問題引導(dǎo)學(xué)生：針對例3( 1)列舉法 方程x2 2= 0的解是什么？ 如何用列舉法表示方程 x2 2 = 0的所有實數(shù)根組成的集合？針對例3( 1)描述法 描述法的定義是

14、什么？ 所求集合中元素有幾個共同特征？分別是什么？ 如何用描述法表示所求集合？針對例3( 2)列舉法 大于10小于20的所有整數(shù)有哪些？ 由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合用列舉法如何表示？針對例3( 2)描述法 所求集合中元素有幾個共同特征？分別是什么？ 如何用描述法表示所求集合？解：(1)設(shè)方程x2 2 = 0的實數(shù)根為x，并且滿足x2 2= 0，因此，用描述法表示為 A = x R| x2 2= 0;方程x2 2 = 0的兩個實根為x1=2, x2= ：2，因此，用列舉法表示為A= 2,.2.(2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x,它滿足條件x Z且10v xv 20,因此，用描述法表示

15、為B = x Z| 10 v xv 20;大于 10小于 20的整數(shù)有 11 , 12, 13, 14, 15, 16 , 17, 18, 19 , 因此，用列舉法表示為11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.點評：例2和例3是通過“問題引導(dǎo)”的方式，使學(xué)生逐步逼近答案的過程在此過程 中，既幫助學(xué)生理清了解答問題的基本思路，又使得列舉法和描述法在實例中得到進一步 的鞏固知能訓(xùn)練課后練習(xí)1, 2.【補充練習(xí)】1 考查下列對象能否構(gòu)成集合：(1) 著名的數(shù)學(xué)家；(2) 某校2013年在校的所有高個子同學(xué)；(3) 不超過20的非負數(shù)；(4) 方程x2 9= 0在實數(shù)范

16、圍內(nèi)的解；(5) 直角坐標平面內(nèi)第一象限的一些點；(6) 3的近似值的全體.答案：(1)( 2)( 5)( 6)不能組成集合，(3)( 4)能組成集合.2 用適當?shù)姆柼羁眨?1) 0N, 5N , 16N；(2) 2Q, nQ, eCrQ( e是個無理數(shù) )；(3) p2-亞 + 寸 2+£ =x|x= a +&b, a Q, b Q.答案：(1) (2) (3) 3. 已知集合A是由0, m, m2 3m+ 2三個元素組成的集合，且 2 A，求實數(shù)m的值.解： 2 A,/ m= 2 或 m2 3m + 2 = 2.若m= 2,則m2 3m+ 2= 0,不符合集合中元素的互

17、異性，舍去.若m2 3m+ 2= 2，求得 m = 0或3.m= 0不合題意，舍去. m只能取3.4. 用適當方法表示下列集合：(1) 函數(shù)y= ax2 + bx+ c(az 0)的圖象上所有點的集合；(2) 一次函數(shù)y= x+ 3與y= 2x+ 6的圖象的交點組成的集合；(3) 不等式x 3 > 2的解集；(4) 自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)集.答案：(1)描述法：( x, y)| y= ax2 + bx+ c, x R, a*0.(2)描述法:(x,y)9 = x+ 3y = 2x+ 6(x, y)x= 1y= 4列舉法：( 1 , 4).(3) 描述法：x| x> 5(4) 列舉

18、法：2, 3, 5, 7.拓展提升問題 1 設(shè)集合 P = x y, x+ y, xy , Q = x2+ y2, x2 y2, 0，若 p = Q,求x, y的值 及集合P, Q.活動探究：首先，應(yīng)讓學(xué)生思考兩個數(shù)集相等的條件一一集合中的元素分別對應(yīng)相等；然后，再引導(dǎo)學(xué)生討論：本題中集合P, Q對應(yīng)相等時，其元素可能出現(xiàn)的幾種情況，并根據(jù)討論的結(jié)果進行計算；最后，應(yīng)當指導(dǎo)學(xué)生自主探究，應(yīng)用集合中元素的性質(zhì)檢驗 所求結(jié)果是否符合要求.解：P= Q且0 Q, 0 P.若x+ y= 0或x y= 0，則x2 y2= 0 ,從而Q= x2+ y2, 0, 0，與集合中元素的互異性矛盾， x+ yz

19、0 且 x yz 0;若 xy= 0,則 x= 0 或 y= 0.當y= 0時，P = x, x yz 0 ；當x= 0時，P= y,< 2y=y ,由P= Q得"2y= y,0，與集合中元素的互異性矛盾,y,2,0, Q=y2, y2, 0,y z 0,C2j y，y=y,y z 0.由得y = 1由得y= 1,X = 0,x = 0, y = 1 或 y = 1,此時 P= Q = 1, 1, 0.點評：本題綜合性地考查了兩數(shù)集相等的條件、集合中元素的性質(zhì)以及學(xué)生的運算能 力和分類討論能力.問題2 :已知集合A = x| ax2 3x + 2 = 0，若A中的元素至多只有一

20、個，求a的取值范圍.活動探究：討論關(guān)于 x的方程ax2 3x+ 2= 0實數(shù)根的情況，從中確定a的取值范圍，依題意，方程有一個實數(shù)根或兩個相等的實數(shù)根或無實數(shù)根.2解：(1)a= 0時，原方程為3x+ 2 = 0, x= 3,符合題意.(2)az 0時，方程ax2 3x+ 2 = 0為一元二次方程.9由A= 9 一 8 a w 0,得a89當a>8時，方程ax2 3x+ 2= 0無實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根.9綜合(1)( 2)，知a= 0或a8.點評：“ a = 0”這種情況最容易被忽視，只有在“a豐0”的條件下，方程ax2- 3x + 2=0才是一元二次方程，才能用判別式A解決問題.問題 3:設(shè) S