北師大版高中數(shù)學(xué)第十三章第2節(jié)第2課時(shí)不等式的證明

1、第2課時(shí)不等式的證明最新考綱 通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分 析法.I知快衍化伍驗(yàn)叵顧教以夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 .基本不等式定理1：如果a, bCR,那么a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí),等號(hào)成立.a+ b定理2：如果a, b>0,那么六一方娘，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正 數(shù)的算術(shù)平均不小于（即大于或等于）它們的幾何平均.定理3：如果a, b, cC R+,那么a+b+c>30bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成 3立.2 .不等式的證明方法比較法作差法（a, bC R）： ab>0? a>b； ab<0? a<

2、b； ab=0? a=b.作商法（a>0, b>0）： b>1? a>b； ：<1? a<b； b=1? a=b.（2）綜合法與分析法綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推 理、論證而得出命題成立.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所需條件為已知 條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要 證的命題成立，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法.微點(diǎn)提醒1 .作差比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)（或式子）與0的大小關(guān)系.2

3、 .用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證（欲證)” ”即要證” ”就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立.3 .利用基本不等式證明不等式或求最值時(shí)，要注意變形配湊常數(shù).基礎(chǔ)自測(cè)疑誤辨析1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“或"X” )比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論.()(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論.()(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論 成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).()使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推

4、理的條件應(yīng)用.()解析(1)作商比較法是商與1的大小比較.(3)分析法是從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件.應(yīng)用反證法時(shí)，“反設(shè)”可以作為推理的條件應(yīng)用.答案 (1)X (2)，(3)X (4)X教材衍化、2 .(選修 4 5P23習(xí)題 2.1T1 改編)已知 a>b>0, M = 2a3b3, N = 2ab2 a2b,則 M,N的大小關(guān)系為.解析 2a3-b3- (2ab2 a2b) = 2a(a2 b2) + b(a2 b2) = (a2 b2)(2a+ b) = (a- b)(a+ b)(2a+b).因?yàn)?a>b>0,所以 ab>0, a+b>0,

5、2a+b>0,從而(a b)(a+ b)(2a+ b)>0,故 2a3 b3>2ab2 a2b.答案 M>N1 1 1,3.(選修 4 5P25T3改編)已知 a, b, c (0,十),且 a+b+c= 1,則二十二十二的 a b c最小值為.111 a+b+c a+b+c a+b+c b a解析 把 a+b+c=1 代入a+6+匕得+=3+&+bj+，一，1 ，當(dāng)且僅當(dāng)a= b= c=3時(shí)等方成立. 3答案 9考題體驗(yàn)4.(2019 聊城,K擬)下列四個(gè)不等式： 10gx10 +lg x>2(x>1)； |ab|<|a|+|b|; b a+

6、 a >2(ab0); ®x-1|+|x-2|>1,其中恒成立的個(gè)數(shù)是()a bA.1B.2C.3D.4解析 10gx10+lg x="+lg x>2(x>1),正確； lg xab< 0 時(shí)，|ab|= |a|+|b|,不正確；因?yàn)閍bw0,b- aa- bb aba .所以a + b =占+ b >2,正確; a bab由|x 1| + |x 2|的幾何意義知，X-1|+|x-2|> 1包成立，也正確，綜上正確.答案 C5.(2017 全國(guó) II 卷)已知 a>0, b>0,且 a3+b3=2.證明:(1)(a+b)

7、(a5+b5)>4；(2)a+b<2.證明 (1)(a+ b)(a5+ b5)=a6+ab5+a5b+ b6=(a3+ b3)2-2a3b3+ ab(a4+ b4)=4 + ab(a4+ b4 2a2b2)=4 + ab(a2 b2)2> 4.(2)(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2+b3 = 2 + 3ab(a + b)<2 +3(a+b)24(a+b)=2+33(a+ b)4，所以(a+b)308,因此 a+ b<2.I考點(diǎn)聚焦突破分差講練，以例求法考點(diǎn)一比較法證明不等式【例1】 設(shè)a, b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a2+b2>-Jab(a+b

8、).證明 因?yàn)?a2+b2qab(a+b)=(a2 a/ab) + (b2 b/ab)=a/a(/a bfb) + bVb(Vb Va)=(a b)(a a- b b)= (a2-b2)(a3-b2).因?yàn)閍>0, b>0,所以不論a>b>0,還是0&a&b,都有a2b2與a2b2同號(hào), 1133所以(a2 b2)(a2 b2)>0,所以 a2+b2>/Ob(a+b).規(guī)律方法比較法證明不等式的方法與步驟1 .作差比較法：作差、變形、判號(hào)、下結(jié)論.2 .作商比較法：作商、變形、判斷、下結(jié)論.提醒(1)當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)

9、，一般使用作差比較法.(2)當(dāng)被證的不等式兩邊含有幕式或指數(shù)式或乘積式時(shí)，一般使用作商比較法.【訓(xùn)練11 (1)(2019錦州市英擬)設(shè)不等式|2x- 1|<1的解集為M.求集合M;若a, bCM,試比較ab+1與a+b的大小.若 a>b>1,證明：a + 1>b+1. a b(1)解 由 |2x 1|<1 得一1<2x1<1,解得 0<x< 1.所以 M = x|0< x< 1.由和a, bC M可知0<a<1, 0V b< 1,所以(ab+ 1) (a+b) = (a1)(b1)>0.故 ab+ 1

10、>a+ b.、1(2)證明 a+- a1Jb+T； i=a-b + bb a (a b)(ab 1)ab 一ab由 a>b>1 得 ab>1, ab>0, 所以(a-噤-1)>0.ab1 即a+1 a7+b>0，所以 a+1>b+1. a b考點(diǎn)二綜合法證明不等式【例2】(1)已知a, b, c R,且它們互不相等，求證a4+b4+c4>a2b2+ b2c2 + c2a2;x y z 1 1 1(2)已知x, y, z均為正數(shù)，求證：yz+ zx+ xy+y+z.證明(1) . a4+b4>2a2b2, b4 + c4>2b2c

11、2, a4+c4>2a2c2, 2(a4+ b4+c4)>2(a2b2+ b2c2 + c2a2),即 a4 + b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.又;a, b, c互不相等，a4+ b4+c4>a2b2+ b2c2+ c2a2.(2)因?yàn)閤, y, z都為正數(shù)，x v 1 x y 2G所以一+1=+ L，yz zx z y x z 5同理可得上+ z>2，xz yx xz x 2.一十一學(xué)一，xy yz y ，當(dāng)且僅當(dāng)x= y=z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立.將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2,/曰 x_yz111得一+ +一>一 十 一 十 一.yzzxx

12、yxyz規(guī)律方法 1.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.2.在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的.在運(yùn)用這 些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件.【訓(xùn)練2 已知實(shí)數(shù)a, b, c滿足a>0, b>0, c>0,且abc= 1.證明:(1+a)(1 + b)(1+c)>8;-111(2)證明：va+vb+vc<a+b+c.證明(1)1 + a>2a, 1 + b>2Vb, 1 + 020,相乘得：(1 + a)(1 + b)(1 + c)&g

13、t; 8Vabc= 8.(2)1+ 1+ != ab+ bc+ ac, a b cab+ bc>2 , ab2c= 2 , b,ab+ ac>2 , a2bc= 2 a,bc+ ac>2 , abc2=2 , c,1 1 1相加得油+qb+仇& a+b+0.考點(diǎn)三分析法證明不等式【例3】 已知函數(shù)f(x)=|x1|.(1)解不等式 f(x- 1) + f(x+3)>6;若|a|<1, |b|<1,且 aw0,求證：f(ab)>|a|f(j.(1)解 由題意，知原不等式等價(jià)為x-2|+|x+ 2|>6,令 g(x) = |x 2|+ +2|

14、,，- 2x, x0 2,則 g(x)=<4, 2<x<2,2x, x> 2.當(dāng) x0 2 時(shí)，由一2x>6,彳# x<-3;當(dāng)2<x<2時(shí)，4>6不成立，此時(shí)無(wú)解；當(dāng) x>2 時(shí)，由 2x>6,得 x>3.綜上，不等式的解集是(一8, - 3U3, +oo).證明 要證f(ab)>|a|f !：,只需證 |ab 1|>|b a|,只需證(ab 1)2>(b a)2.而(ab1)2 (b a)2= a2b之a(chǎn)2 b2+ 1 = (a2 1)(b2 1)>0,從而原不等式成立規(guī)律方法1.當(dāng)要證的不等式

15、較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.2.分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，其框圖表示為：Q? Pl - Pl? P2 P2? P3 ->得到一個(gè)明顯成立的條件【訓(xùn)練3】 已知a>b>c,且a+b+c=0,求證： 加2ac</3a.證明 由 a>b>c且 a+b+c= 0,知 a>0, c<0.要證 >/b2 ac< V3a,只需證 b2 ac<3a2. a+b+c=0,只需證 b2 + a(a+b)<3a2,只需證 2a2 abb2>0,只需證(a-b)

16、(2a+b)>0,只需證(ab)(a c)>0. a>b>c, ab>0, a c>0,(a- b)(a c)>0 顯然成立，故原不等式成立.反思馬感悟思維升華證明不等式的方法和技巧：(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少” “至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證 法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等.在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明.尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明， 其簡(jiǎn)化的根本思路是去絕對(duì)信號(hào), 轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式（組）求解

17、.多以絕對(duì)值的幾何意義或 “找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐 個(gè)解、并起來(lái)”為簡(jiǎn)化策略，而絕對(duì)值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù). 易錯(cuò)防范在使用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用 時(shí)，要求分析每次使用時(shí)等號(hào)是否成立分層訓(xùn)練,提升能力I分層限時(shí)訓(xùn)煉基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時(shí)：60分鐘）1.設(shè) a, b>0 且 a+b=1,求證:2 b+b)a+a)+證明d)251因?yàn)閍b& 412所以G+a）+2125b+b廣萬(wàn).2.設(shè) a>0, b>0, a+b=1,求證 1 + 1+白>8. a b ab證明a>0, b>0, a+b=1, . 1

18、 =a+ b>2Vab,11即包&2, .MX2ab111/1 1a+b+ab=(a+b)匕+b廣，1 -當(dāng)且僅當(dāng)a= b= 1時(shí)等號(hào)成立,1+ ab>83.(2019 大理一模)已知函數(shù) f(x) = X|+|x 3|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)-5>x.(2)設(shè) m, n y|y = f(x),試比較 mn+4 與 2(m+n)的大小.3 2x, x<0, 解(1)f(x)=|x|+|x3|=< 3, 0<x<3, 2x3, x>3.f(x) 5 > x,即 *x<0, 3 2x>x+5'0&X&

19、amp;3,3>x+5x>3,2或S解得x< - j或xC ?或x>8.2x-3>x+5,3所以不等式的解集為78+r8,u-1J2- 3(2)由(1)易知 f(x)>3,所以 m>3, n>3.由于 2(m+ n) (mn+ 4) = 2m mn+ 2n 4 = (m 2)(2 n).且 mm3, n>3,所以 m2>0, 2 n<0,即(m2)(2n)v。，所以 2(m+ n)<mn+4.4.(2019郴州質(zhì)量檢測(cè))已知a, b, c為正數(shù)，函數(shù)f(x) = |x+ 1|+ |x-5|.(1)求不等式f(x)<1

20、0的解集；(2)若 f(x)的最小值為 m,且 a+b+c=m,求證：a222(a + b + c ) >2(ab+ ac+ be),+b2+c2>12.解 f(x)=|x+1|+|x-5|<10 1,1<x<5,等價(jià)于或l-(x+1)-(x-5)<10 l(x+1)-(x- 5)<10x>5,l(x+1)+(x-5)<10,解得3<x<- 1 或1vxv5 或 5Wx07,不等式f(x)&10的解集為x|3<x07.(2)證明 v f(x) = |x+ 11+ |x- 5|>|(x+ 1) (x 5)|=

21、6,m= 6,即 a+b+c=6.222222a + b >2ab, a +c >2ac, c + b >2cb,3(a2 + b? + c)>a?+ b? + c? + 2ab+ 2ac+ 2bc (a + b + c)2, .a2+b2 + c2>12.當(dāng)且僅當(dāng)a= b= c= 2時(shí)等號(hào)成立.5.(2019 沈陽(yáng)模擬)設(shè) a, b, c>0,且 ab+bc+ca= 1.求證:(1)a+b+c>V3；證明 (1)要證a+b+c43,由于 a, b, c>0,因此只需證明(a+b+c)2>3.即證 a + b +c +2(ab+bc+ ca

22、)13.而 ab+ bc+ ca= 1,故只需證明 a2+ b2+ c+2(ab+ bc+ ca)>3(ab+ bc+ ca),即證 a2+b2 + c2>ab+ bc+ ca.222222而這可以由 ab+bc+cawa +；c +c=22+ b2 + c2(當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c時(shí)等號(hào)成立)證得.所以原不等式成立.a+ b+ c. abc在(1)中已證a+b+c>V3.因此要證原不等式成立，1 一只需證明obc>出+的+疵, 即證 aVbc+ bVac+ cVab< 1,即證 a . bc+ b ac+ c ab< ab+ bc+ ca.而 a bc= a

23、b ac< 亦；acab bcbc acbac<2，cvab< 2，所 以 a bc+b ac+ cVab< ab+ bc+ ca且僅當(dāng)a=b=c=當(dāng)時(shí)等號(hào)成立j 所以原不等式成立.6.(2019百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|2x-3|+|2x- 1|的最小值為M.(1)若 m, nC M, M,求證：2|m+n|& |4+ mn|;(2)若 a, bC(0, +8), a + 2b=M,求2+1 的最小值. a b(1)證明f(x) = |2x 3|+|2x 1|>|2x-3-(2x- 1)|=2, ；M = 2.要證明 2|m+ n|< |4

24、+ mn|,只需證明 4(m+ n)2< (4 + mn)2,-'4(m+ n)2 (4+mn)2=4(m2+2mn+n2) (16+8mn+ m2n2)= (m2 4)(4n2),vm, n 2, 2,m2, n2C 0, 4,(m24)(4 n2)<0,4(m+ n)2 (4+ mn)2< 0,4(m+ n)2< (4+ mn)2,可得 2|m+n|&|4+ mn|.(2)解由(1)得,a+ 2b = 2,因?yàn)?a, bC (0, +oo),2 1 12 1所以 a+b=2+bXa+2b)興+2+b+¥F 24+2O 尸 4,1 , 一，當(dāng)且僅當(dāng)a= 1, b= 1時(shí)，等號(hào)成立.一 2 1一一，一所以a+/最小值為4.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)7.已知函數(shù) f(x) = x+1+|3 x|, x>-1.(1)求不等式f(x) < 6的解集；9右f(x)的取小值為n,正數(shù)a, b?兩足2nab= a+ 2b,求證：2a+bl8解根據(jù)題意，若f(x)<6,則有'x+ 1 + 3x0 6,l 1<x<3；x+1 +