知識(shí)點(diǎn)總結(jié)高等代數(shù)

1、章 行 列 式 知 識(shí) 點(diǎn) 總 結(jié)一行列式定義aij(HL in)In( 1)ah12 2L aiG2L inaij(1)(ili2Lin)(jlj2Ljn)aijiai2j2L a.jn 越 in和 j jn厲1a12La1n1、n級(jí)行列式aja21a22La2n（1）等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積nMMMan1an2Lanna1 j1a2j2 L anjn（2）的代數(shù)和，這里jjLjn是一個(gè)n級(jí)排列。當(dāng)j1j2L jn是偶排列時(shí)，該項(xiàng)前面帶正號(hào);當(dāng) J1J2L jn是奇排列時(shí)，該項(xiàng)前面帶負(fù)號(hào),即:a11a12La1na21a22La2n(1)(j jn)a1j1a2j2L anj

2、n。 j1j2L jnanMMMan1an2Lann2、等價(jià)定義3、 由n級(jí)排列的性質(zhì)可知， n級(jí)行列式共有 n!項(xiàng)，其中冠以正號(hào)的項(xiàng)和冠以負(fù)號(hào)的項(xiàng)（不算元素本身 所帶的負(fù)號(hào)）各占一半。4、常見(jiàn)的行列式1）上三角、下三角、對(duì)角行列式2）副對(duì)角方向的行列式3）范德蒙行列式：二、行列式性質(zhì)1、行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。3、 行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)數(shù)，等于用這個(gè)數(shù)乘以此行列式。即:某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整個(gè)行列式的外面。4、若行列式中有兩行成比例，則此行列式等于零。5、若某一行（列）是兩組數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行

3、列式之和，而這兩個(gè)行列式除這一行（列） 以外全與原來(lái)行列式的對(duì)應(yīng)的行（列）一樣。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上，行列式不變。三、行列式的按行（列）展開1、子式1） 余子式：在n級(jí)行列式Daj中，去掉元素aj所在的第i行和第j列后，余下的n-1級(jí)行列式稱為aj的余子式，記作 Mj。2）代數(shù)余子式： A （ 1）i jMij稱為aj的代數(shù)余子式。23） k級(jí)子式：在n級(jí)行列式Daj中，任意選定k行和k列（1 k n），位于這些行列交叉處的k個(gè)元素，按原來(lái)順序構(gòu)成一個(gè)k級(jí)行列式M，稱為D的一個(gè)k級(jí)子式。當(dāng)（k n）時(shí)，在D中劃去這k行和k列后余下的元素按照

4、原來(lái)的次序組成的n k級(jí)行列式 M 稱為k級(jí)子式M的余子式。2、按一行（列）展開1）行列式任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值，即按第 i 行展開 D4小1 ai2A2 LaAn（i 1,2,L , n）;按第 j 列展開 Da1 j A1 ja2j A2jL anj Anj（j 1,2,L ,n）;2）行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等零，即a1 Aj1ai2Aj2Lain Ajn0（i j ）；或 a1i A1 ja2iA2jLani Anj0,（ i j）.3、按k行（k列）展開拉普拉斯定理：在 n級(jí)行列式中，任意取定k個(gè)行（

5、k列）（1 k n 1），由這k行（k列）元素組成的所有的k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值。 其他性質(zhì)設(shè)4、1）A為n階方陣，則A A ；2）A為n階方陣，則kA kn A ；3）A, B為n階方陣，則 AB AgB，A |B ；4）A為m階方陣，設(shè)B為n階方陣，則AgB，但 A B5）行列式的乘法定理：兩個(gè)n級(jí)行列式乘積等于n級(jí)行列式四、行列式的計(jì)算1、計(jì)算行列式常用方法：定義法、化三角形法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法、拉普拉斯定理等等。具體計(jì)算時(shí)需要根據(jù)等到式中行（或列）元素的特點(diǎn)來(lái)選擇相應(yīng)的解題方法。方法一：遞推法分為直接遞推法和間接遞推法。用直接遞推法的關(guān)鍵是找出一個(gè)關(guān)于Dn

6、 1的代數(shù)式來(lái)表示Dn，依次從D1 D2 D3 D4 L Dn，逐級(jí)遞推便可以求岀Dn的值方法二：數(shù)學(xué)歸納法。第一步發(fā)現(xiàn)和猜想；第二步證明猜想的正確性。第二步的關(guān)鍵是首先要得到Dn關(guān)于Dn 1和Dn 2的遞推關(guān)系式m行m列）得到一個(gè)新方法三：加邊法。 加邊法是將所要計(jì)算的 n級(jí)行列式適當(dāng)?shù)靥砑右恍幸涣校ɑ騨+1 （或m+1）級(jí)行列式較易計(jì)算。的n+1 （或m+1 ）級(jí)行列式，保持行列式的值不變，但是所得到的其一般做法如下:anLLLan1L1qLanL10L0a1n0L31131nb1LLa11Cn或LLL311a1 nLLLLLLLLan10an1Lan13n1L3n1th3i1L3n1特殊

7、情況取a1 a2 L anL bn 1方法四：拆行（列）法。將所給的行列式拆成兩上或若干個(gè)行列式之和，然后再求行列式的值。 拆行（列）法有兩種情況：一是行列式中有某行（列）是兩項(xiàng)之和，可直接利用性質(zhì)拆項(xiàng)；二是所給行列式中行（列） 沒(méi)有兩項(xiàng)和形式，這時(shí)需作保持行列式值不變，使其化為兩項(xiàng)和。方法五：析因子法。 如果行列式D中有一些元素是變數(shù) x （或某個(gè)參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列 式D當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式 f（X），然后對(duì)行列式 f（X）實(shí)行某些變換，求岀 f（X）的互素的一次因式，使得比較f （x）與的g（x）某f （x）與這些因式的乘積 g（x）只相差一個(gè)常數(shù)因子 c，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義,項(xiàng)

8、系數(shù)，求岀c值，便可求得 D cg（x）2、行列式計(jì)算中常用的類型類型一：“兩條線”型行列式（非零元分布在兩條線上，例如ONOO等等）。NOO注：“兩條線”型行列式一般采取直接展開降階法計(jì)算，或用拉普拉斯定理展開，降階后的行列式或?yàn)?三角形行列式，或得到一個(gè)遞推公式。類型二：“三條線”行列式（非零元分布在三條線上）。（1） “三對(duì)角”行列式O ,N注：“三對(duì)角”行列式可以按如下方法進(jìn)行求解。首先得到一個(gè)一般的遞推公式Dn pDn 1 qDn 2，然后可以用以下兩種方法之一求岀Dn的表達(dá)式:Dn和Dn 1的方程組，從而消先計(jì)算D1,D2, D3等，找岀規(guī)律進(jìn)行猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明4

9、間接遞推法：借助于行列式中元素的對(duì)稱性，交換行列式構(gòu)造出關(guān)于去Dn 1就可解得Dn（2）“爪型”行列式 （ N M ）。NM注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化為上（下）三角形行列式進(jìn)行求解。L L L（3）Hessenerg 型行列式 （ N M ）。NM類型三：各行（列）元素之和相等（或多數(shù)相等僅個(gè)別不相等）的行列式 注：行加法（或列加法）再化為三角形行列式進(jìn)行求解。類型四：除主對(duì)角線外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再結(jié)合其他方法進(jìn)行求解。 類型五：可利用范德蒙行列式計(jì)算的行列式。 類型六：其他形式行列式。五、克萊姆法則aiiLainDLLL0，an1Lan11、克萊姆法則：如果含有 n個(gè)未知量的n個(gè)方程的線性方程組a11xa2 x?LainXna21 Xl*22 X2La2n XnLan1 X1an2X2LannXnb22的系數(shù)行列式不等于零，即bn則方程組有唯一解:其中Dj（j1,2丄n）是把系數(shù)行列