復(fù)變函數(shù)與積分變換試的題目及答案

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案復(fù)變函數(shù)與積分變換試題（一）一、填空（ 3 分× 10）1 ln(13i ) 的模，幅角。2 -8 i的三個(gè)單根分別為：，。z在的區(qū)域內(nèi)連續(xù)。3 Ln4 f ( z)z 的解極域?yàn)椋骸? f ( z)x 2y22xyi 的導(dǎo)數(shù) f ( z)。6 Re ssin3z ,0。z7指數(shù)函數(shù)的映照特點(diǎn)是：。8冪函數(shù)的映照特點(diǎn)是：。若 F()=F f(t)，則 f (t)= F1f()。9若 f （t）滿足拉氏積分存在條件，則L ft)=10(。二、 (10 分)已知 v( x, y)1 x21 y 2 ，求函數(shù) u(x, y) 使函數(shù) f ( z) u(x, y)iv (x, y

2、) 為22解析函數(shù)，且 f (0)=0 。三、（10 分）應(yīng)用留數(shù)的相關(guān)定理計(jì)算dz| z| 2 z6 ( z1)( z3)四、計(jì)算積分（ 5 分× 2）dz1| z| 2 z(z1)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案cos z2C：繞點(diǎn) i 一周正向任意簡(jiǎn)單閉曲線。五、（10 分）求函數(shù)1在以下各圓環(huán)內(nèi)的羅朗展式。f (z)z(zi )1 0 | z i | 12 1 | zi |六、證明以下命題：（ 5 分× 2）（ 1） (tt0 ) 與 eiwt o 構(gòu)成一對(duì)傅氏變換對(duì)。（2）e i t dt 2( )xyz1七、（10 分）應(yīng)用拉氏變換求方程組xyz0 滿足 x(0)= y(0

3、)= z(0)=0 的解y4z0y( t ) 。八、（10 分）就書中內(nèi)容，函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析的具體判別方法有哪幾種。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案復(fù)變函數(shù)與積分變換試題答案（一）2一、 1ln2242， arctg32k2.3 - i2i3 - i9ln 23.Z 不取原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸4.空集5.2z6 07. 將常形域映為角形域8.角形域映為角形域9.1F ()eid10.0f (t )e st dt2二、解：vxuvyu uxyc（5 分）xyyxf ( z) i1 x 21 y2xy c22 f (0)=0c=0（3 分） f ( z)xyi(x 2y2 )i (x 2y22xyi )i z2（2

4、分）22221三、解：原式 =（ 2 分） 2 iRe s, zkz1 0z21z6 ( z1)( z3)k141（2 分）2 i Re s6, zkz33z4( z 1)( zk3z3)Re sz1,3(2分） 126 ( z 1)( z 3)36Re s61,（2分）Re s16( 1112 ,0=0z( z 1)( z 3)1)( 13) zzzz原式 =（ 2 分）2i1i=3 636221四、 1解：原式2iRe s, zk（3分）z1=02 =1z( zzk11)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2 i 11 =0（2 分）2解：原式2i cos z z ii（cos z） z ii cosi

5、= ich12!五、 1解：nf ( z) （1分）11（1分） 111i（1分） 1 1z i( zi) zii( zi ) izzi in 0i1in1ni( z i ) n 1i (zi) n （ 2 分）n0n12解：f ( z)（分）11（ 分）111( zi ) i( zi)1(zi)2i1zi1in11（1 分）i n ( zi )n 2（2 分）( z i )2n 0z in 0 i n ( zi )n 2n 0六、 1解：(t t 0 )ei tdt eit（ 3 分） 結(jié)論成立t t 0e i t 0（ 2）解：12( )e it dwe i t01（2 分）2 2(w)

6、與 1 構(gòu)成傅氏對(duì)e it dt2 ( )（2 分）sX (s)Y( s)1(1)sZ( s)七、解： X ( s)sY( s)S(2)Z (s) 0Y (s)4sZ(s)0(3)（3 分）S（2）- （1）： Y( s)111s11 11（3分）21sss 21 s2 s 1 s 1s Y(t) 11 et1 e t1cht22精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案八、解：定義； C-R充要條件 Th； v 為 u 的共扼函數(shù)10 分復(fù)變函數(shù)與積分變換試題（二）一、填空（ 3 分× 10）函數(shù)f(z在區(qū)域 D內(nèi)可導(dǎo)是f(z)在 D 內(nèi)解析的（） 條1)件。2 w=z2在 z=- i處的伸縮率為（）。

7、3 z122i的指數(shù)表示式為（）。4 Ln(-1) 的主值等于（）。5函數(shù) ez 以（）為周期。設(shè) C為簡(jiǎn)單閉曲線，則dz（）。6czz0=7若 z0 為 f ( z) 的 m級(jí)極點(diǎn)，則Re s f (z), z0 （）。8若 F ( ) F f ( t ) （）。9 2 (tt 0 ) 與（）構(gòu)成一個(gè)付立葉變換對(duì)。10已知 Lsin t1，則L sin t （）。s21t二、計(jì)算題 (7 分× 7)1求 p，m，n 的值使得函數(shù) f ( z)my3nx2 yi ( x3pxy 2 ) 為解析函數(shù)。2計(jì)算13dz1| z| 3zz 23已知調(diào)和函數(shù)u2(x1) y ，求解析函數(shù) f

8、( z)uiv 使得 f (2)i 。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4把函數(shù)1在 1 | z |2 內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)。21)( z2)( z5指出函數(shù)f (z)z1在擴(kuò)充復(fù)平面上所有孤立奇點(diǎn)并求孤立奇點(diǎn)處的留z22z數(shù)。6計(jì)算zezdz|z| 2z2112d7利用留數(shù)計(jì)算積份2cos0三、積分變換（ 7 分× 3）1設(shè) f ( t)sin0t cos0 t （0 為常數(shù)），求 F f ( t ) 。2 設(shè)f ( t ) 以 2為 周 期 ， 且 在 一 個(gè) 周 期 內(nèi) 的 表 達(dá) 式 為cost0t2f (t)t求 L f ( t ) 。023求方程 y2 y 3y e t 滿足條件 y(0)

9、0, y (0) 1的解。（ L e-t =1）。s1精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案復(fù)變函數(shù)與積分變換試題答案（二）5i一、 1 充要條件2. 23. 4e 64.i5. 2 i2 iz0 在C內(nèi)6. 原式=z0 不在 C內(nèi)017(m9. 2 e二、 1.解：d m 1()( )8.1j tl imm 1z z0fF ( )e d1)!dzz2zz0ijt010.1dsarcctgss2s12u2nxyv 2nypnP（3分）xyu322v322n33m=pymynxxxpy p3, m1, n3（1 分）2原式 =（ 25 分）13dz( 4分）2i6i（ 分）8i|z| 3 z1|z| 3 z213

10、原式 =u2 yvvy 2g (x)（2分）xyu2( x1)vg (x)g( x)x 22xc（2 分）xx f ( z) 2( x1) y i( y 2x 21)f (2)ii2 y y2c)c10i y y 0（2 分） f ( z) 2( x1) y i( y 2x 22x1)（1 分）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案111n 2 n4解：z（2 分）22（ ）z1z211zn 01z21 1 1 1zn（2 分）z22 1 z2 n 0 2211znn（）k2 n 1k n 42（ ）C na b（ 3分）z1 z2n 01 zn 02n 15解： z0， z2，z（2 分）Re s f ( z

11、),0limz11（2分）2z22z0Re s f ( z),2limz11（2分）2z22z2Re s f ( z),1（1 分）6解：原式（3 分）2 i Re szez,1Re szez, 1（ 分）ee 1z21213 2 i22z2 ich1（1 分）7解：原式 =（2 分）|z| 12=（1分）| z| 1 ( z21dz =（ 1 分）|z| 1 z22idzz21 iz4z 12z2idz3)( z23)=（ 2 分） 2 i Res2i, 2324z 1z=（ 1 分） 2 i2i223233三、 1解：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案F f ( t )f (t)e j t dt1 si

12、n 20tej t dt（3分）1 i2(2w0 )(20 )（4 分）2122. 解：Lf ( t )= （ 2 分）1s20 f (t )e st dte（2分）=12 s0 coste st dt =（ 2 分）12 ssse2s1e1 e1s（1分）=1se 2 s1s213解： F ( y2y3y) =F e-t（ 1分）s2Y (s)sY( s) Y(0)2( sY( s)Y (0) 3Y( s)1（2 分）s111s2Y(s)s13 = (s（2 分）s22s1)( s3)( s1)Y(t )ResY (s)est ,zk1,1,3=1e t3et1e 3t488（2 分）精彩文

13、檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案復(fù)變函數(shù)與積分變換試題（三）1. （5）復(fù)數(shù) z 與點(diǎn) (x, y) 對(duì)應(yīng) , 請(qǐng)依次寫出 z 的代數(shù)、幾何、三角、指數(shù)表達(dá)式和 z 的 3 次方根。2.（ 6）請(qǐng)指出指數(shù)函數(shù) wez 、對(duì)數(shù)函數(shù) wln z 、正切函數(shù) wtan z 的解析域，并說明它們的解析域是哪類點(diǎn)集。3. （9）討論函數(shù) f ( z)x2i y 2 的可導(dǎo)性，并求出函數(shù)f ( z) 在可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。另外，函數(shù)f ( z) 在可導(dǎo)點(diǎn)解析嗎？是或否請(qǐng)說明理由。4. （ 7 ） 已知 解析 函 數(shù) f ( z)u i v 的 實(shí) 部 uy33x 2 y ，求 函 數(shù)f ( z) u i v 的表達(dá)式，并使 f

14、(0)0 。5. （6× 2）計(jì)算積分：d z（1）C (zz0 ) n 1 ,其中 C 為以 z0 為圓心 , r 為半徑的正向圓周 ,n 為正整數(shù)；（2）ezd z。|z| 3 (z 1) 2 ( z2)6. （5× 2）分別在圓環(huán)（1）0| z | 1， (2)0 | z 1| 1內(nèi)將函數(shù)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1f ( z)z(1z) 2 展為羅朗級(jí)數(shù)。7. （12）求下列各函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。(1)z sin z11f ( z); (2)f ( z); (3)f ( z) z e z 1 .z3z2 sin z8. （7）分式線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的映照特點(diǎn)各

15、是什么。9.（6 分）求將上半平面線性函數(shù)。10. （5×2）（1）己知Im( z)0保形映照成單位圓| w |1的分式F，求函數(shù)f (2t5)的傅里葉變換； f (t ) F ( )2的傅里葉逆變換（2）求函數(shù) F ( )(3 i )(5 i)11. （ 5×2）（ 1） 求函數(shù) f (t) e2t u(t 2) 的拉普拉斯變換；（2）求拉普拉斯逆變換-1s 。L 24ss512. （6 分）解微積分方程： y' (t)ty( ) d1, y(0) 0 。0精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案復(fù)變函數(shù)與積分變換試題答案（三）1. （ 5 分）請(qǐng)依次寫出z 的代數(shù)、幾何、三角、指數(shù)

16、表達(dá)式和z 的 3 次方根。zxiyreir (cosi sin)2kzrei3z： r , Argz2.（ 6 分）請(qǐng)指出指數(shù)函數(shù)w ez 、對(duì)數(shù)函數(shù) wln z 、正切函數(shù) w tan z的解析域，并說明它們的解析域是哪類點(diǎn)集。指數(shù)函數(shù) wez 、對(duì)數(shù)函數(shù) wln z 、正切函數(shù)wtan z的解析域分別為：整個(gè)復(fù)平面, 無界開區(qū)域；除去原點(diǎn)及負(fù)半實(shí)軸，無界開區(qū)域，；除去點(diǎn) z k，無界開區(qū)域。23. （ 9 分）討論函數(shù) f ( z)x2i y2 的可導(dǎo)性，并求出函數(shù)f ( z) 在可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。另外，函數(shù)f (z) 在可導(dǎo)點(diǎn)解析嗎？是或否請(qǐng)說明理由。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：u2xv2 y

17、u0u0 ， u,v 可微xyyy所以 xy 時(shí)函數(shù)可導(dǎo)，且f (z) x y2x 。因?yàn)楹瘮?shù)在可到點(diǎn)的任一鄰域均不可導(dǎo)，所以可導(dǎo)點(diǎn)處不解析。4. （ 6 分） 已 知 解 析函 數(shù) f (z) ui v 的 實(shí)部 uy33x2 y ， 求 函 數(shù)f ( z) u i v 的表達(dá)式，并使f (0)0。uy33x2 yu6xyv ,u3y23x2v ,xyyxvx33xy2c解： f ( z)y33x2 yi( x33xy2 )icf (0)0c 0f ( z)y33x2 y i( x33xy2 )5. （ 6×2）計(jì)算積分：（ 1）d z,n 1C ( z z0 )其中 C 為以 z

18、0 為圓心 ,r 為半徑的正向圓周 ,（ 2）ezd z。| z| 3 ( z 1) 2 ( z 2)解 （ 1）設(shè) C 的方程為 zz0r ei(0d z2i r ei1 i( n 1) d( z z0 )n 1rnC0e2idrni n0ei2(cos ni sin nrn0n 為正整數(shù)；2) , 則)d精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案所以d zd z2i （當(dāng) n0時(shí)）C z z0C ( zz0 )n 1d z0 （當(dāng) n0 時(shí)）。C ( zz0 )n 1（2）ezd z|z| 3 ( z 1)2 ( z 2)ezd zezd z|z 1|12| z 2|121)( z2)(z1)(z2)2 ( z

19、2ezezz2d z( z1)2d z|z 1| 12|z 2|1(z1)z222ezez2i ( z 2)' z 12i(z 1)2z 242e22 (2 e e2 )i.ei9i996. （5×2）分別在圓環(huán)（1） 0| z |1，(2)0| z 1| 1 內(nèi) 將 函 數(shù)1展為羅朗級(jí)數(shù)。f ( z)z(1 z) 2解：（ 1）(11(1)'(zn )'z)21zn 0nz n(| z |1) ,n0f ( z)11nzn 1(| z | 1) .z(1z) 2n 1(2)1111(1) n (z1) n(| z1 |1) ,zzn0f (z)11( 1)

20、n ( z 1) nz(1z) 2( z1) 2n0( 1) n ( z 1)n 2(| z 1 | 1) .n 07. （ 12）求下列各函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案zsin z ; (2)11(1) f ( z)f (z);(3)f ( z)z ez 1 .z3z 2 sin z解：（ 1）z0 為 f (z) 的可去奇點(diǎn) ,Res f ( z), 00 ;（ 2）z0 為 f (z) 的三階極點(diǎn) ,zk( k1,2, ) 為 f (z) 的一階極點(diǎn) ,Res f ( z), 01lim (z31)' '1 ,2! z 0z 2 sin z61( 1)k;R

21、es f ( z),k2cos z z22z sin z zk(k)（3）z1 為 f ( z) 的本性奇點(diǎn) ,11zez 1( z11)n ,1)n 0 n! (zRes f (z), 1c 13 。28. （ 7）分式線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的映照特點(diǎn)各是什么。分式線性函數(shù)具有保角性、保圓性、保對(duì)稱性的映照特點(diǎn)，指數(shù)函數(shù)具有將帶形域映照為角形域的映照特點(diǎn)，冪函數(shù)具有將帶形域映照帶形域的映照特點(diǎn)。9. （ 6 分）求將上半平面Im( z)0保形映照成單位圓| w |1 的分式線性函數(shù)。解： wei zz0(Im( z0 )0)zz010. （ 5× 2）（ 1）己知 F f (t

22、)F () ，求函數(shù) f (2t5) 的傅里葉變換；（ 2）求函數(shù)F ()2的傅里葉逆變換。i )(5i(3)解（1）F f (atb)1bF( ),e ai| a |a精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案F f ( 2t5)1e2（2）F( )11i5 i35i2F();2f (t )-11-11FF3 i5ie 3 te 5 t ,t0,0 ,t0;eit |ei0t,011. （ 5× 2）（ 1）求函數(shù) f (t) e2t u(t 2) 的拉普拉斯變換；（2）求拉普拉斯逆變換-1s 。L24ss5解（1） F ( s) e4 Le 2 (t2)u(t2)e4 e 2s L e 2t u(t )e2 (2s);s2（2） L-12s=L-1 s 222 =e 2t L- s22 s4s5( s2)1s1=e2t-1s-11L 22L s2s11=e 2t （ cost2 sin t ）。12. （ 6 分）解微積分方程：y' (t )ty() d1,y(0)0 。0解：sY(s)1Y(s)1 , Y (s)1,y(t)sin t 。sss21精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案復(fù)變函數(shù)與積分變換試題及答案（四）一、填空題：（每題3分共 21分）11 ( 2 i 2)的三角表達(dá)式2cos(2k )i sin(2k )( k0, 1,2,) 。44i(2 k1)2 i2e( k 0,