數(shù)列通項(xiàng)(觀察歸納)

1、1 寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）3，5，7，9，； （2），；（3）-1，-，-，；（4），-1，-，-，；（5）3，33，333，3 333，.2. （廣東卷）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三角形不過(guò)同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則_；當(dāng)時(shí)，_3.（2008·福州檢測(cè)）圖（1），（2），（3），（4）分別包含1,5,13和25個(gè)互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第50個(gè)圖包含 個(gè)互不重疊的單位正方形.4（2006年廣東卷）在德國(guó)不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準(zhǔn)“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，

2、就一個(gè)乒乓球；第2、3、4、堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用n表示） .5.把49個(gè)數(shù)排成如圖所示的數(shù)表,若表中每行的7個(gè)數(shù)自左向右依次都成等差數(shù)列,每列的7個(gè)數(shù)自上而下依次也都成等差數(shù)列,且正中間的數(shù)a44=1,則表中所有數(shù)的和為 .aaaaaaaAa1.如圖,作邊長(zhǎng)為的正三角形的內(nèi)切圓,在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形,然后,再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去,則前個(gè)內(nèi)切圓的面積和為_(kāi)2.學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐,每星期一有A,B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明,凡是在

3、星期一選A種菜的,下星期一會(huì)有20% 改選B種菜;而選B種菜的,下星期一會(huì)有30% 改選A種菜.用分別表示在第個(gè)星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù),如果,求.3.觀察下列數(shù)表:12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15則2 008是此表中的第 行的第 個(gè)數(shù). 4.將數(shù)列3n-1按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），（3，9），（27，81，243），則第100組中的第一個(gè)數(shù)是 . 5.將數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： 記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足 （）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）上表中，若從第三行起，每一行中

4、的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)當(dāng)時(shí)，求上表中第行所有項(xiàng)的和解 （1）各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an=2n+1.（2）每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21，22，23，24，所以an=.（3）奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子（-1）n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1，2，3，4，；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2-1，偶數(shù)項(xiàng)為2+1，所以an=（-1）n·.也可寫(xiě)為an=.（4）偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式必含因子（-1）n+1，觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列，從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見(jiàn)，分母分別由奇數(shù)7，9，11，13

5、組成，而分子則是32+1，42+1，52+1，62+1，按照這樣的規(guī)律第1、2兩項(xiàng)可改寫(xiě)為，-，所以an=(-1)n+1·.（5）將數(shù)列各項(xiàng)改寫(xiě)為，分母都是3，而分子分別是10-1,102-1,103-1,104-1,所以an=(10n-1).4.（福建卷文16）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1.第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；若報(bào)出的是為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次，當(dāng)?shù)?0個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí)，五位同學(xué)拍手的總次數(shù)為 。解析 這樣得到的數(shù)列這是歷史上著名的數(shù)列，叫斐波那契數(shù)列.尋找規(guī)律是解決問(wèn)題的根本，

6、否則，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.首先求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡(jiǎn)單了.這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始遞增，且是前兩項(xiàng)之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分別除以3得余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可見(jiàn)余數(shù)的變化規(guī)律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環(huán)，周期是8.在這一個(gè)周期內(nèi)第四個(gè)數(shù)和第八個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，所以在三個(gè)周期內(nèi)共有6個(gè)報(bào)出的數(shù)是三的倍數(shù)，后面6個(gè)報(bào)出的數(shù)中余數(shù)是1、1、2、0、2、2，只有一個(gè)是3的倍數(shù)，故3的倍數(shù)總共有7個(gè)，也就是說(shuō)拍手的總次數(shù)為7次.設(shè)第個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為,因?yàn)閺牡?個(gè)正三角形開(kāi)始,每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正三角形邊長(zhǎng)的