彎矩剪力支反力計算例題Word版

1、第三章  靜定梁與靜定剛架目的要求：熟練掌握靜定梁和靜定剛架的內(nèi)力計算和內(nèi)力圖的繪制方法，熟練掌握繪制彎矩圖的疊加法及內(nèi)力圖的形狀特征，掌握繪制彎矩圖的技巧。掌握多跨靜定梁的幾何組成特點和受力特點。能恰當(dāng)選取隔離體和平衡方程計算靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。重    點：截面法、微分關(guān)系的應(yīng)用、簡支梁疊加法。難    點：簡支梁疊加法，繪制彎矩圖的技巧§3-1  單跨靜定梁    1反力    常見的單跨靜定梁有簡支梁、伸臂梁和懸臂梁三種，如圖3-1(a)、(

2、b)、(c)所示，其支座反力都只有三個，可取全梁為隔離體，由三個平衡條件求出。圖3-2內(nèi)力    截面法是將結(jié)構(gòu)沿所求內(nèi)力的截面截開，取截面任一側(cè)的部分為隔離體，由平衡條件計算截面內(nèi)力的一種基本方法。    （1）內(nèi)力正負(fù)號規(guī)定軸力以拉力為正；剪力以繞隔離體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正；彎矩以使梁的下側(cè)纖維受拉者為正，如圖3-2(b)所示。（2）梁的內(nèi)力與截面一側(cè)外力的關(guān)系              &

3、#160;   圖3-21)      軸力的數(shù)值等于截面一側(cè)的所有外力(包括荷載和反力)沿截面法線方向的投影代數(shù)和。        2)      剪力的數(shù)值等于截面一側(cè)所有外力沿截面方向的投影代數(shù)和。3)      彎矩的數(shù)值等于截面一側(cè)所有外力對截面形心的力矩代數(shù)和。3利用微分關(guān)系作內(nèi)力圖    表示結(jié)構(gòu)上各截面內(nèi)力數(shù)值的

4、圖形稱為內(nèi)力圖。內(nèi)力圖常用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示截面位置(此坐標(biāo)軸常稱為基線)，而用垂直于桿軸線的坐標(biāo)(亦稱豎標(biāo))表示內(nèi)力的數(shù)值而繪出的。彎矩圖要畫在桿件的受拉側(cè)，不標(biāo)注正負(fù)號；剪力圖和軸力圖將正值的豎標(biāo)繪在基線的上方，同時要標(biāo)注正負(fù)號。繪內(nèi)力圖的基本方法是先寫出內(nèi)力方程，即以變量x表示任意截面的位置并由截面法寫出所求內(nèi)力與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后由方程作圖。但通常采用的是利用微分關(guān)系來作內(nèi)力圖的方法。 （1）荷載與內(nèi)力之間的微分關(guān)系在荷載連續(xù)分布的直桿段內(nèi)，取微段dx為隔離體，如圖3-3所示。若荷載以向下為正，x軸以向右為正，則可由微段的平衡條件得出微分關(guān)系式  

5、;                        （3-1） （2）內(nèi)力圖形的形狀與荷載之間的關(guān)系由上述微分關(guān)系的幾何意義可得出以下對應(yīng)關(guān)系：                  &

6、#160;          圖3-31)        在均布荷載作用的梁段，q(x) = q(常數(shù))，F(xiàn)S圖為斜直線，M圖為二次拋物線，其凸向與q的指向相同。在FS = 0處，彎矩圖將產(chǎn)生極值。2)        無荷載的梁段，q(x) = 0，F(xiàn)S = 常數(shù)，F(xiàn)S圖為矩形，當(dāng)FS= 0時，F(xiàn)S圖與基線重合。     

7、60;            彎矩圖為斜直線。3)  在集中力F作用處，F(xiàn)S圖有突變，突變值等于F；彎矩圖在該處出現(xiàn)尖角，且尖角的方向與F的指向相同。在FS圖變號處，M圖中出現(xiàn)極值。4)  在集中力偶Me作用處，F(xiàn)S圖無變化；M圖有突變，突變值等于力偶Me的大小。    4. 用疊加法作彎矩圖當(dāng)梁同時受幾個荷載作用時，用疊加法作彎矩圖很方便。此時可不必求出支座反力。如要作圖3-4所示簡支梁的彎矩圖，可先繪出梁兩端力偶MA、MB

8、和集中力F分別作用時的彎矩圖，再將兩圖的豎標(biāo)疊加，即可求得所求的彎矩圖，如圖3-4所示。實際作圖時，先將兩端彎矩MA、MB繪出并聯(lián)以直線，如圖中虛線所示，再以此虛線為基線繪出簡支梁在荷載F作用下的彎矩圖。值得注意的是豎標(biāo)Fab/l仍應(yīng)沿豎向量取(而不是從垂直于虛線的方向量取)。最后所得的圖線與水平基線之間的圖形即為疊加后所得的彎矩圖。圖3-4       上述疊加法對直桿的任何區(qū)段都是適用的。只需將直桿段的兩端彎矩求出并連以直線（虛線），然后在此直線上再疊加相應(yīng)簡支梁在荷載下的彎矩圖，這種方法稱為區(qū)段疊加法或簡支梁疊加法，也簡稱疊加法。 

9、60;   5繪制內(nèi)力圖的一般步驟    (1)  求支座反力。    (2)  求控制截面的內(nèi)力（分段、定點）。所謂控制截面是指集中力和集中力偶作用的兩側(cè)截面、均布荷載的起點及終點等外力不連續(xù)點所在的截面。用截面法求出控制截面的內(nèi)力值后在內(nèi)力圖的基線上用豎標(biāo)標(biāo)出。                   

10、60;            (3)連線。利用微分關(guān)系，將各控制截面之間內(nèi)力圖的形狀繪出。                                 &#

11、160;          例3-1  試作圖3-5(a)所示梁的內(nèi)力圖。    解：1.求支座反力                      MB=0,  FA=16 kN()； MA=0,  FB=40 kN()校核： 

12、60;        Fy=16+40-8-8×4-16=02.繪FS圖    (1) 求控制截面的FS值。           FSAR = FSCL= 16kN；FSCR= FSD = 8 kN；FSGL= FSBR= 16 kN； FSBL= FSE = -24 kN    (2) 求出上述各控制截面的剪力后，按微分關(guān)系聯(lián)線即可繪出FS圖，如圖3-5(

13、b)所示。3.繪M圖    (1) 求控制截面的M值MA = 0；  MC = 16×1 = 16 kN·m；MD = 16×2-8×1=24 kN·m； MG = 0，MB = -16×1 = -16 kN·m    MFR = -16×2+40×1 = 8 kN·m    MFL = -16×2+40×1-40 = -32 kN·m  

14、0; ME = -16×3+40×2-40 = -8 kN·m                                        圖3-5(2) 根據(jù)微分關(guān)系，可繪出M

15、圖如圖3-4(c)    所示。在均布荷載作用區(qū)段DE，剪力圖有變號處，   在FS=0處對應(yīng)截面M值應(yīng)有極值，必須求出。欲求M的最大值，可由圖3-5(b)中求出截面所在位置x值，由得，x = 1 m。取AI段為隔離體，由MI=0，可得：MI= 16×3-8×2-8×1×1/2 = 28 kN·m。 §3-2  多跨靜定梁1. 多跨靜定梁的組成多跨靜定梁是由若干根梁用鉸相聯(lián)，并通過若干支座與基礎(chǔ)相聯(lián)而組成的靜定結(jié)構(gòu)。圖3-7(a)為用于公路橋的多跨靜定梁，其計算簡圖

16、如圖3-7(b)所示。從幾何組成看，多跨靜定梁各部分可分為基本部分和附屬部分。如上述多跨靜定梁中的AB和CD部分均直接用三根鏈桿與基礎(chǔ)相聯(lián)，它們不依賴于其他部分的存在而能獨立維持幾何不變性，稱為基本部分。而BC梁必須依賴AB、CD部分才能維持幾何不變。必須依賴其他部分才能維持幾何不變的部分，稱為附屬部分。為了清晰地表示各部分之間的支承關(guān)系，可將基本部分畫在下層，而將附屬部分畫在上層，這樣得到的圖形稱為層疊圖，如圖3-7(c)所示。圖3-72. 多跨靜定梁的傳力關(guān)系從受力分析看，當(dāng)荷載作用在基本部分上時，該部分能將荷載直接傳向地基，而當(dāng)荷載作用在附屬部分上時，則必須通過基本部分才能傳向地基。故當(dāng)

17、荷載作用在基本部分上時，只有該部分受力，附屬部分不受力。而當(dāng)荷載作用在附屬部分上時，除該部分受力外，基本部分也受力。3. 多跨靜定梁的計算步驟由上述傳力關(guān)系可知，計算多跨靜定梁的順序應(yīng)該是先附屬部分，后基本部分。即由最上層的附屬部分開始，利用平衡條件求出約束反力后，將其反向作用在基本部分上，如圖3-7(d)所示。這樣便把多跨靜定梁拆成了若干根單跨梁，按單跨梁作內(nèi)力圖的方法，即可得到多跨靜定梁的內(nèi)力圖，從而可避免解聯(lián)立方程。例3-2     作圖3-10(a)所示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。    解：(1)  畫層疊圖。A

18、BC與DEF部分為基本部分， CD部分為附屬部分。將附屬部分畫在上層，基本部分畫在下層，得到圖3-10(b)所示的層疊圖。    (2)  求反力。先求附屬部分BC的反力，將其反向作用在基本部分上，然后再求基本部分的反力，如圖3-10(c)所示。    (3)  作內(nèi)力圖。首先求出各單跨梁控制截面的M、FS值，然后按微分關(guān)系聯(lián)線，也可用疊加法作彎矩圖。其內(nèi)力圖如圖3-10(d)、(e)所示。          

19、60;                                圖3-10    例3-3  如圖3-11(a)所示為一兩跨靜定梁，承受均布荷載q，試確定鉸D的位置，使梁內(nèi)正、負(fù)彎矩峰值相等。    解：(1)&#

20、160; 畫層疊圖，如圖3-11(b)所示。    (2)  求各單跨梁的反力。  由本題題意可看出，只需求出FDy便可得出鉸D的位置。設(shè)鉸D距B支座的距離為x，由MA=0，可得出FDy = q(l-x)/2，如圖3-11(c)所示。    (3)  繪M圖。如圖3-11(d)所示，從圖中可以看出，全梁的最大正彎矩發(fā)生在AD梁跨中截面，其值為q(l-x)2/8；最大負(fù)彎矩發(fā)生在B支座處，其值為q(l-x)x/2+qx2/2。依題意，令正負(fù)彎矩峰值相等，即    &#

21、160;                可得                               x = 0.172鉸D的位置確定后，可作出彎

22、矩圖，如圖3-11(e)所示，正負(fù)彎矩的峰值為0.0857q2。圖3-11如果改用兩個跨度為的簡支梁，彎矩圖如圖3-11(f)所示。比較可知，多跨靜定梁的彎矩峰值比兩跨簡支梁的要小，是簡支梁的68.6%。一般而言，在荷載與跨度總長相同的情況下，多跨靜定梁與一系列簡支梁相比，材料用料較省，但由于有中間鉸，使得構(gòu)造上要復(fù)雜一些。例3-4 試作圖3-12所示多跨靜定梁的內(nèi)力圖，并求出各支座的反力。解：按一般步驟是先求出各支座反力及鉸結(jié)處的約束力，然后作梁的剪力圖和彎矩圖。但是，如果能熟練地應(yīng)用彎矩圖的形狀特征以及疊加法，則在某些情況下也可以不計算反力而首先繪出彎矩圖。有了彎矩圖，剪力圖即可根據(jù)微分關(guān)

23、系或平衡條件求得。對于彎矩圖為直線的區(qū)段，可利用彎矩圖的斜率來求剪力，如CE段梁的剪力值為至于剪力的正負(fù)號，看按以下方法確定：若彎矩圖是從基線順時針方向轉(zhuǎn)的（以小于90°的轉(zhuǎn)角），則剪力為正，反之為負(fù)。據(jù)此可知，應(yīng)為正。對于彎矩圖為曲線的區(qū)段，可利用桿段的平衡條件來求得其兩端剪力。例如BC段梁，取BC梁為隔離體，由和可分別求得，剪力圖作出后，可由結(jié)點平衡來求支座反力。取結(jié)點為隔離體，由可得圖3-12§3-3  靜定平面剛架    1. 剛架的組成及其特征剛架是由直桿組成的具有剛結(jié)點的結(jié)構(gòu)。靜定平面剛架常見的形式有懸臂剛架（如圖3-13

24、所示站臺雨棚）、簡支剛架（如圖3-14所示渡槽）及三鉸剛架（如圖3-15所示屋架）等。    當(dāng)剛架受力變形時，匯交于該結(jié)點的各桿端的夾角保持不變。這種結(jié)點稱為剛結(jié)點，具有剛結(jié)點是剛架的特點。從變形角度看，在剛結(jié)點處各桿不能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。從受力角度看，剛結(jié)點可以承受和傳遞彎矩，因而在剛架中彎矩是其主要的內(nèi)力。                 圖3-13     

25、60;                          圖3-14                  圖3-15    2. 剛架的內(nèi)力計算  在靜

26、定剛架的受力分析中，通常是先求支座反力，再求控制截面的內(nèi)力，最后利用微分關(guān)系或疊加法再作內(nèi)力圖。  (1) 支座反力的計算  當(dāng)剛架與地基之間是按兩剛片規(guī)則組成時，支座反力有三個，可取整個剛架為隔離體，由平衡條件求出反力；當(dāng)剛架與地基之間是按三剛片規(guī)則組成時，支座反力有四個，除三個整體平衡方程外，還可利用中間鉸處彎矩為零的條件建立一個補充方程，從而可求出四個支座反力；而當(dāng)剛架是由基本部分和附屬部分組成時，應(yīng)先計算附屬部分的反力，再計算基本部分的反力。(2) 剛架中各桿的桿端內(nèi)力剛架中控制截面大多即是各桿的桿端截面，故作內(nèi)力圖時，首先要用截面法求出各桿端內(nèi)力。在剛架中，剪力和

27、軸力的正負(fù)號規(guī)定與梁相同，剪力圖和軸力圖可繪在桿件的任一側(cè)，但必須注明正負(fù)號；彎矩則不規(guī)定正負(fù)號，但彎矩圖應(yīng)繪在桿件的受拉側(cè)而不注正負(fù)號。為了明確地表示剛架上不同截面的內(nèi)力，尤其是區(qū)分匯交于同一結(jié)點的各桿端截面的內(nèi)力而不致于混淆，在內(nèi)力符號后引用兩個下標(biāo)：第一個下標(biāo)表示內(nèi)力所在的截面，第二個下標(biāo)表示該截面所屬桿件的另一端。例如MAB表示AB桿A端截面的桿端彎矩，F(xiàn)SCA表示AC桿C端截面的剪力。例3-5     試作圖3-16(a)所示剛架的內(nèi)力圖。    解：1.求支座反力。    

28、             Fx = 0,  5 + FBx = 0，   FBx = -5 kN()負(fù)號表示與FBx的假設(shè)方向相反，即向左。              MB = 0,   4×FAy+5×2-16×4×2+8×1 = 0， FAy =

29、 27.5 kN()  同理，    由MA = 0，得：FBy = 44.5 kN()校核：Fy = 27.5+44.5-16×4-8 = 0故知反力計算無誤。                                &#

30、160;  圖3-16    2.繪內(nèi)力圖。    (1)  作M圖。求各桿端彎矩(控制截面的彎矩)            MAE = MEA = MEC = 0，     MCE = 5×2 = 10 kN·m(左側(cè)受拉)          

31、60;   MCD = 5×2 = 10 kN·m(上側(cè)受拉)， MDC = 8×1-(-5)×4 = 28 kN·m(上側(cè)受拉)              MDB = 5×4 = 20 kN·m(右側(cè)受拉)， MDF = 8×1 = 8 kN·m(上側(cè)受拉)，MBD = MFD = 0求得上述各控制截面的彎矩后，對無荷桿段，直接聯(lián)線即可得彎矩圖，對受均布荷

32、載的區(qū)段，將桿端彎矩聯(lián)以虛直線后，再疊加上相應(yīng)簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖。如CD桿中點的彎矩為：16×42/8-(10+28)/2=13 kN·m(下側(cè)受拉)。整個剛架的彎矩圖如圖3-16(b)所示。(2)       作FS圖及FN圖。    作剪力圖時同樣應(yīng)逐桿考慮。根據(jù)荷載和已求出的反力，用截面法求得各控制截面(桿端)的剪力如下：           FSAE =FSEA =

33、0； FSEC = -5 kN；  FSCD = 27.5 kN             FSDC = 8-44.5=-36.5 kN；FSDF = FSFD = 8 kN； FSBD = FSDB = 5 kN據(jù)此，可繪出剪力圖，如圖3-16(d)所示。  用同樣的方法可繪出軸力圖，如圖3-16(c)所示。  在CD桿剪力為零處，彎矩圖有極值，一般應(yīng)求出。由圖3-16(d)可知     

34、0;              解得：                   x = 1.72m故有：    MG = 27.5×1.72-5×2-16×1.722/2 = 13.6 kN·m  

35、60; (3)  校核。內(nèi)力圖作出后，應(yīng)進行校核，可取剛架的任一部分為隔離體，看其是否滿足平衡條件。一般取剛結(jié)點為隔離體進行分析，如取結(jié)點D為隔離體，有 Fx = 5-5 = 0； Fy = 44.5-36.5-8 = 0；MD = 8+20-28 = 0 可見，結(jié)點D的三個平衡條件均能滿足。對其他剛結(jié)點，也可按同樣的方法進行校核，讀者可自行校核結(jié)點C的平衡條件是否滿足。例3-6     試作圖3-17(a)所示三鉸剛架的內(nèi)力圖。    解：(1)  求支座反力。   

36、60;   本題計算特點：（1）反力計算；（2）斜桿內(nèi)力計算及內(nèi)力圖    取整體為隔離體，由MB=0，得： FAy = 6×6×9/12 = 27 kN()由MA=0，得：             FBy = 6×6×3/12 = 9 kN()由Fx=0，得：          

37、0;   FAx=FBx再取剛架右半部分為隔離體，由MC=0，得                  FBx = 9×6/9 = 6 kN()故知：                 FAx = 6 kN()校核：Fy = 27+9-6

38、5;6 = 0。可知反力計算無誤。(2)     作彎矩圖。    首先求出各桿端彎矩，畫在受拉側(cè)并聯(lián)以直線，再疊加同跨度簡支梁在荷載作用下的彎矩圖?，F(xiàn)以斜桿DC為例說明彎矩圖的作法。             MDC = 6×6 = 36 kN·m (外側(cè)受拉)          

39、0;  MCD = 0DC桿中點彎矩為： 36/2-×6×62/8 = -9 kN·m(內(nèi)側(cè)受拉)。內(nèi)側(cè)最大彎矩所在截面由剪力圖確定，其值為11.9 kN·m。 M圖如圖3-17(b)所示。  (3)  作剪力圖。    取豎桿AD和BE為隔離體，由平衡條件可得                    

40、;  FSDA = FSAD = -6 kN；     FSEB = FSBE = 6 kN    但對于斜桿CD和CE，可分別取這兩桿為隔離體，如圖 3-17(c)、(d)所示。對桿件兩端截面中心取矩即可求出桿件兩端剪力。圖3-17                 FSDC = （36+6×6×3）/6.71 = 21.5 kN

41、0;                    FSCD = （36-6×6×3）/6.71 = -10.7 kN                     FSCE = FSEC = -36/6.71 = -5.37 kNFS圖如圖3-17(e)所示。  (4)  作軸力圖。  仍取AD和BE兩桿為隔離體，利用平衡條件即可求出桿端軸力為