中考數(shù)學(xué)壓軸題集訓(xùn)

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題集訓(xùn) （八個(gè)類型 ）一面積與動(dòng)點(diǎn)1（重慶市綦江縣）如圖，已知拋物線ya(x1)2(a0)經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OMAD過頂點(diǎn)D平行于軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在軸正半軸上，連結(jié)BC（1）求該拋物線的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）問：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長度單位和2個(gè)長度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）

2、，連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小？并求出最小值及此時(shí)PQ的長解：（1）把A(2，0)代入ya(x1)2，得0a(21)2a································· 1分該拋物線的解析式為y(x1)2即yx 2x·&#

3、183;····················· 3分（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xD，yD)，由于D為拋物線的頂點(diǎn)xD1，yD×1 2×1點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)如圖，過點(diǎn)D作DNx軸于N，則DN，AN3，AD6DAO60°············

4、;··················· 4分OMAD當(dāng)ADOP時(shí)，四邊形DAOP為平行四邊形OP6t6（s）························ 5分當(dāng)DP

5、OM時(shí)，四邊形DAOP為直角梯形過點(diǎn)O作OEAD軸于E在RtAOE中，AO2，EAO60°，AE1（注：也可通過RtAOERtAND求出AE1）四邊形DEOP為矩形，OPDE615t5（s）································ 6分當(dāng)PDOA

6、時(shí)，四邊形DAOP為等腰梯形，此時(shí)OPAD2AE624t4（s）綜上所述，當(dāng)t6s、5s、4s時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形·····································

7、3; 7分（3）DAO60°，OMAD，COB60°又OCOB，COB是等邊三角形，OBOCAD6BQ2t，OQ62t（0t3）過點(diǎn)P作PFx軸于F，則PFt······························· 8分S四邊形BCPQ SCOB SPOQ

8、5;6××(62t)×t(t)2··························· 9分當(dāng)t（s）時(shí)，S四邊形BCPQ的最小值為··············

9、·· 10分此時(shí)OQ62t62×3，OP，OF，QF3，PFPQ················· 12分二幾何圖形與變換2（遼寧省鐵嶺市）如圖所示，已知在直角梯形OABC中，ABOC，BCx軸于點(diǎn)C，A（1，1）、B（3，1）動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA，垂足為Q設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t4），OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S（

10、1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）將OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由 【解析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx（a0），將AB點(diǎn)坐標(biāo)代入得出：，解得：，故經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式為：y=-x2+x（2）當(dāng)0t2時(shí)，重疊部分為OPQ，過點(diǎn)A作ADx軸于點(diǎn)D，如圖1在RtAOD中，AD=OD=1，AOD=45°在RtOPQ中，OP=t，OPQ=QOP=45°OQ=PQ=tS=SOPQ=OQPQ=×t×t=t

11、2（0t2）；當(dāng)2t3時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)E，重疊部分為梯形AOPE，作EFx軸于點(diǎn)F，如圖2OPQ=QOP=45°四邊形AOPE是等腰梯形AE=DF=t-2S=S梯形AOPE=（AE+OP）AD=（t-2+t）×1=t-1（2t3）；當(dāng)3t4時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，重疊部分為五邊形AOCFE，如圖3B（3，1），OP=t，PC=CF=t-3PFC和BEF都是等腰直角三角形BE=BF=1-（t-3）=4-tS=S五邊形AOCFE=S梯形OABC-SBEF=（2+3）×1-（4-t）2=-t2+4t-（3t4）；（4）存在，t1=1，t2=2將OPQ繞

12、著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)Q（t+，），O（t，t）當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線上時(shí)，=-×（t+）2+×（t+），解得t=2；當(dāng)點(diǎn)O在拋物線上時(shí)，t=-t2+t，解得：t=1 三相似3（四川省遂寧市）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使PAPD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QAB與ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）2+k頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，且過點(diǎn)（0

13、，）y=a（x-4）2+k，=16a+k又對稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長為6A（1，0），B（7，0）0=9a+k由解得a=，k=-二次函數(shù)的解析式為：y=（x-4）2-（2）點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對稱PA=PBPA+PD=PB+PDDB當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值DB與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，）（3）由（1）知點(diǎn)C（4，），又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60°，AC=BC，ACB=120°當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過Q作QNx軸于N如

14、果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120°，則QBN=60°QN=3，BN=3，ON=10，此時(shí)點(diǎn)Q（10，），如果AB=AQ，由對稱性知Q（-2，）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，QAB就是ACB，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，），經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)（10，）與（-2，）都在拋物線上綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q，使QABABC點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（10，）或（-2，）或（4，） 四.等腰，直角三角形4（廣東省湛江市）已知矩形紙片OABC的長為4，寬為3，以長OA所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)OA不重合），現(xiàn)將POC沿PC翻折得到PEC，再在AB邊上選取

15、適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，將PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直線PE、PF重合（1）若點(diǎn)E落在BC邊上，如圖，求點(diǎn)P、C、D的坐標(biāo)，并求過此三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)E落在矩形紙片OABC的內(nèi)部，如圖，設(shè)OPx，ADy，當(dāng)x為何值時(shí)，y取得最大值？（3）在（1）的情況下，過點(diǎn)P、C、D三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使PDQ是以PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 解：（1）由題意知，POC，PAD均為等腰直角三角形，可得P（3，0），C（0，3），D（4，1），設(shè)過此三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c（a0），則，過P、C、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2-x+

16、3（2）由已知PC平分OPE，PD平分APF，且PE、PF重合，則CPD=90°，OPC+APD=90°，又APD+ADP=90°，OPC=ADPRtPOCRtDAP即y=x（4-x）=-x2+x=-（x-2）2+（0x4）當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值（3）假設(shè)存在，分兩種情況討論：當(dāng)DPQ=90°時(shí)，由題意可知DPC=90°，且點(diǎn)C在拋物線上，故點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合，所求的點(diǎn)Q為（0，3）當(dāng)QDP=90°時(shí)，過點(diǎn)D作平行于PC的直線DQ，假設(shè)直線DQ交拋物線于另-點(diǎn)Q，點(diǎn)P（3，0），C（0，3），直線PC的方程為y=-x+3，將直線PC向上平

17、移2個(gè)單位與直線DQ重合，直線DQ的方程為y=-x+5由，得或又點(diǎn)D（4，1），Q（-1，6），故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q（0，3），（-1，6）滿足條件 5（廣東省深圳市）已知：RtABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OAOB），直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上（如圖1）（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式（2）如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m0，n0），連接DP交BC于點(diǎn)E當(dāng)BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)又連接CD、CP（如圖3），CDP是否有最大面積

18、？若有，求出CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由 【解析】（1）設(shè)OA的長為x，則OB=5-x；OC=2，AB=5，BOC=AOC=90°，OAC=OCB；AOCCOB，OC2=OAOB22=x（5-x） （1分）解得：x1=1，x2=4，OAOB，OA=1，OB=4； （2分）點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；（注：直接用射影定理的，不扣分）方法一：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=ax2+bx+2，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得（3分）解得：a=，b=，c=2所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：（4分）方法二：設(shè)過點(diǎn)A、B、C的拋

19、物線的關(guān)系式為：y=a（x+1）（x-4）（3分）將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：（4分）（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分） （2）當(dāng)BDE是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別是：，1+1+（1分）（注：符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè)，其坐標(biāo)，寫對一個(gè)給1分）如圖1，連接OP，SCDP=S四邊形CODP-SCOD=SCOP+SODP-SCOD （8分）=m+n-2=（9分）當(dāng)m=時(shí)，CDP的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），SCDP的最大值是 （10分）另【解析】如圖2、圖3，過點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F，則SCDP=S梯形COFP-SCOD-SDFP （8分）=m+n-2=（

20、9分）當(dāng)m=時(shí)，CDP的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），SCDP的最大值是 （注：只回答有最大面積，而沒有說明理由的，不給分；點(diǎn)P的坐標(biāo)，或最大面積計(jì)算錯(cuò)誤的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情給分） 五、特殊四邊形。6（內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，RtABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，），B（，），C（1，0），ABC90°，BC與y軸的交點(diǎn)為D，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)、y軸為對稱軸的拋物線過點(diǎn)B（1）求該拋物線的解析式；（2）將ABC沿AC折疊后得到點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B，求證：四邊形AOCB是矩形，并判斷點(diǎn)B是否在（1）的拋物線上；（3）延長BA交拋物線于點(diǎn)E，在線段BE上取一點(diǎn)P，過P

21、點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PADF是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由 【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+，（1分）B（，）在拋物線上，把B（，）代入y=ax2+得a=（3分）拋物線解析式為y=x2+（5分）（2）點(diǎn)B（，），A（0，），CB=，CB'=CB=OA（6分）又CA=2AB=1AB'=AB=OC（7分）四邊形AOCB'是矩形（8分）CB'=，OC=1，B'點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）（9分）當(dāng)x=1時(shí)，代入y=x2+得y=，B'（1，）在拋物線上（10分）（3）存在（11分）理由是

22、：設(shè)BA的解析式為y=kx+b，P，F(xiàn)分別在直線BA和拋物線上，且PFAD，設(shè)P（m，m+），F(xiàn)（m，m2+）PF=（m+）-（m2+），AD=-=如果PF=AD，則有=（m+）-（m2+）=解得m1=0（不符合題意舍去），m2=當(dāng)m=時(shí)，PF=AD，存在四邊形ADFP是平行四邊形（13分）當(dāng)m=時(shí)，m+=，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）（14分） 六，線段和與差7（貴州省銅仁地區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，邊AB在x軸上，且AB6，D（0，9），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E（0，12）（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)C沿直線l向上

23、移動(dòng)，當(dāng)拋物線經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，求拋物線的解析式和A、C兩點(diǎn)間的拋物線弧掃過的面積；（3）P是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，B，D兩點(diǎn)到直線CP的距離之和是否存在最大值？若存在，請求出其最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 8（四川省眉山市）如圖，已知直線yx1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線yx 2bxc與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)（1）求該拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使|AMMC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)解：（1）直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，A（0，1），y=

24、x2+bx+c過（1，0）和（0，1），則，解得拋物線的解析式為y=x2x+1；（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為m2m+1即E點(diǎn)的坐標(biāo)（m，m2m+1），又點(diǎn)E在直線y=x+1上，m2m+1=m+1解得m1=0（舍去），m2=4，E的坐標(biāo)為（4，3）（）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP1DE交x軸于P1點(diǎn)，設(shè)P1（a，0）易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），由RtAODRtP1OA得=，即 =，a=，P1（，0）（）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EP2DE交x軸于P2點(diǎn)，由RtAODRtP2ED得，=，即 =，EP2=，DP2=，a=2=，P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）（）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EFx軸于F，設(shè)P3（b、0），由OPA+FPE=90°，得OPA=FEP，RtAOPRtPFE，由 =得 =，解得b1=3，b2