高等數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

1、淺談高等數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)04090135 李彪 指導(dǎo)老師 毛旭華摘要 在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，能使抽象的問(wèn)題直觀、簡(jiǎn)單、明了，使學(xué)習(xí)輕松有趣。文章從概念、定理的理解以及解題等方面歸納總結(jié)了數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合；圖形思維；幾何直觀；形象思維1. 引 言數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。根據(jù)數(shù)學(xué)的這一定義，我們可以說(shuō)數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”的科學(xué)，“數(shù)”就是抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而“形”就是直觀的圖像語(yǔ)言?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，是數(shù)學(xué)自始至終就一直存在的一對(duì)矛盾，它們各有自己的側(cè)重面，數(shù)形結(jié)合思想的就是充分利用數(shù)與形的結(jié)合來(lái)學(xué)

2、習(xí)，考查及研究數(shù)學(xué)一種思想，由此我們可以看出數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一。數(shù)就是抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有著邏輯，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膫€(gè)性，一般較為抽象，難懂。而形就是圖像語(yǔ)言，直觀，形象，一般是較為簡(jiǎn)單易懂。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué),形少數(shù)時(shí)難入微”。從這句話(huà)中，我們可以體味到數(shù)形這一對(duì)矛盾的對(duì)立雙方是缺一不可的。高等數(shù)學(xué)是一門(mén)高度抽象的學(xué)科，在知識(shí)的廣度和深度上，在思維能力上，都有極高的要求。數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過(guò)程中解決這些問(wèn)題上有著重要的作用，首先數(shù)形結(jié)合思想能培養(yǎng)各方面的思維能力，包括形象思維和邏輯思維。深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，提高解題速度和效率，數(shù)與形的結(jié)合增加數(shù)學(xué)的實(shí)用意義，數(shù)與

3、形的巧妙而和諧地結(jié)合，增強(qiáng)解題中的求簡(jiǎn)意識(shí)，而且在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)大量的抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)語(yǔ)言之余，圖形的簡(jiǎn)單而新奇的方法給學(xué)習(xí)帶來(lái)了不少樂(lè)趣，可增強(qiáng)我們學(xué)習(xí)的自信心，促使我們更加努力學(xué)習(xí)。本文就數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)中就對(duì)概念的理解，對(duì)定理的掌握及證明，以及對(duì)解題的作用作一次探討，談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)中的一些數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。2. 利用數(shù)形結(jié)合深化對(duì)概念的理解利用數(shù)形結(jié)合便于對(duì)概念的理解。與空間形式巧妙而和諧地結(jié)合起來(lái)，可增強(qiáng)解題中的求簡(jiǎn)意識(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，既分析數(shù)式特征，又揭示幾何意義，使數(shù)量關(guān)圖學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)。任何知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展都來(lái)源于對(duì)實(shí)踐的感性認(rèn)識(shí)，在對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)

4、識(shí)過(guò)程中，更是如此。通過(guò)數(shù)形結(jié)合提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知能力。數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)體系都與形象直觀的幾何圖形有關(guān)。故利用數(shù)形結(jié)合直覺(jué)體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)展經(jīng)歷，能加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)、理解，深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵和外延，并提高解決問(wèn)題的能力和自主學(xué)習(xí)能力。2.1 數(shù)形結(jié)合對(duì)概率論中概念的理解作用維恩圖能夠清晰、準(zhǔn)確生動(dòng)地說(shuō)明AB，AB， 等問(wèn)題。在概率論中事件也可以用集合來(lái)表示，如果我們結(jié)合維恩圖來(lái)理解事件之間的關(guān)系，利用維恩圖來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率，比用公式進(jìn)行推導(dǎo)、計(jì)算要簡(jiǎn)單、直觀的多，且不容易出錯(cuò)。來(lái)看一個(gè)維恩圖表示的條件概率的例子。定義：設(shè)A與B是樣本空間中的兩事件，若P(B)>0,則稱(chēng)P(A|B)=

5、為“在B發(fā)生下A的條件概率”，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率。為此我們畫(huà)出一個(gè)圖，設(shè)樣本空間中含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，事件A含有15個(gè)樣本點(diǎn)，事件B含有7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件AB含有5個(gè)樣本點(diǎn)，如圖1所示：圖1這時(shí)有P(A)，P(B)，P(AB).則在事件B發(fā)生的條件下A的條件概率為P(A|B)=.此結(jié)果也可以如此考慮：事件B發(fā)生，表明事件不可能發(fā)生，因此中的18個(gè)樣本點(diǎn)可以不予考慮，此時(shí)B中7個(gè)樣本點(diǎn)中屬于A的只有5個(gè)，所以P(A|B) .這意味著，在計(jì)算條件概率P(A|B)時(shí)樣本空間縮小為B.類(lèi)似地P(B|A).它也可以作如上解釋。上面的公式比較復(fù)雜，如果要證明，也比較麻煩，如果死記也比較難以記住，但是如果能

6、夠結(jié)合圖來(lái)理解記憶它，就一目了然，容易記得清楚、記得牢。2.2 數(shù)形結(jié)合在微積分中對(duì)概念的理解作用間斷點(diǎn)定義：設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若在點(diǎn)無(wú)定義，或在點(diǎn)有定義而不連續(xù)，則稱(chēng)為函數(shù)f的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分類(lèi)（我們借助函數(shù)圖形來(lái)看，如圖2）：圖21. 可去間斷點(diǎn)：若kA，而在點(diǎn)無(wú)定義，或有定義但A，則稱(chēng)為的可去間斷點(diǎn)。（如圖2中的點(diǎn)a）2. 跳躍間斷點(diǎn)：若函數(shù)在有左、極限都存在，但，則稱(chēng)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)。（如圖2中的點(diǎn)b）3. 第二類(lèi)間斷點(diǎn)：可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。第一類(lèi)間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限都存在。函數(shù)的所有的其他形式的間斷點(diǎn)，即使得函數(shù)到少有一側(cè)極限不存在

7、的那些點(diǎn)，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。（如圖2中的點(diǎn)c）這里使用直觀形象的函數(shù)圖像來(lái)幫助對(duì)概念的理解認(rèn)識(shí)，使人能一下明白概念中所蘊(yùn)含的真正意義，并能容易區(qū)分出相似概念之間的細(xì)微差別，深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵和外延，加深對(duì)概念的印象，從而大大改進(jìn)我們的學(xué)習(xí)效率及能力。這種利用圖形思維的方式，較好地體現(xiàn)出“化繁為簡(jiǎn)，化難為易”的數(shù)學(xué)思想，能弄清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，又讓人輕松的能接受，使學(xué)習(xí)過(guò)程變得輕松有趣。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法幫助對(duì)概念的理解認(rèn)識(shí)的例子在高等數(shù)學(xué)中還有很多，如用距離的變化來(lái)描述增量間的變化并以此刻畫(huà)極限概念；用切線(xiàn)的斜率來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)概念；用直角三角形與曲邊三角形邊的關(guān)系來(lái)刻畫(huà)微分是導(dǎo)數(shù)的近似，等等。利用數(shù)

8、形結(jié)合思想方法來(lái)闡述，其難度就降低許多。3. 利用數(shù)形結(jié)合思想加強(qiáng)對(duì)定理的理解與證明應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法能幫助對(duì)概念的理解認(rèn)識(shí)，同樣應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法幫助對(duì)定理的理解認(rèn)識(shí)，幫助定理的證明，也有極其重要的作用。3.1 概率論中的數(shù)形結(jié)合的例子：對(duì)偶率(德莫根公式)：事件并的對(duì)立等于對(duì)立的交： ,(1) 事件交的對(duì)立等于對(duì)立的并：.(2)我們先用集合論的語(yǔ)言先證明(1)式：設(shè)，即，表明不屬于A，也不屬于B，這意味著A和B同時(shí)成立，所以與同時(shí)成立，于是，這說(shuō)明 .反之，設(shè)，即同時(shí)有與，從而同時(shí)有A和B，這意味著既不屬于A，也不屬于B，即，也就是，這說(shuō)明 .綜上，可得 .同理可得(2)也成立。我們?cè)賮?lái)看

9、一下用數(shù)形結(jié)合(使用Venn圖)的方法來(lái)證明這個(gè)定理：如圖3所示，正方形表示樣本空間，兩個(gè)圓分別表示事件A和事件B，樣本空間被事件A和事件B兩個(gè)集劃分為1，2，3，4四塊，則、 、等都能用1，2，3，4四塊中的一塊或幾塊表示出，且四塊中的任一塊要么屬于，要么就不屬于這個(gè)集，且沒(méi)有第三種情況。圖3通過(guò)以上的討論，我們能很快證明這兩個(gè)公式，顯然表示是1塊，表示的是1，4兩塊，表示1，2兩塊，則也是表第1塊，這樣很快就證明了(1)式，同樣表示的是1，2，4三塊，顯然就是 (按前述與)，(2)式也同樣很快就得到了證明。3.2 微積分中的數(shù)形結(jié)合思想先來(lái)看一個(gè)積分第一中值定理用到的數(shù)形理解的簡(jiǎn)化作用的例

10、子：若在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)a,b，使得(ba). 圖4積分第一中值定理的幾何意義（見(jiàn)圖4）是，若在a,b上非負(fù)連續(xù)，則在a,b上的曲邊梯形的面積等于以為高，a，b為底的矩形面積。而則可理解為在a,b上所有函數(shù)值的平均值。這是通常有限個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值的推廣。通過(guò)積分第一中值定理的幾何意義，我們很容易就能把握定理所表達(dá)的內(nèi)涵的來(lái)龍去脈，從而使學(xué)習(xí)變得輕松愉快。再來(lái)看一個(gè)例子：（取極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可微，且0（或在處連續(xù)，但不存在.）(1) 若當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，由“+”變成“”，則為極大值；(2) 若當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，由“”變成“+”，則為極小值；(3) 若當(dāng)經(jīng)過(guò)的兩側(cè)不變號(hào)，則不

11、是極值點(diǎn)；如圖5所示，當(dāng)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，的所表示的曲線(xiàn)的斜率由由“+”變成“”，即由“+”變成“”，從圖中很容易看出A點(diǎn)為在A的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)函數(shù)值的最大值，即函數(shù)在A點(diǎn)取得極大值，同理在B點(diǎn)取得極小值，從圖中可以看出函數(shù)在除A、B兩點(diǎn)之外的點(diǎn)沒(méi)有第三點(diǎn)為極值點(diǎn)，同樣用定理的(3) 當(dāng)經(jīng)過(guò)除A、B以外的點(diǎn)兩側(cè)不變號(hào)，則都不是極值點(diǎn)；用圖像來(lái)理解定理簡(jiǎn)單形象直觀，小學(xué)生也能看懂其中所表達(dá)的意思。圖53.3 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想證明組合數(shù)學(xué)中的定理p×q棋盤(pán)：由p×q個(gè)單位正方形平成的長(zhǎng)為p，寬為q的長(zhǎng)方形叫做一個(gè)p×q棋盤(pán)。定理1：沿p×q棋盤(pán)上的線(xiàn)段，由頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)

12、B的最短路的條數(shù)為.整點(diǎn)：在xoy坐標(biāo)平面上，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)。T步：由任一整點(diǎn)(x,y)到整點(diǎn) (x+1, y+1)或(+1, y1)的有向線(xiàn)段叫一個(gè)T步。T路：由若干個(gè)T步組成的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的有向折線(xiàn)叫整點(diǎn)A到整點(diǎn)B的一條T路。T條件：如果存在由整點(diǎn)A(,)到整點(diǎn)B(,)的T路，則 >；|；+與+奇偶性相同。合稱(chēng)T條件。定理2：設(shè)整點(diǎn)A(a, )與整點(diǎn)B(b,)滿(mǎn)足T條件，則由A到B的T路的條數(shù)為.證明：如圖6，過(guò)A和B都作斜率為1和-1的兩條直線(xiàn)得矩形ACBD，直線(xiàn)AD的方程為Y=,直線(xiàn)BD的方程為Y=(),于是容易求得D的橫坐標(biāo)為X+.圖6所以線(xiàn)段AD上的整點(diǎn)數(shù)為

13、+1+1，線(xiàn)段BD上的整點(diǎn)數(shù)為(+)+1=+1.過(guò)線(xiàn)段AD上的每個(gè)整點(diǎn)作斜率為-1的直線(xiàn)，過(guò)線(xiàn)段BD上的每個(gè)整點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)，這些直線(xiàn)把矩形ACBD變成一個(gè)(+)×()的棋盤(pán)。圖7因?yàn)橛葾到B的最短路可看成是由p條單位橫線(xiàn)段與q條單位縱線(xiàn)段作成的全排列(如圖7)，所以由A到B的最短路的條數(shù)等于由p個(gè)a和q個(gè)作成的全排列數(shù)，為，于是定理1得證。顯見(jiàn)由A到B的任一條T路就是該棋盤(pán)上由A到B的一條最短路，反之亦然。所以，由A到B的T路的條數(shù)為所以，數(shù)形結(jié)合思想在高等中對(duì)定理的證明是有很大的作用的。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)幫助理解，記憶及證明高等數(shù)學(xué)中的定理的方法也是多種多種，靈活多變。從極限

14、，單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)，微分到各種積分，級(jí)數(shù)，幾乎到處可以用到數(shù)形結(jié)合思想來(lái)理解證明，在高等數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)中，我們一定要好好把握數(shù)形之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想這一解決問(wèn)題的方便之門(mén)開(kāi)導(dǎo)啟發(fā)自己思維，切實(shí)理解各類(lèi)定理的意義及作用。4. 利用數(shù)形結(jié)合思想幫助解題數(shù)形結(jié)合思想可增強(qiáng)解題中的求簡(jiǎn)意識(shí)。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，僅局限于數(shù)的方面考慮，雖然能解決問(wèn)題，但過(guò)程繁瑣，甚至較為困難，若根據(jù)問(wèn)題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，既分析數(shù)式特征，又揭示幾何意義，使用數(shù)量與圖形結(jié)合的方法來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)，對(duì)解題的效率及速度的提高的幫助作用是顯而易見(jiàn)的，所以我們同樣應(yīng)加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題能力的培養(yǎng)，全面提高我們的各方面的能力。4.1 用數(shù)

15、形結(jié)合求定義域例：求二元函數(shù)zarcsin(2)+定義域解arcsin(2) 的定義域：21，的定義域：40，的定義域：1且>0.故所求的定義域?yàn)?如圖8)：圖8從這一個(gè)簡(jiǎn)單的求函數(shù)定義域的例子，我們可以看出，在高等數(shù)學(xué)中有許多的問(wèn)題是要用到數(shù)形結(jié)合來(lái)解決的，下面的幾個(gè)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的難度就稍進(jìn)一層。4.2 數(shù)形結(jié)合思想在解概率問(wèn)題中的應(yīng)用概率論是日常生活中應(yīng)用得比較多的門(mén)學(xué)科，在概率論解題中同樣離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合思想，下面的例題就是一個(gè)在概率論中常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題。蒲豐投針問(wèn)題：平面上畫(huà)有間隔為 (>0)等距平行線(xiàn)，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為 (<)的針，求針與任一平行線(xiàn)相交的概

16、率。解 以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線(xiàn)的距離，又以表示針與此直線(xiàn)間的交角，見(jiàn)圖9。從圖中易知樣本空間滿(mǎn)足0/2，0，由這兩式可以確定平面上的一個(gè)矩形，這就是樣本空間，其面積為.這時(shí)為了針與平行線(xiàn)相交(記為事件A)，其充要條件是sin.由這個(gè)不等式表示的區(qū)域是圖10中的陰影部分。 圖9 圖10由于針是向平面任意投擲的，所以由等可能性知這是一個(gè)幾何概率問(wèn)題。由此得P (A).如果，為已知，則的值代入上式即可計(jì)算得P(A)之值。反之，如果已知P(A)的值，則也可以利用上式去求，而關(guān)于P(A)的值，可用從試驗(yàn)中獲得的頻率去近似它：即投針N次，其中針與平行線(xiàn)相交次，則頻率/可為P(A)的估計(jì)值，于是由

17、P(A)，可得.從此例中，我們同樣發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在概率論領(lǐng)域中的有著不可替代的作用，簡(jiǎn)單明了直觀地表現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，化繁為簡(jiǎn)，從抽象到具體，思維發(fā)生了一次飛躍。4.3 常微分方程中數(shù)形結(jié)合中的應(yīng)用例：在上半平面求一條上凹的曲線(xiàn)，其任一點(diǎn)(,)處的曲率等于此曲線(xiàn)在該點(diǎn)的法線(xiàn)段長(zhǎng)度的倒數(shù)(是法線(xiàn)與軸的交點(diǎn))，且曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與軸平行。解 草圖如圖11所示，所求曲線(xiàn)為().于是其在(,)點(diǎn)處的曲率為K(曲線(xiàn)為凹的，>0)，圖11曲線(xiàn)()在(,)點(diǎn)處的法線(xiàn)方程Y=-(X-) (0),它與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)(+,0)，于是(1+),由題設(shè)K，即1+這是不顯含的方程，初始條件為1，0.令，

18、于是方程變?yōu)?+dln(1+)ln+C，代入0，得C0 1，積分得ln+=(-1)+ C,代入1，得C0，故所求的曲線(xiàn)為 +e，即(e+e)在幾何學(xué)中，常用數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)，切線(xiàn)的斜率與導(dǎo)數(shù)對(duì)等，等等，來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，所以，應(yīng)用常微分方程這個(gè)工具常用來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題，將形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問(wèn)題，則問(wèn)題的解決就變得邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，無(wú)懈可擊。4.4 微積分中的解題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合例：設(shè)有一曲頂柱體，以雙曲線(xiàn)拋物面為頂，以坐標(biāo)為底，以平面0為側(cè)，柱面+1為內(nèi)側(cè)，柱面+2為外側(cè)，試求這個(gè)柱體的體積。解 由題設(shè)可知曲頂柱體在o平面上的投影，即積分域D（見(jiàn)圖12），由D的形狀可知用極坐標(biāo)計(jì)算曲頂柱體的體積簡(jiǎn)便。V=

19、曲線(xiàn)L1：2cos，L2：1，聯(lián)立解得，.圖12故 V .在微積分中，許多問(wèn)題的解決是離不開(kāi)圖形的。一般地，解答單用分析語(yǔ)言表達(dá)的問(wèn)題，常使人茫然不知所措，如果再結(jié)合考慮問(wèn)題的幾何意義，繪出幾何圖形，借助于圖形的直觀形象就會(huì)很快解決問(wèn)題。4.5 數(shù)形結(jié)合思想在在圖論中的應(yīng)用圖論是研究由點(diǎn)和線(xiàn)組成的“圖形”問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科，所以可以說(shuō)數(shù)形結(jié)合是圖論產(chǎn)生的源泉，這里的一個(gè)例子是圖論中一個(gè)常見(jiàn)的用矩陣來(lái)表示圖，用代數(shù)方法來(lái)研究圖的性質(zhì)，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，這一方法也便于用計(jì)算機(jī)處理圖。例：證明圖與同構(gòu)（見(jiàn)圖13） 圖13首先我們用常規(guī)的方法證明如下：證明：設(shè)圖（V，E），（U，）.定義 g:vu,g（）,g（）

20、,g（）,g（）,g（）,則（,）E，有（g（），g()）且（,）與（g(),g()）有相同的重?cái)?shù)。故 圖與同構(gòu)。 使用這一方法來(lái)證明圖的同構(gòu)雖然方法看起來(lái)簡(jiǎn)單，但是在人工查找圖的過(guò)程中很可能就會(huì)出現(xiàn)遺漏，而且會(huì)造成檢查困難，這樣導(dǎo)致了計(jì)算和驗(yàn)算的高成本，從而效率低下。再看一下利用數(shù)形結(jié)合思想證明利用圖的關(guān)聯(lián)矩陣證明。證明：圖與的關(guān)聯(lián)矩陣分別為：， 因?yàn)閷?duì)圖的關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行或列的交換后所得到的圖仍然是與原圖同構(gòu)的，下面對(duì)進(jìn)行行列的交換： 即圖與同構(gòu)。把形象直觀的難以直接看出規(guī)律的圖形轉(zhuǎn)換成邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)矩陣，使證明過(guò)程有條不紊，且容易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和及時(shí)改正錯(cuò)誤，從錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中抽象出精確的數(shù)量關(guān)系

21、，較之上一種方法極大地提高了解題效率，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，能輕松快捷地得出證明結(jié)論。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，是一個(gè)解決問(wèn)題之門(mén)的金鑰匙，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，啟發(fā)思路，從而達(dá)到化難為易的目的，減少計(jì)算量，使問(wèn)題獲得巧解，意義重大。5. 小 結(jié)“數(shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，互為補(bǔ)充，互相聯(lián)系，又可相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合包含“以數(shù)想形”和“以形助數(shù)”相結(jié)合，巧借圖形數(shù)兩個(gè)側(cè)面。這就要求我們根據(jù)特點(diǎn)全面考察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合使得難以求解的問(wèn)題迎刃而解。數(shù)形結(jié)合有很大的靈活性、創(chuàng)造性，在應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)多方位、多角度的去思考、探索，選用合理、恰當(dāng)?shù)耐緩剑郧笕〉檬掳牍Ρ兜男Ч?/p>

22、及化繁為簡(jiǎn)地解決問(wèn)題的目的。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”。以上的一些例子，從對(duì)概念的理解到對(duì)定理的理解及證明，再到解題，我們可以清楚地看到，數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的作用。數(shù)形結(jié)合方法靈活多樣，只要可以用來(lái)解決數(shù)與形這對(duì)矛盾，并達(dá)到求簡(jiǎn)目的的方法都可拿出來(lái)參考，這樣可以培養(yǎng)我們面對(duì)問(wèn)題時(shí)的求解意識(shí)。在數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中，“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)與“形”的幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換應(yīng)該是等價(jià)的，即對(duì)于所討論的問(wèn)題形與數(shù)所反映的數(shù)量關(guān)系應(yīng)具有一致性，我們要盡量精確地構(gòu)圖，使“數(shù)”與“形”盡量保持一致的等價(jià)性，這樣才能從根本上保證數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮作用。在進(jìn)行幾何直觀的分析的同時(shí)還要進(jìn)

23、行代數(shù)抽象的探索，代數(shù)表達(dá)及其運(yùn)算比起幾何圖形及其結(jié)構(gòu)有著自身固有的優(yōu)越性，能克服幾何直觀方法的許多局限性，“數(shù)”與“形”各有其優(yōu)缺點(diǎn)，我們就要盡量做到刪繁就簡(jiǎn)，去粗取精，從而揚(yáng)長(zhǎng)避短，盡可能地發(fā)揮它們各自的優(yōu)勢(shì)。最后，數(shù)形轉(zhuǎn)換時(shí)盡可能構(gòu)圖簡(jiǎn)單合理優(yōu)美，從而可使代數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)潔、明了，這樣還能給我們良好的視覺(jué)感受，增添我們的學(xué)習(xí)樂(lè)趣。致 謝：在本論文的撰寫(xiě)過(guò)程中，得到毛旭華老師的悉心關(guān)懷和指導(dǎo)，在此深表感謝。參考文獻(xiàn)：1周春荔,張景斌.數(shù)學(xué)學(xué)科教育學(xué)M.北京:首都師范大學(xué)出版社,2001. 2王子興.對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中形象思維的思考J.數(shù)學(xué)通報(bào),1990,(6) .3王子興.數(shù)學(xué)方法論M.長(zhǎng)沙:中南大學(xué)出版社,2001.4盛祥耀.高等數(shù)學(xué)M.北京:高等教育出版社,1992.5伍新春.高等教育心理學(xué)M.北京:高等教育出版社,1999.6華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2003.7茆詩(shī)松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M.北京:高等教育出版社,2004,2