第十一章 冪級(jí)數(shù)自測題及解答

1、第十一章 冪級(jí)數(shù)自測題及解答一選擇題1.若級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)（ A ） （A）；（B）；（C）；（D）發(fā)散。解：收斂，也收斂，且，故。2下列級(jí)數(shù)中收斂的級(jí)數(shù)是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。解：，而收斂，收斂。3設(shè)，則級(jí)數(shù)（ ） （A）絕對(duì)收斂；（B）條件收斂；（C）發(fā)散；（D）斂散性與有關(guān)。解：，而收斂，收斂，從而收斂， 又發(fā)散，發(fā)散。4（ C ） （A）絕對(duì)收斂； （B）條件收斂； （C）發(fā)散； （D）不能確定其斂散性。解： ， 發(fā)散，從而，故發(fā)散。1下列反常積分中收斂的是（ C ）（A）； （B）；（C）；（D）。解：，發(fā)散。，發(fā)散。，收斂。，發(fā)散。2若級(jí)數(shù) 則此級(jí)數(shù)（B）（A）條件收斂

2、； （B）絕對(duì)收斂；（C）發(fā)散；（D）收斂性不一定。解：，當(dāng)，故3設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，且，則（ D ）（A）； （B）；（C）；（D）。解法1：若，則絕對(duì)收斂，與已知條件收斂矛盾，（B）不對(duì)。若，則發(fā)散，與已知條件收斂矛盾，（A）（C）不對(duì)，應(yīng)選（D）。解法2：考慮冪級(jí)數(shù)，處條件收斂，由知，的收斂半徑，即，。二填空題1設(shè)常數(shù)，則當(dāng)滿足條件時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。解： 當(dāng)時(shí)，而當(dāng)，即時(shí)收斂， 故當(dāng)時(shí)收斂。2設(shè)，且，則。解：設(shè)與的部分和分別為與， 收斂，設(shè)。 ，。三判別下列級(jí)數(shù)的斂散性1解法1（比較法）：，而收斂，收斂。解法2（根值法）：， ， 故收斂。解法3（利用級(jí)數(shù)的性質(zhì)）： ，而、均收斂，收斂。2.解：，

3、而收斂，收斂，從而收斂。3解：，發(fā)散。注：，本題不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。4解法1（比值法）：，收斂。解法2（根值法）：，收斂。5解：， 當(dāng)時(shí)， ，顯然此級(jí)數(shù)為負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。 ，而收斂， 收斂。四解答題1.討論級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件收斂。解：設(shè)，則，當(dāng)，收斂；當(dāng)，發(fā)散。從而當(dāng)，絕對(duì)收斂；當(dāng)，發(fā)散。當(dāng)，而發(fā)散，發(fā)散。，且，收斂，故當(dāng)，絕對(duì)收斂；當(dāng)，發(fā)散；當(dāng)，條件收斂。2.常數(shù)，級(jí)數(shù)是（1）發(fā)散；（2）條件收斂；（3）絕對(duì)收斂。分析：設(shè)，。，發(fā)散。，但不能確定是否收斂。為此用比較判別法：，顯然，當(dāng)時(shí)，收斂，從而絕對(duì)收斂。綜上可知，要分，三種情況進(jìn)行討論。解：設(shè)，（1），發(fā)散。（2），取，則有，而收斂，收斂，故絕對(duì)收斂。（3），而發(fā)散，發(fā)散。 設(shè)，當(dāng)，從而，且，故由萊布尼茲判別法知條件收斂。綜上討論可知，當(dāng)時(shí)發(fā)散；條件收斂；絕對(duì)收斂。五證明題1設(shè)級(jí)數(shù)收斂，且絕對(duì)收斂，試證絕對(duì)收斂。證明：設(shè)收斂于，則， 其中， ， ，從而，有。 又，而絕對(duì)收斂，即收斂，收斂，即絕對(duì)收斂。2設(shè)函數(shù)有定義，在某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。證法1：在某鄰域內(nèi)連續(xù)，在，又，。公式為 ，在某鄰域內(nèi)連續(xù)，使得，從而當(dāng)，有。而收斂，絕對(duì)收斂。證法2：在某鄰域內(nèi)連續(xù)，在，又，。用洛必達(dá)法則有，存在，存在，而收斂，絕對(duì)收斂。3設(shè)級(jí)數(shù)收斂，且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)收斂。證明：