小學(xué)奧數(shù)教程-等差數(shù)列計算題.教師版(11)全國通用(含答案)

1、自 tut/、常用公式1.2 3 III2.1222323.1323334.5.6.7.知識點撥IIIIll10n (n 1)2n等比數(shù)列求和公式:平方差公式:b2n (n 1) (2n 1)SnIIIIllaq1aq公式法計算22n (n 1)aqn n 1 IIIa1(qn 1)(q3 2 1n2 ；1);完全平方公式:用文字表述為:2abb2,2 一2a 2ab b兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩個數(shù)的平方和， 加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍,教師寄語：拼一個春夏秋冬，換一生無怨無悔。32兩條公式也可以合寫在一起:a ba2 2ab b2.為便于記憶，可形象的敘述為：首平方，尾平方，2

2、倍乘積在中央、常用技巧1. abcabc abc 1001 ；2. ababab ab 10101 ；3. 1 0.142857 , 2 0.285714 , 3 0.428571 ,777415160.571428 , 0.714285 , 0.857142 ;7774.%馳 %邨 123|n|(321 ,其中 n 9.n個1n個1且隹例題精講一'、前n項和【難度】2星42 | 182)III 92)【題型】計算【例 1】12 32 52" 192【考點】公式法之求和公式【解析】12 32 52 "I 192(12 22 32 | 192) (221/ 2219

3、20 39 4 (12624702470【答案】218519 10 19 6285 2185222222【鞏固】124578【考點】公式法之求和公式【解析】原式(12 22 I0 162)(12 22 | 162)222221011131416【難度】3星(32 62 92 122 152)32 (12 22324252)【題型】計算16 17 335 6 119 661496 495 1001【答案】1001例 2 計算：36 49 64 81 III 400【考點】公式法之求和公式【難度】3星【解析】原式62 72 82 H 20212 22 32 ” 20212 2 2 32 42 52

4、1120 21 415 6 11662870 55 2815【答案】2815【題型】計算【例3】 計算：13 33 53 73【考點】公式法之求和公式33339111315【難度】3星【題型】計算【解析】原式13233343221515 184III 1431323153III237343III31457600 門平 c22 7848128【答案】8128【鞏固】計算：13 33 53 【考點】公式法之求和公式【解析】 與公式13 23 n3先補(bǔ)上偶數(shù)項.3991 2【難度】3星212n nm 相比, 4【題型】填空13 33 53”993缺少偶數(shù)項，所以可以原式 13 23 33 10032

5、3 43 10031223333-1001012125012231221001012505144_2_2_2502 1012 2 51212497500【答案】124975001 23 3320063【例4 計算： 2 32006【考點】公式法之求和公式【解析】原式 1 2 31 2 32013021220062006【難度】3星【題型】填空1 2 32006 1 2006 2006 122013021【例5】 【考點】計算：2004 2003 2003公式法之求和公式2002 2002 2001【難度】3星2001 2000 | 2 1【題式填空【關(guān)鍵詞】西城實驗原式3 2 12200320

6、03 2 2001 22 1 3 5 I) 20012 1 2003 1002 2 2008008其中也可以直接根據(jù)公式 1 3 5 7 “ 2n 1n2得出1 3 5 ” 2001 2003 10022【答案】2008008 【例 6】計算：1 22 2 32 3 42 18 192 19 202【考點】公式法之求和公式【難度】3星【題型】計算【解析】分拆(21)222322(31 ) 3233321HHi再用公式4 川丁 ( I (J ( II ( ( JI ) 。O IlliJT/RI Za盾# zq 3 q23 Q2323 Q332 Q22懷工1(22)(33 ) (2020)(I 2

7、3 20)(123 20)1221-2021- 20 21 41 4123046【例7】對自然數(shù)a和n,規(guī)定a n(1) 1 2 2 2 3 2 | 2 1 2 2 2 3【考點】公式法之求和公式【解析】原式12 1 22 2 32【答案】41230an an 1,例如 3 2 32 3 12,那么:99 2 ;2 99 .【難度】3星【題型】填空3 9999 9912 22 32 川 9921 2 3 I" 99199 100 199 49506 328350 4950 3333001021329998原式 222222 川2220 21 22 29821 22 23220 21

8、22 I" 2983299 13993 2 333300993 23【鞏固】看規(guī)律13 12, 13 23【考點】公式法之求和公式【關(guān)鍵詞】人大附中【解析】原式13 23. 1I 1439q qq9一.QQllQ_一_ 2. 3_ 332、卜r、_33. I. - 33 , 1236 ,試求 67 H 14【難度】3星【題型】計出13 23. IM 531 2 3 | 14 21 2 3 4 5- 22_90 120 1080010515105 15 105 15【答案】10800教師寄語：拼一個春夏秋冬，換一生無怨無悔?！纠?1計算：1 3千33 ,孑、【考點】【解析】公式法之求和

9、公式法一：利用等比數(shù)列求和公式?！倦y度】3星【題型】計算原式713264d_d32729法二：錯位相減法.、回 c 111111僅 S1234563 3333311111則 3S 3 12 -3 -4 -5 , 3S S 33 33334 ,整理可得S 13643729法三：本題與例 3相比，式子中各項都是成等比數(shù)列,但是例 3中的分子為3,與公比4差1,以可以采用 借來還去”的方法，本題如果也要采用惜來還去”的方法，需要將每一項的分子變得也都與公比差 1 .由于公比為3,要把分子變?yōu)?,可以先將每一項都乘以 2進(jìn)行算，最 后再將所得的結(jié)果除以 2即得到原式的值.由題設(shè)，2S 2 2 J2 2

10、3 J43 333364整理得到S 1 36-.729【答案】136472922. “ ， 1 .144,則運用惜來還去”的方法可得到2S，3,333局【n 7U有*7J-6-5_2_4_ 3_3_4_2_5_【例9】計算223232323232910789319683 , 359049 , 2128 , 2256 , 2【考點】公式法之求和公式【難度】3星36 37的值。（已知37一 一 10 一 、512 , 21024 ）【題型】計算82187 , 36561 ,【解析】 注意到式子的特點是從第一個加數(shù)開始，每一個加數(shù)比前一個加數(shù)2的指數(shù)減少1, 3的指數(shù)增加1 .所以每一個加數(shù)是前一個

11、加數(shù)的3倍，如果將題中加數(shù)按原來的順序排列起來就是一個公比為2等比數(shù)列，于是按照錯位減法進(jìn)行運算即可。 765243342記 S2 2323232323652433425-S 232323232323 S S - - 27 ,那么 S 38 2 8 6 561222630556732 33,86732 33-2256 6305,即原式的值為 6305.【例10】 J 31 51 724816【考點】公式法之求和公式19 -32111 64113 -12815 -2561 117195121024【題型】填空教師寄語：拼一個春夏秋冬，換一生無怨無悔。7【關(guān)鍵詞】浙江省，小學(xué)數(shù)學(xué)活動課夏令營【解析

12、】原式1 3 5 7 9 11 13 1517111111 192 4 8 16 32 641128125611512 102419 10100io1023100102410【答案】10010231024【解析】計算：-41664256【考點】公式法之求和公式1024 4096【難度】【題型】填空【解析】440954096423不14)且耳-1)45 46 46144409540963 門3 ,32 4 24816且512【考點】公式法之求和公式【題型】填空原式 21016III512【例11】III7251250974 一512III51250974512計算：13公式法之求和公式32337

13、36【難度】【題型】計算設(shè)算式的值為S,那么3S3S S即2S故4S1314-63所以4S13_2314 33132_23S 94163617T -6933163664 3729132317. 3231-532323 35 43-37336 535 ，373632 534S15314-63729教師寄語：拼一個春夏秋冬，換一生無怨無悔。9、平方差與完全平方公式【例 12】 31415926 2 31415925 31415927 ； ，、22 123487662468 8766 .【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】浙江省，小學(xué)數(shù)學(xué)活動課夏令營【解析】 觀

14、察可知31415925和31415927都與31415926相差1,設(shè)a 31415926, 原式 a2 a 1 a 1 a2 a2 11 原式 12342 87662 2 1234 8766 221234 876610000100000000【答案】61100000000【鞏固】2009 2009 2008 2008 【考點】公式法之平方差公式與完全平方不【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】 走美杯，3年級，初賽【解析】方法一：原式 20092008 12009 120082009 2008 2009 2009 2008 20082009 2008 4017、一 一 .一 一 2.2方法二：原

15、式=20092008=2009+20082009 2008=4017 1=4017【答案】4017 【鞏固】37 37 2 63 37 63 63 【題型】填空【題型】填空【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式【難度】2星【關(guān)鍵詞】 走美杯，3年級，初賽 2【解析】 原式 37 631002 10000【答案】10000【鞏固】計算：314 31.4 628 68.6 68.6 686=?！究键c】公式法之平方差公式與完全平方公式【難度】3星【關(guān)鍵詞】 走美杯，6年級，決賽【解析】 題目分析：答案為100000。記原式為 X,則10X=314 X314+628 >686+686 >

16、686=3142+2X314 >686+6862=(314+686) 2=1000000 ,所以，X=100000?！敬鸢浮?00000【例13】 有一串?dāng)?shù)1, 4, 9, 16, 25, 36它們是按一定規(guī)律排列的，那么其中第1990個數(shù)與第1991個數(shù)相差多少？【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式【難度】2星【題型】填空【解析】這串?dāng)?shù)中第1990個數(shù)是19902,而第1991個數(shù)是19912,它們相差19912 19902(1991 1990) (1991 1990) 1991 1990 3981【答案】3981【鞏固】a、b代表任意數(shù)字，若(a b) (a b) a a b b

17、 ,這個公式在數(shù)學(xué)上稱為平方差公式.根據(jù)公式，你來巧算下列各題吧. 98 102 67 73 64 28 2 29 3 31【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式【難度】2星【解析】 這個公式可以給我們的計算帶來很多便利，在以后的奧數(shù)學(xué)習(xí)中會經(jīng)常遇到就依據(jù)公式(a b) (a b) a a b b來進(jìn)行下面的計算：(1) 98102(100 2)(1002)100100 2 2 10000 49996 6773(70 3) (70 3)70 70334900 9 4891 64282 32 282 (302) (302)2 (30 30 22)1792(4) 2 29 3 31 2 3(30

18、1)(301)6(900 1) 540065394【答案】 9996489117925394【例 14】計算：11 19 12 18 13 17 14 16 .【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式【難度】3星【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級組，決賽【解析】 本題可以直接計算出各項乘積再求和，也可以采用平方差公式.2【題型】計算，同學(xué)們最好記住哦.我們【題型】填空0oooooO2222222原工 115 415 315 215 1152 412 22 32 42900 30 870.2222其中1234可以直接計算，但如果項數(shù)較多，應(yīng)采用公式12 22 n2 1n n 1 2n 1 進(jìn)行計算.【例1

19、5】20078.5 8.5 1.5 1.510160 0.3【考點】公式法之平方差公式與完全平方公式【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽【解析】原式 20078.5 1.5 8.5 1.510【難度】2星【題型】填空160 0.32007 10 8.51.510160 0.3【答案】8702007 7 160 0.3 12.5 0.3 12.2【答案】12.2三、公式綜合運用【例 16】計算：1 4 3 7 5 10 "I 99 151 .【考點】公式法之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校【解析】 觀察可知式子中每一項乘積的被乘數(shù)與乘數(shù)依次成等差數(shù)列，被乘數(shù)依次為1, 3, 5,，

20、99,乘數(shù)依次為4, 7, 10,，151,根據(jù)等差數(shù)列的相關(guān)知識，被乘數(shù)可以表示為2n 1,乘數(shù)可以表示為3n 1 ,所以通項公式為 2n 13n 1 6n2 n 1 ,所以，原式 6 12 1 16 22 2 1 H| 6 502 50 16 12 22 5021 2 | 50 50150 51 101 - 50 51 50297 30215 15 5 川 297 297 5152 15 52972 297 5256225另解：如果不進(jìn)行通項歸納，由于式子中每一項的被乘數(shù)與乘數(shù)的差是不相等，可以先將這個差變 為相等再進(jìn)行計算.1原式3 8 9 14 15 20 6 1 -3 3 599 5

21、6 122-33 5 99 561 32 92 1 52 J" 2972 5 3 9 15 m 2972 9 12 32 52 W 992 5 3 1 3 5 川 99教師寄語：拼一個春夏秋冬，換一生無怨無悔。152而 12 3212521232 5232 52 IIIN 992 和 1II 992125 - 225 32993?1 3 5 | 9999都是我們非常熟悉的.100222 42 62 |1| 100211100 101 201 4 -661 100 101201 10261 99 100 1016166650,1 3 599 502 2500 ,35所以原式 一 166

22、650 - 2500 256225225051101從上面的計算過程中可以看出，2222135991屆99 100 101 ,而 6| 99 100【例17】計算：242 3 4 5【考點】公式法之綜合運用20 211212 22【難度】4星I" 12 22 Hl【題型】填空102112 22 I" n2624n n 1 2n 1 2n 2n 12n 2122n 2n 112n 1 2n 2所以,12III1120 21 21 22所以原式24III20 21121120 21 21 22126 III20 21 21 2212III1211221212261155 11【

23、例18】計算:12223242【考點】公式法之綜合運用【關(guān)鍵詞】北京二中，入學(xué)測試III- 22005_2_220062007【難度】3星【題型】計算【解析】2原式 2007 (2007 2007 1220062006)2006(20072224322006) (20052007 220150282005 2004 2007 2015028212004)1(2005 2004) M(3 2) (3 2) 1計算12 2232【考點】公式法之綜合運用217【難度】2183星219這個題目重新整理得:121902 一 2(32 ) (5(3 2)(33 2 523 420 9 102) (54 .

24、17190224 ) (74)(5 4)19 1818 19【題型】計算2226 ). (1918 ).(19 18)(1918)計算：20 20 19 19 18 18 17 17 III【考點】公式法之綜合運用【難度】3 M1 .【題型】計算【解析】做這道題的時候，可能有些以前記住了利用平方差公式：2 2 11 2 1 .于是，原式 20 19(20 1)202019 1920以內(nèi)平方數(shù)的同學(xué)就高興了,(20 19)(20 19) 20 19 ,但是其實并不需要，18 18 17 17 18 17大家看,【答案】210【例19】1 3 2 4 3【考點】公式法之綜合運用原式 2【例20】3

25、752222121032221161820172210211【難度】3星【題型】計算32 III 32211021 3III9II 10210 375計算：11 29 12 28 1021019川 10 1 10 1121【題型】填空【考點】公式法之綜合運用【難度】3星【解析】原式 202 92202 82202 12202 9 12 22 M 921 3600 9 10 19 33156【答案】3315【鞏固】計算：1 99 2 98 3 97 | 49 51 .【考點】公式法之綜合運用【難度】3營【題型】填空【解析】觀察發(fā)現(xiàn)式子中每相乘的兩個數(shù)的和都是相等的，可以采用平方差公式.教師寄語：拼一個春夏秋冬，換一生無怨無悔。19原式 50 4950 4950 4850 48 I" 50 150 1_22-2-22250249250248250212502491222川492502491222M4923 15049 49 50 99625049 49 25 3349 25 100 3349 25 67 82075【答案】82075【鞏固】50 50 49 51 48 52【考點】公式法之綜合運用【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級