初三數(shù)學暑期標準課講義(教師版)

1、入門才測:1.一次函數(shù) y 2x 1的圖象與x軸的交點坐標為 ,與y軸的交點坐標為. <2分鐘>1 0【答案】(2,)，(0，1)2.已知一次函數(shù)y=kx+b , y隨著x的增大而減小，且kb>0,則這個函數(shù)的大致圖象是 ()<2分鐘>【答案】B3.將正比例函數(shù)y=3x的圖象向下平移 4個單位長度后，所得函數(shù)圖象的解析式為().<2分鐘>A.y3x 4B.y 3x 4C.y3(x 4)D. y 3(x4)4.如圖,直線 AB與x軸交于點 A (1, 0),與y軸交于點B (0, 2).(1)求直線AB的解析式;(2)若點C是第一象限內(nèi)的直線上的一個點，

2、且 ABOC的面積為2,求點C的坐標.yC<5分鐘>【答案】解：(1)設直線AB的解析式為y kx b (k 0),直線 AB 經(jīng)過點 A (1, 0),點 B (0, 2),b 0,2,解得2,2.AB的解析式為y 2x 2.(2) BOC的面積為2,過點C作CD，y軸于點D,CD=2.又.點C在第一象限內(nèi)，點C的橫坐標是2.代入y 2x 2 ,得到點C的縱坐標是2.點C的坐標是(2, 2).5.已知等腰三角形周長為12,其底邊長為(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量V,腰長為x.x的取值范圍;(2)在給出的平面直角坐標系中，畫出1)中函數(shù)的圖象.<5分鐘>【答案】

3、解：(1)依題意y 2x 12,yAy 2x 12.故有y 02x2x12代入,-7 -6 -5 -4 -3 -2(2)解不等式組得7654321 I-1 o-1-2-3-4-5-6-7第一講二次函數(shù)的概念與解析式對稱1.1 二次函數(shù)的定義及圖像二次函數(shù)的定義一般地，形如y ax2 bx c(a,b,c是常數(shù)，a 0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，其中，!x是自變量，a,b,c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.2例1已知函數(shù)y= (m+2) x 是關(guān)于x的二次函數(shù)，則滿足條件的m值為【答案】m=1【練習1.1若y= (m3) xm23m2是二次函數(shù)，求 m的值.【答案】m=0k2 2例2右y= (

4、k3) x+x2 x+1是二次函數(shù)，求吊數(shù) k的值.【答案】 分情況討論：當k 3=0,即k=3時，y=x2 x+1是二次函數(shù)；當 k22=2 且 k3+1W0,即 k= 2 時，y= 4x2 x+1 是二次函數(shù);當 k22=1 時，即 k=± J3 時，y=x2+(J34) x+1 ,或 y=x2一( 73+4) x+1均是二次函數(shù)，還有 k22=0時綜合上知k=3或2或± J3或±J2_一.一一k2 2【練習2.1若y= (k 2) x+4x2x+1是二次函數(shù)，求常數(shù) k的值.【答案】21.2 二次函數(shù)的性質(zhì)與a有關(guān)的性質(zhì)一函數(shù)形式：y ax2(a 0)Ij開

5、口： a 0,開口向上；a 0,開口向下.忖相同拋物線的形狀大小相同 |a|越大開口越K |a|越小開口越工.i對稱軸：y軸(x 0)頂點：原點(0, 0)I【例3】二次函數(shù)y= ax2的圖象大致如下，請將圖中拋物線字母的序號填入括號內(nèi).(1)y = 2x2 如圖()；1 2 ,(2)y x2如圖()；2(3)y = x2 如圖()；1 2 ,(4)y x2如圖()；3y lx2如圖()；9(6)y 1x2 如圖().9【答案】(1)D, (2)C, (3)A, (4)B, (5)F, (6)E.【練習3.1若函數(shù)y= ax-6是二次函數(shù)且圖象開口向上，則a=()A. 2B. 4C. 4 或2

6、D. 4或 3與a有關(guān)的性質(zhì)二，增減性：a 0,在對稱軸左側(cè)工!L，y隨x的增大而遮人；在對稱軸右側(cè)上左，y隨x的，II!增大而一.!:I a 0 ,在對稱軸左側(cè) 上升，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè) 下降，y隨x的增大而減I / / iii2,i (函數(shù)形式y(tǒng) ax (a 0)IIij最值：a 0,當x 0時，y有最小值是o； a 0,當x 0時，y有最大值是o. j 【例4】已知a<1,點(a1, yi), (a, y2), (a+1, y3)都在函數(shù)y=x2的圖象上，則()A. y1<y2<y3 B. y1<y3<y2 C. y3<y2<y1

7、D. y2<y1<y3【練習4.1】若二次函數(shù)y 2x2 3的圖象上有兩個點A( 3,m)、B(2,n),則m與a、b有關(guān)的性質(zhì)；MWi歪y葡云面，a,bSj號；對稱葡箱 y ii7憫，a,b異號.(云向石異)j對稱軸在y軸上，b=o.【例5】判斷下列二次函數(shù)的對稱軸的位置y =x2 + 6x+ 10(2)y = 3x2 2x(3)y = 100-5x2(4)y = (x2)(2x +1)(5)y = ax2 6bx + 10 (a<0,b<0)【答案】左，右，0,右，右【練習5.1】已知二次函數(shù)V ax2 bx c缶金。的圖象如右圖所示，則下列結(jié)論：a、b同號；當x=

8、1和x=3時，函數(shù)值相等； 4a+b=0;當y= - 2時，x的值只能取0.其 中正確的個數(shù)是()A.l個 B. 2個 C.3個 D.4個【答案】B與c有關(guān)的性質(zhì)拋物線與y軸正半軸相交，c °；負半軸相交，c 0.I拋物線經(jīng)過原點，c=0【例6】判斷下列二次函數(shù)與y軸的交點的位置(1)y = 2x2 + 3x+ 10(2)y = - 3x2-2x- 3(3)y = 100x- 5x2(4)y = (x3)(2x+1)(5)y=x2 6x + a2+2a+3【答案】正，負，原點，負，正.A. a>0, b>0, c>0B. a>0, b>0, c<0

9、C. a>0, b<0, c>0D. a>0, b<0, c<0【練習6.2】已知二次函數(shù)y ax bx c (a 0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：abc>0；a+b+c>0 ;a-b+c<0;其中正確的結(jié)論有(A . 0個C. 2個B. 1個D. 3個1.3二次函數(shù)的解析式的求法x=112I通常把已知 三點的坐標代入一般式 y ax bx c中，可得關(guān)于a、b、c的三元一次 方程i I組，解此方程組求得 a、b、c的值.Ij【例7】已知拋物線y x2 bx c經(jīng)過點(1, -4)和(-1, 2).求拋物線解析式.【答案】解：設拋物線解析式

10、為：c b 5由題意知：c b 1i練習6彳丁窠三次窗藪"y=ax2+bx+c ”而i山而麗不麗痣汨!福血12解得：b 32拋物線解析式為y x 3x ?！敬鸢浮拷猓涸O這個二次函數(shù)的關(guān)系式為y a(x 1)2【練習7.1】已知：如圖，二次函數(shù) yax2 bx 2的圖象經(jīng)過A、B兩點，求出這個二次函數(shù)解析式【答案】 解：(1)由圖可知A (1, 1) , B ( 1, 1)a b 21,依題意，得 a b 2 1a 2,解得b 1.y= 2x2 + x 2.頂點式!當已知頂點坐標、對稱軸或極值時，可設其解析式為y a(x h)2 k(a 0)例8以直線x 1為對稱軸的拋物線過點A (3

11、, 0)和點B(0, 3),求此拋物線的解析式2,【答案】解：設拋物線的解析式為 y a(x 1) b:拋物線過點A (3, 0)和B(0, 3).4a b 0, a b 3.a 1,解得b 4.2拋物線的解析式為y x 2x 3【練習8.1】已知二次函數(shù)的圖象過坐標原點，它的頂點坐標是(1, 2),求這個二次函數(shù)的關(guān)系式.得：0 a(0 1)2 2解得：a 22 c這個二次函數(shù)的關(guān)系式是y 2(x 1)22即 y 2x 4x .雙根式j若直接或間接已知二次函數(shù)圖像與x軸的兩交點坐標(Xi ,0),口(X2,0),則可以I用 y a(x Xi)(x X2)(a 0)【例9】已知拋物線與x軸相交

12、于兩點 A(1 , 0), B(-3 , 0),與y軸相交于點C(0 , 3).(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；3(2)如果點D ,m 是拋物線上的一點，求 那BD的面積.2【答案】 解：(1)二拋物線與y軸相交于點C(0, 3),.設拋物線的解析式為y ax bx 3,拋物線與x軸相交于兩點A(1,0), B( 3,0),a b 3 0, 9a 3b 3 0.a 1, 解得：b 2.拋物線的函數(shù)表達式為:2_4y x2x3(2) 點D(3,m)是拋物線上一點,23、23m (2)2 2 3一 119S ABD -AB|yD 2 4-【練習9.1】已知拋物線過點 A(2,0),B(1,0)，與y

13、軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式是() 22A. y x x 2 B. y x x 22222C. yx *2或丫 x x2D. y x x2或 yx x2【答案】C1.4二次函數(shù)與圖形變換平移I W：王笳下嬴無加若源.I-， 一，一一2【例10】將函數(shù)y x 3x 4向左平移3個單位，向下平移 2個單位后的解析式為.【練習10.1】將拋物線y 5x2先向左平移2個單位，再向上平移 3個單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是()_ ._、2 一一，一、2 一A.y5(x2)3B. y5(x 2)3C.y5(x2)23D. y5(x 2)23【答案】A【練習10.2】把拋物線y=

14、x2+4x3先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，則變換后的拋物線解析式是()A . y= (x+3)22B. y=(x+1)2 1C. y=x2+x5D.前三個答案都不正確【答案】B對稱2X 2X 2X a a a2bx c關(guān)于x軸對稱：y ax bx c2bx c關(guān)于y軸對稱：y ax bx cbx c關(guān)于原點對稱：y ax2 bx c【例11】拋物線y x 【練習12.1】將拋物線y 2x 4繞原點O旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為 3x 4關(guān)于x軸對稱的圖像解析式為， 關(guān)于y軸對稱的圖像解析式為，關(guān)于原點對稱的圖像解析式為.222答案y x 3x 4 . y x 3x 4 .

15、 y x 3x 4【練習11.1】某拋物線先沿x軸翻折，再沿y軸翻折得到新的解析式為 y 2x2 3x,則原 拋物線解析式為.【答案】y2x2 3x旋轉(zhuǎn)!拋物線y a(x h)2 k繞頂點旋轉(zhuǎn)18。°后的解析式為y a(x h)2 k. |繞某一定點旋轉(zhuǎn)180。，a變?yōu)橄喾磾?shù)，結(jié)合頂點求坐標.【例12】填空(1)將拋物線y1繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式為(2)將拋物線y2x 3繞點(1,1)旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為2,2 八 -x 1 y x 6x 9_2_2_2_2.A. y 2x B. y 2x 4C. y 2x 4 D. y 2x 4【答案】C課后

16、作業(yè):1.把拋物線y=x +1向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線（2a y x 31A. y2C. y x 312c y x 33B. y2D. y x 332 .二次函數(shù)y ax bx c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中錯誤.的是（）A.函數(shù)有最小值B.當一1 <x < 2時，y 0一1C.abc0 D.當x, y隨x的增大而減小23 .已知拋物線y=x2-4x+5,求出它的對稱軸和頂點坐標【答案】解：y=x24x+5=x2 4x+4+1=（x 2）2+1.拋物線的對稱軸為 x=2.頂點坐標為（2, 1）.B（2,3）,求平移后的拋物線的表達式.【答案】解：設平移后拋物

17、線的表達式為y 2x2 bx c1,又因為拋物開口向上，對稱軸為yy2平移后的拋物線經(jīng)過點A（0，3） , B（2,3）,3 c,b 4,.3 8 2b c.解得 c 3.2所以平移后拋物線的表達式為y 2x 4x 3.解二：平移后的拋物線經(jīng)過點A（0，3） , B（2,3）,平移后的拋物線的對稱軸為直線x 1.2設平移后拋物線的表達式為y 2 x 1 k23 2 2 1 k.k 1.2所以平移后拋物線的表達式為y 2 x 11 .5.已知：二次函數(shù)y ax bx c（a 0）中的x，y滿足下表:x10123y0343m（1） m的值為；若A（P，y1）, B（P 1，y2）兩點都在該函數(shù)的圖

18、象上，且P °,試比較與力的大小.【答案】解：（1） m = 0 .11 I P 0, P P6.已知直線y=mx+n經(jīng)過拋物線y=ax2+bx+c的頂點P（1,7）,與拋物線的另一個交點為M （0,6）,求直線和拋物線的解析式【答案】解：（1） 直線y mx n經(jīng)過點p（1, 7）、m（0, 6）,m n 7,n 6.m 1, 解得n 6.直線的解析式為y x 6.一拋物線y ax bx c的頂點為P (1, 7),、2_.y a(x i) 7.拋物線經(jīng)過點 M (0, 6),2 r -. a(0 1)7 6 ,解得 a 1拋物線的解析式為yx2 2x 6.27.拋物線y x bx

19、 c (b,c均為常數(shù))與x軸交于A(1, 0), B兩點，與y軸交于點C(0,3). (1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)若P是拋物線上一點，且點P到拋物線的對稱軸的距離為3,請直接寫出點P的坐標.2【答案】解:(1)二.拋物線y x bx c與y軸交于點C(0,3),c=3 .y x2 bx 3 .2又.拋物線y x bx c與x軸交于點A(1, 0),2b=-4 . y x4x 3.點P的坐標為(5,8)或(1,8).入門才測：1.下列各式中，y是x的二次函數(shù)的個數(shù)為()y="/2x2+2x+ 5; y=5+8xx2;y=(3x+ 2)(4x3) 12x2; y=ax2+bx+c； y=mx2 + x; y= bx2+1(b 為常數(shù)，bw 0) <1 分鐘A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A2.已知二次函數(shù)y2 axbx c,且a 0,a b c 0,則一定有（）2分鐘.222A.