幻方的探討及其初步應用

1、學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考第一章介紹幻方的基本知識1.1幻方的定義在一個由若干個排列整齊的數(shù)組成的正方形中,圖中每一行 , 每一列以及每條對角線的幾個數(shù)分別加起來所得的和都相等, 具有這種性質的圖表,稱為“幻方”. 這個相等的數(shù)稱幻方常數(shù)或定數(shù). 幻方的每條邊有幾格 ,就叫做幾階幻方. n 階幻方常數(shù) , 記作 H n . 不難算出 H nn(n21) . 例如將圖 12填成圖 2 后 , 就成為一個4階幻方 . 它的每一行 , 每一列以及每條對角線上個各數(shù)的和都等于常數(shù)H 44 (421)34 .211415481110512769132316圖1圖21.2 幻方的歷史幻方的歷 史很悠 久

2、. 幻方又稱縱 橫圖 , 九宮圖 , 最早記 錄于我 國古代的洛書 .在古代 , 人們沒有認識到幻方是利用整數(shù)的某些特性構成的, 而把它看成神秘的東西 . 關于幻方的起源 , 我國有“河圖”和“洛書”之說 . 相傳在遠古時期 , 伏羲氏取得天下 , 把國家治理得井井有條 , 感動了上天 , 于是黃河中躍出一匹龍馬 , 背上馱著一張圖 , 作為禮物獻給他 , 這就是“河圖” , 也是最早的幻方 . 伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦 , 后來大禹治洪水時 , 洛水中浮出一只大烏龜 , 它的背上有圖有字 , 人們稱之為“洛書” . “洛書”所畫的圖中共有黑 , 白學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參

3、考圓圈 45 個. 把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來 , 得到九個 . 這九個數(shù)就可以組成一個縱橫圖 , 人們把由九個數(shù) 3 行 3 列的幻方稱為 3 階幻方 , 除此之外 , 還有4 階,5 階.后來 , 人們經(jīng)過研究, 得出計算任意階數(shù)幻方的各行, 各列 , 各條對角線上所有數(shù)的和的公式為S n(n2 1) , 2其中 n 為幻方的階數(shù), 所求的數(shù)為S .幻方最早記載于我國公元前500 年的春秋時期大戴禮中, 這說明我國人民早在2500 年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律. 而在國外 , 公元130 年 , 希臘人塞翁才第一次提起幻方.我國也是最早發(fā)現(xiàn)幻方的國家之一. 公元 13 世紀的數(shù)學

4、家楊輝已經(jīng)編制出3 10 階幻方 , 記載在他1275 年寫的續(xù)古摘廳算法一書中. 在歐洲直到574 年 , 德國著名畫家丟勒才繪制出了完整的四階幻方.而在國外 , 十二世紀的阿拉伯文獻也有六階幻方的記載, 我國的考古學家們曾經(jīng)在西安發(fā)現(xiàn)了阿拉伯文獻上的五塊六階幻方, 除了這些以外,歷史上最早的四階幻方是在印度發(fā)現(xiàn)的, 那是一個完全幻方( 后面會提到),而且比中國的楊輝還要早了兩百多年, 印度人認為那是天神的手筆.幻方又叫魔方, 日本人稱為方陣, 我國稱為縱橫圖或方宮圖等. 幾千年來 , 人們沒有中斷過對幻方的研究. 整數(shù)的這種變幻迷離的玄妙性質, 自古以來吸引著無數(shù)的數(shù)學愛好者. 人們不僅造

5、出了各種幻方, 還找出了其中的某些規(guī)律. 到了本世紀60 年代 , 有人應用數(shù)論的方法, 證明了任何n 階( n2) 幻方的 可構 造性 . 隨著 科學 的發(fā) 展以 及電子 計算 機的 問世 , 幻方 這個頗似數(shù)學游戲的古典題目日也受到重視. 現(xiàn)在已經(jīng)有人編出任意高次的偶階幻方的計算程序, 并編入 “ CACM程序匯編” . 目前 , 幻方正在組合數(shù)學,圖論 , 博奕論以及程序設計. 人工智能等等方面得到應用.1.3 幻方的性質一幻方的變換性質學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考我們在學關于幻方的知識時, 對幻方數(shù)間的關系 , 幻方的構造之謎 等問題表 現(xiàn)出了極大的興趣 . 并提出：三階幻方除

6、了“每一行, 每一列 , 每條對角線上的三個數(shù)字的和都是同一個常數(shù)15”這一性質外 , 還有其它的性質嗎？將-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 這 9 個數(shù)分別填入下圖方陣 ( 幻方 ) 中的 9 個空格中 , 使得橫 , 豎, 斜對角的 3 個數(shù)之和為 0.123412456753789896(1)(2)(3)6181-4375320-2294-34-1(4)(5)這種幻方是 3×3 幻方 , 通常是填 19 這 9 個數(shù) , 使得各行 , 各列 , 斜對角的三個數(shù)之和為 15. 填法是 : 先從左到右 , 從上到下 , 將 1 9 這 9 個數(shù)依次填入幻方中（如（ 2）；

7、然后中心的 5 不動，周圍的 8 個數(shù)順時針轉一格（如（ 3）；再將（ 3）中的對角的數(shù)互換一下（如（ 4）, 即為填 19 的答案 . 將（ 4）中每個數(shù)減去 5（或加 -5 ）, 得（ 5） , 即填 -4 4 的答案 . 其他填法與之類似 .仔細體會上述填法從（ 4）到（ 5）這一步 , 我們發(fā)現(xiàn)它事實上提出了幻方的一種變換方式：變換 1 將一個幻方中的各數(shù)同時加上（或減去）一個相同的數(shù)，得到的仍就是幻方 .如, 上面的圖（ 4）中每一行 , 每一列以及每條對角線的幾個數(shù)分別加起來所得的和都15, 是個 3 階幻方，那么由變換1 知道把圖（4）中的每行數(shù)字加上2 或減去2 可分別得到圖（

8、6） , 圖（ 7） . 圖（ 6）中每行，每列及每條對角線的幾個數(shù)分別加起來所得的和是21，所以它是一個3 階幻方 . 同理，圖（7）也是一個3 階幻方 .學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考6+21+28+26-21-28-27+25+23+27-25-23-22+29+24+22-29-24-2（6）（7）變換 2將一個幻方中的各數(shù)按一定順序（從大到小或從小到大） 與一個等差數(shù)列中的各數(shù)對應相加（或減） ，得到的還是幻方 .如（ 8） , （ 9）就是在（ 4）的基礎上按變換2 得到的 .6+111+18+156-71-178-37+135+93+57-55-93-132+39+174+

9、72-159-14-11(8)(9)二幻方的對稱與方冪和性質認真觀察（ 5） , 我們容易發(fā)現(xiàn)：關于中心數(shù) 0 對稱的兩個數(shù)互為相反數(shù) . 根據(jù)填幻方的要求 （各行 , 各列 , 斜對角的三個數(shù)之和相等） 和方冪的性質 （互為相反數(shù)的兩個數(shù)的偶次冪相等 , 而奇次冪互為相反數(shù)） , 我們得到（ 5）的兩條奇妙性質：（i ） 關于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之和互為相反數(shù) , 且各數(shù)的奇次冪之和亦互為相反數(shù) .（ ii ）關于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之和相等 , 且各數(shù)的偶次冪之和亦相等 .面對如此奇妙的性質, 我們不盡浮想連翩：（4）, （6）（ 9）同樣都是幻方 , 它們也有

10、這樣的性質嗎？不難否定性質（ i ）. 現(xiàn)在我們以（ 4）為例來考察一下性質（ ii ）.先取第一 , 三行：6181529415621282101229242101631383729239343901.學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考所以618294621282229242再取第 1,3列67215834156272228982324289637323567833343603.所以672834627222823242由此我們猜測：3×3 幻方中 , 關于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之平方和相等.此猜想正確嗎？不妨嘗試著證明一下：abcdefghi圖 10證明： 設（ 10

11、）是一個 3× 3 幻方 , 則 a ibhc g , a b c i h g設 a i bh c g k , 則 a k i, b k h, c k g ,所以abc3k(ihg)ihg3 k2所以a 2b2c2( k i )2( k h) 2(k g)2=3k22k (i h g ) (i 2h2g 2 )=3k22k3 k (i 2h2g 2 )2=i 2h2g 2學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考所以a 2b2c2i 2h2g 2同理可證a2d 2g 2c2f 2i 2 . 從而 , 上述猜想是正確的 .第二章低階幻方2.1三階幻方三階幻方是最簡單的幻方由1,2,3,4,5

12、,6,7,8,9九個數(shù)字組成的一個三行三列的矩陣 , 其對角線 , 橫行 , 縱向的數(shù)字的和都15.我們可以這樣想： 1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10. 這每對數(shù)的和再加上 5 都等于 15, 可確定中心格應填 5, 這四組數(shù)應分別填在橫 , 豎和對角線的位置上 . 先填四個角 , 若填兩對奇數(shù) , 那么因三個奇數(shù)的和才可能得奇數(shù) , 四邊上的格里已不可再填奇數(shù) . 若四個角分別填一對偶數(shù) , 一對奇數(shù) , 也行不通 . 因此 , 判定四個角上必須填兩對偶數(shù) . 對角線上的數(shù)填好后 , 其余格里再填奇數(shù)就很容易了 ,492357816圖 2-1三階幻方的解法第一種：楊輝法

13、對洛書的構造方法“九子斜排 , 上下對易 , 左右相更 , 四維挺出” , 觀下圖 2-2 自明：194242753357868691九子斜排（ a）上下對易 , 左右相更（ b）學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考492492357357816816四維挺出（ c）四方收攏（ d）圖 2-2洛書幻方的生成第二種：九宮圖也是 3 階幻方的別稱 , 三階幻方就是著名的洛書 , 他的排列是“戴九履一 , 右三左七 , 二四為肩 , 六八為足 , 五居中央（ 9 在上中 ,1 在下中 .3 在右中 ,7 在左中 ,2 在左上 ,4 在右上 ,6 在左下 ,8 在右下）”997311戴九履一 （ 1）

14、右三右七（ 2）29429473731618二四為肩（ 3）六八為足（ 4）學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考294753861五居中央（ 5）第三種：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央, 依次向右上方斜填 , 上出框往下寫 ,右出框往左填 , 排重便在下格填 , 右上排重一個樣816357492Sn( n21) , 其中 n 為幻方的階數(shù) , 所求的數(shù)為 S .22.2四階幻方楊輝稱 4 階幻方為“花十六圖”或“四四圖”, 有陰陽兩式 . 在四階幻方中 ,一個頗為著名的幻方是印度太蘇神廟石碑上的幻方, 如圖 2-3, 它刻于十一世紀 .這個幻方中 , 不但每行每列每條對角線上的數(shù)字和為34, 而且

15、有 20 組某四行四列交叉點上的四個數(shù)字 , 它們的和也都為 34, 例如 9+2+15+8=34.更為奇妙的是把這個幻方邊上的行或列移到另一邊上去, 所得到的正方形排列仍是一個幻方49516學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考147112156103112813圖 2-3楊輝 4 階幻方四階幻方的解法：楊輝 4 階幻方的生成方法是最簡單的, 如；1) 4 階陰圖是把這 1 16 個數(shù)字按順序從上到下 , 自右至左填入 4 乘 4 的方陣 .2) 內外四個角對角上互補的數(shù)相易 ,（方陣分為兩個正方形 , 外大內小 , 然后把大正方形的四個對角上的數(shù)字對換 , 小正方形四個對角上的數(shù)字對換）即（

16、 1 ,16 ）（ 4 ,13 ）互換（ 6 ,11 ）（ 7 ,10 ）互換13951141062151173161284圖 2-4其陽圖則是將陰圖逆時針轉90°, 然后 1,2列互換 ,3,4列互換而成 .2161334951611581014711279126156103144115112813(a) 陽圖(b)陰圖學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考圖 2-5楊輝的 4 階幻另：對于 n 4k 階幻方 , 我們先把數(shù)字按順序填寫 . 寫好后 , 按 4 4把它劃分成 K K 個方陣 . 因為 n 是 4 的倍數(shù) , 一定能用 4 4 的小方陣分割 . 然后把每個小方陣的對角線

17、 , 像制作 4 階幻方的方法一樣 , 對角線上的數(shù)字換成互補的數(shù)字 , 就構成幻方 .2.3 五階幻方世界上最早出現(xiàn)的同心幻方是楊輝的“五五圖” , 其中心數(shù)是 13, 中間是一個幻和為 39 的 3 階幻方 , 整體上又是幻和為 65 的 5 階幻方 .五階幻方就是把125 個數(shù)字排列成下面的形式, 使每一行 , 每一列 , 每條對角線上的五個數(shù)字和都相等.五階幻方的解法： 1）楊輝法：九子斜排 , 上下對易 , 左右變更 , 四維突出 .1. 將 5× 5 的正方形改畫成如圖 2-6 形狀 .2. 如圖 2-7, 將 125 這二十五個數(shù)字按斜排填入圖中 .3. 如圖 2-8,

18、 將五階幻方圖外的 12 個數(shù)與圖中空格上 , 下?lián)Q位 , 左, 右換位 , 填入到 5×5 奇數(shù)階幻方圖中 .4. 如圖 2-9 擦去五階幻方圖外部分線條和數(shù)據(jù)即可圖 2-61621173學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考1612842117139522181410231915242025圖 2-7162112472031641225816421175132195221018114221023619215242025圖 2-811247203412258161751321910181142223619215圖 2-92）羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央 , 依次向右上方斜填 , 上出框

19、往下寫 , 右出框往左填 , 排重便在下格填 , 右上排重一個樣 .17241815235714164 6132022101219213學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考11182529圖 2-10（在最上一行的中間填 1, 接著在 1 的右上方填 2, 由于 1 在最上一行 , 所以 1 的右上方應該是第五行的第四個 , 接下來在 2 的右上方填 3,3 的右上方應該是第三行第一個 , 所以在此填 4, 在 4 的右上方填 5, 在 5 的下方填 6, 接著按前面五個數(shù)的填法依次填7,8,9,10;在 10 的下方填 11, 然后按上面的方法填 , 每次填五個數(shù) ,直到完成 . 無論從上到

20、下還是從左到右都是五排, 所以每排的五個數(shù)之和為(1+2+3+4+25)÷5=65, 因此 , 你可以驗算一下是否每個和都是65. 此法適合于一切奇階幻方 . ）2.4 六階幻方6 階幻方是 1 16個數(shù)字排列成下面的形式 , 使每一行 , 每一列 , 每條對角線上的六個數(shù)字和均為 111 的幻方 .六階幻方的制作步驟 ：1. 如圖 2-11, 將 1 36 這 36 個數(shù)中間的 16 個數(shù) 11 26 排成一個四階幻方 .2. 將剩余的 20 個數(shù)分成兩組 , 使相對應的兩個數(shù)的和均為 37.小數(shù)組： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10|大數(shù)組： 36,35

21、,34,33,32,31,30,29,28,27.3. 如圖 2-12, 將 1,2,35,36 分別填入四個角 .4. 如圖 2-13, 將 3,4,5,9,28,32,33,34 填入第一行和第六行 . 使第一行和第六行的六個數(shù)的和均為 111.5. 如圖 2-14, 將剩余的八個數(shù)填入第一列和第六列中 , 使每一列和每一行六個數(shù)的和均為 111, 這樣就制作成了一個六階幻方 .121125241411252414學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考2216171922161719182021151820211523131226231312263536圖 2-11圖 2-121343332

22、9213433329211252414291125241482216171930221617197182021156182021153123131216102313122627353452836353452836圖 2-13圖 2-14第三章研究某些特殊幻方的構造我們再研究幾種具有特殊性質的幻方, 即對稱幻方 , 本章主要介紹圓筒幻方和超級幻方 .3.1 對稱幻方一個 n階幻方如果其對稱于中心的兩數(shù)的和都等于n21, 則稱為對稱幻方 .例如圖 3-1 的 5 階幻方就是對稱幻方 . 易知對稱幻方中關于中心對稱的n個數(shù)的和都等于幻方常數(shù). 例如圖 3-1 中下列各組數(shù)：1724181523571

23、4164613202210121921311182529圖 3-1學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考24,1,13,15,2； 5,7,13,19,21； 24,7,13,19,2； 17,6,13,20,9；17,1,13,25,9； 24,8,13,18,2；17,15,13,11,9；5,14,13,12,21；15,5,13,21,11； 1,13,25,4,22；8,16,13,10,18；7,6,13,20,19 其和都等于 65.是否任何階數(shù)都能做出對稱幻方？如何做出對稱幻方呢？下面來分析這兩個問題 .對于奇階情形 , 依下法可以做出對稱幻方，在奇階方陣第1 行中間列上填數(shù)1（

24、參照圖 3-2 的 5 階情形） , 然后按照圓筒法則向右上方按自然數(shù)順序填數(shù), 至數(shù) n 恰與數(shù) 1 相遇 . 再在數(shù) n 的下一行同列填數(shù) n 1 , 然后按照上述方法進行填空（參照圖 3-2 ）, 直至填完 n2 個數(shù)（參見圖 3-1 ）, 得到對稱幻方 .185 74 632圖 3-2對于雙偶階的情形 , 由環(huán)形作法可知 , 凡用環(huán)形法作出的雙偶階幻方都是對稱幻方 .以四階幻方為例 , 先自左至右 , 再自右至左順序填寫 , 過半后先自右至左, 再自左至右順序填寫各數(shù)，則各列已互換了兩對數(shù). 再將中間兩列依行對稱交換,也即上下的順序顛倒過來, 則各行 , 列均已交換了兩對數(shù) , 而且由

25、于調換的行 , 列對稱 , 故兩對角線上的數(shù)仍換到原線上，于是得到的四階幻方（圖3-3 ）. 我們把它旋轉 90°得到圖 3-4.1141541312818111052711141276936101513231616954圖 3-3圖 3-4學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考圖 3-4 是用環(huán)形法做出的 4 階對稱幻方 .用調動對角線上的數(shù)到對稱位置上去的方法也可做出對稱幻方. 可以證明對于單偶階（ 2k 階,k 為奇數(shù)）情形不能做出對稱你換幻方 . 以 6 階幻方為例 . 根據(jù)對稱幻方的定義 , 若有 6 階對稱幻方 , 則應形如圖 3-5. 于是有：ABCDEFGHKLMNPQ

26、RSTV37-V 37-T37-S37-R37-Q37-P37-N37-M37-L37-K37-H37-G37-F37-E37-D37-C37-B37-A圖 3-5ABCDEF111GHKLMN111PQRSTV111AGPVNFBHQTMECKRSLD將后 5 式相加減去第 1 式得到2(GPHQKREFD111)因為上式左邊恒為偶數(shù) , 右邊為奇數(shù) , 故不可能成立 , 因此 6 階對稱幻方不存在 .同理可證明不存在單偶階對稱幻方.3.2 圓筒幻方一個 n 階幻方 , 如果不但各行各列, 而且對角線組的每條線上各數(shù)的和都等于幻方常數(shù) , 則稱為圓筒幻方 .下面討論圓筒幻方的作法:學習資料學

27、習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考1. 超馬步法作圓筒幻方先給出作 5 階圓筒幻方的馬步作法 . 圖 3-6 是 5 階自然方陣 , 第一列的數(shù)為1,6,11,16,21. 如圖 3-7 所示 , 在第一行第一列填 1. 然后依圓筒法則并按中國象棋的 馬步（向左 11 格向下 2 格）填寫 6,11,16,21 諸數(shù) . 然后由所填各行首數(shù)起按右 1 下 2 的馬步填寫其他數(shù)（如圖 3-8 所示）, 則得到 5 階圓筒幻方如圖 3-9. 它的每行 , 每列以及左右兩組 10 條對角線上每條各數(shù)的和都是 65. 把幻方左右連成圓筒 .12345167891016111213141561617181920

28、21212223242511圖 3-6圖 3-711142210181642581641226192152362151321917531172031124圖 3-8圖 3-9狀沿任一列線切開 , 或把幻方上下連成圓筒狀沿任一行線切開, 再把它鋪開 , 其圓筒幻方的性質不變 .現(xiàn)在我們用數(shù)學方法來描述走馬步的方法. 我們把向下移一格的動作叫做x ,向上移一格的動作叫做- x , 向右移一格的動作叫做y , 向左移一格的動作叫做- y . 用 p 表示向下二格向左一格的馬步 , 用 Q 表示向下二格向右一格的馬步 , 則P2xy(1)Q2 xy(2)于是有4x P Q(3)學習資料學習資料收集于網(wǎng)

29、絡，僅供參考4y 2Q 2P(4)把向右下方斜走一格叫 D , 向左下方斜走一格叫 D1 ,Dxy(5)Dxy(6)4D3QP(7)4D13P Q(8)對于 5 階情形 , 由圓筒法則 , 如果兩數(shù)之差為 5 的倍數(shù) , 則這兩數(shù)可看作是同等的.例如 4 與 -1 ,3與-2, 可以互用 . 于是 , 式（ 1）至式（ 8） 可以寫成 :P2xyQ2 xyx4P4Qy2P3QDxyD1XYDP2QD12PQ00234114324412300321330124421022401331041134022043圖 3-10注意上面的走馬步法則（參見圖3-10 ）中, 作 P 移動時五進制數(shù)的個位數(shù)數(shù)

30、字不變 , 五位數(shù)數(shù)字增加1, 而作 Q 移動時五位數(shù)數(shù)字不變, 個位數(shù)數(shù)字增加1. 因此 ,由上面的公式知向下一格 （即作 x 移動）則應由原數(shù)加五進制數(shù)44；向右一格（即作 y 移動則應加 23；向右下方斜走一格（即作 D 移動）則應加 12；向左下方斜走一格（即作 D1 移動）則應加 21；若該位數(shù)加后得到大于 4 的數(shù) , 則減去 5 使回到 0 ,1 ,2 ,3,4 的某一數(shù) . 這樣 , 由某一個數(shù)出發(fā) , 可以求出方陣內所有的數(shù) , 使方陣具備圓筒幻方的性質 . 將五進制數(shù)化十進制數(shù) , 再將每個數(shù)加 1, 則得到習慣學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考上的十進制圓筒幻方 .根據(jù)

31、上述的分析 , 我們來討論較易般的圓筒幻方的馬步作法 . 把 n 階方陣中下 移 a 格 右 移 b 格 記 為 p , 下 移 c 格 右 移 d 格 記 為 Q , 并 稱 之 為 超 馬步 . x , y , D , D1 的意義如上 . 容易推出下列公式：P ax byQcx dy(adbc) xdPbQ(adbc) ycPaQ(adbc) D(dc) P(ab)Q(adbc) D1( dc) P( ab)Q按前面公式 , 作 P 移動時 n 進制數(shù)的個位數(shù)數(shù)字不變 , n 位數(shù)數(shù)字加 1；作 Q 移動時個位數(shù)數(shù)字加 1, n 位數(shù)數(shù)字不變 . 數(shù)學上可以證明 , 當 ad bc ,

32、b, d 與 n 沒有公因子時 , 可以解得xmPnQ其中 m , n 為整數(shù) , 使下移 1 格能夠辦到 , 并且每一列上的數(shù)不論是個位還是n 都能取遍 0,1,2,3,n -1 諸數(shù) . 為使右移 , 斜移也能辦到并得到同樣性質, 還須a , d , a b , c d , a b , cd 諸數(shù)與 n 無公因子 . 因此 , 用超馬步法作 n 階圓筒幻方的條件是下列諸數(shù)與 n 無公因子 a ，b ，c ，d ，a b ，a b ，cd ，cd ，ad bc . 以 7 階圓筒幻方為例 . 取馬步為Px 4 y ，Q2x3y則 a =1， b =4 ,c =2 , d =3 , a b =

33、-3 , c d =-1 , a b =5 , c d =5 ,ad bc =-5, 滿足上面所述的條件 , 故可做出圓筒幻方如圖 3-11.00645145322613554234231004613320140165524611056256433024學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考565340342115024431251206635022160360544135圖 3-11當上述用超馬步法作圓筒幻方的條件不滿足的時候, 雖不能做出圓筒幻方, 但用適當?shù)某R步可以做出別的奇階幻方. 下面舉個例子 , 圖 3-12 是用像步法做成的5 階對稱幻方（自然方陣每行首數(shù)置數(shù)法是后一行的首數(shù)置于

34、前一行的尾數(shù)下方） .12912320181574212416131025221911863251714圖 3-12對于偶階的情形 , 上述超馬步法作圓筒幻方的條件不滿足 . 那么 , 究竟有你有偶階圓筒幻方呢？回答是肯定的 . 例如圖 3-13 就是一個 4 階圓筒幻方 . 可見上面所述的條件是12631311510814451179162圖 3-13充分而不必要的 . 當不滿足條件時 , 可用作拉丁方法作圓筒幻方.2拉丁方法作圓筒幻方用 超 馬 步 法 作 圓 筒 幻 方 , 必 須 n 與 a , b , c , d , ab , abc d , c d , ad bc 無公因子時才能做

35、出 . 因此偶階 , 3k 階等圓筒幻方不能用超馬步法做出 . 現(xiàn)在以 4 階為例 , 用拉丁方法加以研究 .學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考1）先做出左上角為1 的拉丁方如圖 3-1412341432+d341232142143234143214123（1）（ 2）12341432432141232143234134123214（3）（ 4）13241324241342313142314242312413（5）（6）14231423231441323241324114322314（7）（ 8）圖 3-142）把圖 3-14 中 8 格拉丁方兩兩組合成含兩個數(shù)字的拉丁方 , 去掉其中相同數(shù)

36、字重復出現(xiàn)的 , 余下 16 種 , 圖 3-15 種給出 8 種, 若把圖中二位數(shù)的數(shù)字位置對調 ,如把 “34”調成“ 43”, 則可得到另外 8 種（圖 3-15 中各圖下面所注數(shù)字表明由圖 3-14 中那兩圖所結合） .1124334211243243344112233441132222134431231244314332211442332114學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考（1）14（2）181112332411433224342312413422134122314413233144124314213242142133（3）23（4）2911243243114332244233

37、21144214213323124431233144123441132234221341（5）37（6）451134224311342243244113324223311433124421331244214223311424411332（7）58（8）67圖 3-153 ）作 4 階自然方陣如圖 3-16123456789 10 11 1213 14 15 16 圖 3-164 ）把圖 3-15 換算成圓筒幻方 . 換算的方法是將圖 3-15 中的兩位數(shù) i, j 換圖3-16 中第 i 行第 j 列的數(shù) . 這樣 , 圖 3-15 的 8 個圖加上其調換二位數(shù)所得的 8個圖可以換算成16 個

38、圓筒幻方 . 考慮到 (6)換位后是 (1) 的反射 ,(7) 旋轉后是 (1)的反射 ,(8) 是(3)的旋轉反射 , 共剩 10 個 4階圓筒幻方如圖 3-17.其中標有 a 的表示由原拉丁方換算得到 , 標有 b 的表示兩位數(shù)換位后再換算得到的.圖 3-17 中學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考1811141141181213271545106316969163151054127213（1）a(1)b1810151147121213361549672169105163141154811213(2)a(2)b1141181811141272131510546916363169154510

39、121327(3)a(3)b1151081127141263131569479162103165144511813211(4)a(4)b1810151147121411548112137216910516312133615496(5)a(5)b圖 3-17(4)a 與 (4)b,(5)a與(5)b 可經(jīng)反射變換互化 , 應各算一種 , 所以共得 4 階圓筒幻學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考方 8 種. 由于任一數(shù)都可以放在左上角, 故實際上共有 816128 種圓筒幻方 .3.3 超級幻方一個幻方如果既是圓筒幻方, 又是對稱幻方 , 則叫做超級幻方. 圖 3-18, 圖3-19 都是超級幻方 .作法：是置 1 于第一行中間 , 然后向下用走目字法順序填數(shù), 每填完自然方陣的一行（即 n 個數(shù)）后, 下一行的首數(shù)寫在上一行的最