2014屆步步高大一輪復(fù)習(xí)講義81

1、§8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖2014高考會(huì)這樣考1.幾何體作為線面關(guān)系的載體，其結(jié)構(gòu)特征是必考內(nèi)容；2.考查三視圖、直觀圖及其應(yīng)用復(fù)習(xí)備考要這樣做1.重點(diǎn)掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的題型；2.熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長(zhǎng)(正)方體、三棱錐等幾何體的三視圖1多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的上下底面平行，側(cè)棱都平行且長(zhǎng)度相等，上底面和下底面是全等的多邊形(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形(3)棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個(gè)多邊形相似2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到(2)

2、圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到(4)球可以由半圓或圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)得到3空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖4空間幾何體的直觀圖(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy.畫(huà)直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)O，使xOy45°，它們確定的平面表示水平平面；(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x軸和

3、y軸的線段；(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形2 正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫作正棱錐特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體反過(guò)來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心3空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，主視圖和左視圖的“高平齊”，主視圖和俯視圖的“長(zhǎng)對(duì)正”，左視圖和俯視圖的“寬相等”其中，主視圖、左視圖的高就是空間幾何體的

4、高，主視圖、俯視圖中的長(zhǎng)就是空間幾何體的最大長(zhǎng)度，左視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度要盡量按照這個(gè)規(guī)則畫(huà)空間幾何體的三視圖1利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的以下結(jié)論，正確的是_(寫(xiě)出所有正確的序號(hào))三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；圓的直觀圖是橢圓；菱形的直觀圖是菱形答案解析正確；由原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知正確；但是原圖形中垂直的線段在直觀圖中一般不垂直，故錯(cuò)；正確；中原圖形中相等的線段在直觀圖中不一定相等，故錯(cuò)誤2一個(gè)幾何體的主視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))三棱錐；四棱錐；三棱柱；

5、四棱柱；圓錐；圓柱答案解析存在可以得主視圖為三角形的情況；四棱錐，若底面是矩形，有一側(cè)棱垂直于底面可以得主視圖為三角形；三棱柱，把側(cè)面水平放置，正對(duì)著底面看，得主視圖為三角形；四棱柱，不論從哪個(gè)方向看都得不出三角形；圓錐的底面水平放置，主視圖是三角形；圓柱從不同方向看是矩形或圓，不可能是三角形3用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A圓柱 B圓錐C球體 D圓柱、圓錐、球體的組合體答案C解析當(dāng)用過(guò)高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面4(2012·湖南)某幾何體的主視圖和左視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()

6、答案C解析根據(jù)幾何體的三視圖知識(shí)求解由于該幾何體的主視圖和左視圖相同，且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無(wú)實(shí)線和虛線，因此俯視圖不可能是C.5.如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊邊長(zhǎng)分別為3和4，過(guò)直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長(zhǎng)為4，且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是()答案B解析通過(guò)觀察圖形，三棱錐的主視圖應(yīng)為高為4，底面邊長(zhǎng)為3的直角三角形題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1設(shè)有以下四個(gè)命題：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；直四棱柱是直平行六面體；棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)其中真命題的序號(hào)是_思維啟迪：利用有關(guān)幾何體的概念判斷所給命題的真假答案解析命題符合平行六面體的

7、定義，故命題是正確的底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是錯(cuò)誤的因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅危拭}是錯(cuò)誤的命題由棱臺(tái)的定義知是正確的探究提高解決該類(lèi)題目需準(zhǔn)確理解幾何體的定義，要真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并且學(xué)會(huì)通過(guò)反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，設(shè)法舉出一個(gè)反例即可 以下命題：以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案B解析命題錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐命題錯(cuò)

8、，因這腰必須是垂直于兩底的腰命題對(duì)命題錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才行題型二幾何體的三視圖例2如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是()思維啟迪：對(duì)于三視圖的有關(guān)問(wèn)題，一定要抓住“投影”這個(gè)關(guān)鍵詞，把握幾何體的形狀答案C解析若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)A，則該幾何體的體積為1，不滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)B，則該幾何體的體積為，不滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C，則該幾何體的體積為，滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)D，則該幾何體的體積為，不滿足題意故選C.探究提高對(duì)于幾何體的三視圖，要注意以下幾點(diǎn)：三視圖的排放位置主視圖、左視圖

9、分別放在左、右兩邊，俯視圖放在主視圖的下邊注意實(shí)虛線的區(qū)別畫(huà)三視圖的規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正，寬平齊，高相等 一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的主視圖與左視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()答案C解析由三視圖中的正、左視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為C.題型三空間幾何體的直觀圖例3已知ABC的直觀圖ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求原ABC的面積思維啟迪：按照直觀圖的畫(huà)法，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系將三角形ABC還原，并利用平面幾何的知識(shí)求出相應(yīng)的線段、角，求解時(shí)要注意線段和角的變化規(guī)律解建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy，ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，AB邊在x軸上，把y軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45&#

10、176;得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC2OC，A、B點(diǎn)即為A、B點(diǎn)，長(zhǎng)度不變已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以O(shè)Caa，所以原三角形ABC的高OCa，所以SABC×a×aa2.探究提高對(duì)于直觀圖，除了了解斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則外，還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S之間的關(guān)系SS，并能進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算 正三角形AOB的邊長(zhǎng)為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是_答案a2解析正三角形AOB的面積為a2，其直觀圖的面積為原圖形面積的倍，故它的直觀圖的面積等于·a2a2.三視圖識(shí)圖不準(zhǔn)確致誤典例：(5分)一個(gè)空間幾何體的三視圖，如圖所示，則這個(gè)

11、空間幾何體的表面積是_易錯(cuò)分析不能把三視圖反映出的空間幾何體的形狀、大小準(zhǔn)確的還原出來(lái)審題視角由三視圖還原成直觀圖或幾何體，要注意幾何體的不同放置；結(jié)合三視圖的規(guī)則綜合考慮，正確得到原幾何體解析這是一個(gè)由軸截面割開(kāi)的半個(gè)圓柱與一個(gè)球的組合體，其表面積是圓柱的上下兩個(gè)底面半圓、圓柱的側(cè)面積的一半、圓柱的軸截面和球的表面積之和，故這個(gè)表面積是2×××12×2×1×22×24×244.答案44溫馨提醒在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不

12、可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以主視圖和俯視圖為主，結(jié)合左視圖進(jìn)行綜合考慮方法與技巧1棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決2旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開(kāi)圖形狀3三視圖畫(huà)法：(1)實(shí)虛線的畫(huà)法：分界線和可見(jiàn)輪廓線用實(shí)線，看不見(jiàn)的輪廓線用虛線；(2)理解“長(zhǎng)對(duì)正、寬平齊、高相等”4直觀圖畫(huà)法：平行性、長(zhǎng)度兩個(gè)要素失誤與防范1臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行2注意空間幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響3能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖；也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖，提升空間想象能力A

13、組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1給出四個(gè)命題：各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體；有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長(zhǎng)方體一定是正四棱柱其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案A解析反例：直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長(zhǎng)方體；顯然錯(cuò)誤，故選A.2(2012·福建)一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()A球 B三棱錐 C正方體 D圓柱答案D解析考慮選項(xiàng)中幾何體的三視圖的形狀、大小，分析可得球、正方體

14、的三視圖形狀都相同、大小均相等，首先排除選項(xiàng)A和C.對(duì)于如圖所示三棱錐OABC，當(dāng)OA、OB、OC兩兩垂直且OAOBOC時(shí)，其三視圖的形狀都相同，大小均相等，故排除選項(xiàng)B.不論圓柱如何設(shè)置，其三視圖的形狀都不會(huì)完全相同，故答案選D.3(2011·課標(biāo)全國(guó))在一個(gè)幾何體的三視圖中，主視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的左視圖可以為()答案D解析由幾何體的主視圖和俯視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其左視圖可以是一個(gè)由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形，故應(yīng)選D.4如圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()答案D解析由俯視圖可知是B和D中的一個(gè)，由主視圖和左視圖可知

15、B錯(cuò)二、填空題(每小題5分，共15分)5一個(gè)三角形在其直觀圖中對(duì)應(yīng)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，原三角形的面積為_(kāi)答案解析由斜二測(cè)畫(huà)法，知直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其原圖是一個(gè)底為1，高為的三角形，所以原三角形的面積為.6.如圖所示，E、F分別為正方體ABCDA1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投影是_(填序號(hào))答案解析四邊形在面DCC1D1上的投影為，B在面DCC1D1上的投影為C，F(xiàn)、E在面DCC1D1上的投影應(yīng)在邊CC1與DD1上，而不在四邊形的內(nèi)部，故錯(cuò)誤7圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20 cm3的幾何體的三視圖，則h

16、_cm.答案4解析如圖是三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖，這是一個(gè)三棱錐，其中SA平面ABC，BAAC.由于VSABC·h××5×6×h5h，5h20，h4.三、解答題(共22分)8(10分)一個(gè)幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，求這個(gè)幾何體的表面積解這個(gè)幾何體是一個(gè)圓臺(tái)被軸截面割出來(lái)的一半根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為，母線長(zhǎng)為2，幾何體的表面積是兩個(gè)半圓的面積、圓臺(tái)側(cè)面積的一半和軸截面的面積之和，故這個(gè)幾何體的表面積為S×12×22×(12)×2×(24)×3.9(

17、12分)已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為30 cm和20 cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高解如圖所示，正三棱臺(tái)ABCA1B1C1中，O、O1分別為兩底面中心，D、D1分別為BC和B1C1的中點(diǎn)，則DD1為棱臺(tái)的斜高由題意知A1B120，AB30，則OD5，O1D1，由S側(cè)S上S下，得×(2030)×3DD1×(202302)，解得DD1，在直角梯形O1ODD1中，O1O4，所以棱臺(tái)的高為4 cm.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1(2011·山東)右圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形，給定下列三

18、個(gè)命題：存在三棱柱，其主視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其主視圖、俯視圖如右圖；存在圓柱，其主視圖、俯視圖如右圖其中真命題的個(gè)數(shù)是()A3 B2C1 D0答案A解析底面是等腰直角三角形的三棱柱，當(dāng)它的一個(gè)矩形側(cè)面放置在水平面上時(shí)，它的主視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此正確；若長(zhǎng)方體的高和寬相等，則存在滿足題意的兩個(gè)相等的矩形，因此正確；當(dāng)圓柱側(cè)放時(shí)(即左視圖為圓時(shí))，它的主視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此正確2.一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、左視圖如圖所示，則其俯視圖為()答案C解析依題意可知該幾何體的直觀圖如下圖所示，故其俯視圖應(yīng)為C.3在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，過(guò)對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，得四邊形BFD1E，給出下列結(jié)論：四邊形BFD1E有可能為梯形；四邊形BFD1E有可能為菱形；四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；四邊形BFD1E面積的最小值為.其中正確的是()A BC D