關(guān)于中考中投影類題目探究

1、關(guān)于中考中“投影”類題目探究江蘇興化林湖中心校 王仁山 摘 要：探究“投影”類題目其解題的對(duì)應(yīng)方法有三種：第一利用同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比解；第二構(gòu)建相似三角形利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解；第三構(gòu)建直角三角形用三角函數(shù)解。關(guān) 鍵 詞：中考、“投影”類題目 、探究 “投影”類題目在近幾年數(shù)學(xué)中考中作為又一個(gè)亮點(diǎn)出現(xiàn)，它是現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材新增的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其解題要領(lǐng)是抓住某一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的變化規(guī)律，應(yīng)用所學(xué)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。為幫助同學(xué)把握“投影”的實(shí)質(zhì)，筆者通過(guò)對(duì)近幾年來(lái)數(shù)學(xué)中考題的分析，來(lái)探究“投影”類中考題的變化，并對(duì)其進(jìn)行歸類分析： 探究一：運(yùn)用成比例求高“投影”類題 題型1 （200

2、8年紹興市）興趣小組的同學(xué)要測(cè)量樹的高度在陽(yáng)光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的竹竿的影長(zhǎng)為，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長(zhǎng)為，一級(jí)臺(tái)階高為，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為，則樹高為（ ）ABCD 分析 由題意畫下圖，可知樹的影長(zhǎng)有三部分BE、DE和CD.延長(zhǎng)CD交AB于F后，就將樹的這三部分影長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩部分高BF和影長(zhǎng)CF。 因?yàn)橛删匦蔚男再|(zhì)得：BE=DF=, BF=DE= 所以CF=+= 再利用= 求出AF= 最后求出樹高 AB=AF+BF= 因此選C. 題型2 （2007年寧波市）如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B

3、是CD的中點(diǎn)，CD是水平的，在陽(yáng)光的照射下，塔影DE留在坡面上已知鐵塔底座寬CD=12 m，塔影長(zhǎng)DE=18 m，小明和小華的身高都是，同一時(shí)刻，小明站在點(diǎn)E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長(zhǎng)分別為2m和1m，那么塔高AB為( )(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m 分析 本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，理解鐵塔的影子是由坡面DE與平地BD兩部分組成。由投影成比例經(jīng)驗(yàn)得： = = 設(shè)塔影留在坡面DE部分的塔高為h1 ,塔影留在平地BD部分高為h2 探究二：根據(jù)相似三角形求高“投影”類題題型1 （2008聊城市）如圖，路燈（點(diǎn)）距地面8米，身高的小明從距

4、路燈的底部（點(diǎn) ）20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了還是變短了？變長(zhǎng)或變短了多少米？分析 解此題的基本思路是在讀懂題目的基礎(chǔ)上，把復(fù)式的幾何圖形拆分成單一的幾何圖形，弄清小明站在A點(diǎn)的影長(zhǎng)是AM,站在B點(diǎn)的影長(zhǎng)是BN,兩者的差即為問(wèn)題的答案。運(yùn)用相似形性質(zhì)分別解出AM,BN.POBNAM解答：，即解得同樣由可求得所以，小明的身影變短了題型2 （2009年江西?。﹩?wèn)題背景 在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量.下面是他們通過(guò)測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖1，測(cè)得一根直立于平地，長(zhǎng)為80cm的竹竿的影長(zhǎng)為60cm.乙組

5、：如圖2，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm.丙組：如圖3，測(cè)得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm，影長(zhǎng)為156cm.任務(wù)要求（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽(yáng)光線與相切于點(diǎn).請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長(zhǎng)等于線段的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采用等式）.DDFE900cm圖2BCA60cm80cm圖1GHNE156cmMEOE200cm圖3KE分析 此題先由相似形性質(zhì)解出DE,GN的長(zhǎng)。在解（2）時(shí)運(yùn)用勾股定理解出HN的長(zhǎng)，再連接OM,運(yùn)用圓的切線性質(zhì)可知OMNHGN用相似比解出圓的半徑r

6、 解答：（1）由題意可知：即DE=1200（cm）所以，學(xué)校旗桿的高度是12m （2）解：與類似得：即GN=208在中，根據(jù)勾股定理得：NH=260設(shè)的半徑為rcm，連結(jié)OM，NH切于M，則又又解得：r=12所以，景燈燈罩的半徑是12cmDDFE900cm圖2BCA60cm80cm圖1圖3GHNE156cmMEOE200cmKE探究三： 利用三角函數(shù)求高“投影”類題題型一 （2007年南寧市）如圖所示，點(diǎn)表示廣場(chǎng)上的一盞照明燈（1）請(qǐng)你在圖中畫出小敏在照明燈照射下的影子（用線段表示）；（2）若小麗到燈柱的距離為，照明燈到燈柱的距離為，小麗目測(cè)照明燈的仰角為，她的目高為，試求照明燈到地面的距離（

7、結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，）小敏小麗AMP燈柱分析 此題目的解題思路是構(gòu)造成直角三角形再利用三角函數(shù)求解。即以Q點(diǎn)作水平線，以P點(diǎn)作垂線構(gòu)成RtPDQ用三角函數(shù)求出PD，則PD+QB就是照明燈到地面的距離。解答：（1）如下圖線段是小敏的影子。小麗燈柱小敏（2）過(guò)點(diǎn)Q作QEMO于E，過(guò)點(diǎn)P作PFAB于F，交EQ于D，則PFEQ DQ=EQED=4.51.5=3（米） 在RtPDQ中，（米） DF=QB= PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（米）答：照明燈到地面的距離為 題型二 （2006蘇州市）如圖，在一個(gè)坡角為的斜坡上有一棵樹，高為當(dāng)太陽(yáng)光與水平線成時(shí)，測(cè)得該樹在斜坡上的樹影的長(zhǎng)為，求樹高（精確到）分析 此題目的解題思想是要避開斜坡構(gòu)造直角三角后，利用三角函數(shù)求解。如下圖過(guò)C作水平線交AB的延長(zhǎng)線于D,分別構(gòu)成RtCBD和 RtCDB。求出AD,BD長(zhǎng),則樹高為AD-BD.解答：如下圖，過(guò)點(diǎn)作水平線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，在中，在中， 答：樹高約為 由上述分析可知，“投影”類題目其解題的對(duì)應(yīng)方