數(shù)列求和7種方法(方法全,例子多)

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常

2、用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法221、等差數(shù)列求和公式:Snn(a an)2nain(n 1)d2、等比數(shù)列求和公式:Snna1a1(1 qn)(q i)3、nSnkk 11n(n 21)5、nSnk3k 1122n(n 1)例1已知log3 X,求log 2 3aianq1 q4、Sn(qnk21的前1)1 n(n 1)(2n 1)6n項和.解：由log3 Xlog 2 3log 3 xlog 32由等比數(shù)列求和公式得Sn（利用常用公式）例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ - +n, nC N*,求 f (n)解：由等差數(shù)列求和公式得Snf(n)Sn(n 32)Sn 1n 3464

3、當(dāng) n n f,即- 8x(1 xn1 x）_2（1Sn(n 32)Sn 11 ,/、-n(n 1),2nn2 34n 6418 )2n50n=8 時，f (n)max5012)1-=1 -2n的最大值.50（利用常用公式）題1.等比數(shù)列的前n項和Sn=2n- 1 ,則題 2 .若 12+2 2+ -(n-l) 2= an3+ bn 2+ cn ,貝U a=,b =,c=二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an - bn的前項和，其中 an 、 bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.23n 1例 3求和：Sn 1 3x 5x 7x (2n 1)x

4、解：由題可知，(2n 1)xn 1的通項是等差數(shù)列設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 x)Sn2n 1的通項與等比數(shù)列 xn 1的通項之積1)xn(設(shè)制錯位)2x42xn 1 (2n 1)xn(錯位相減)1 xn 1n1 2x (2n 1)xn1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)22n2n，前n項的和.24 6例4求數(shù)列一，f，丁2 22 232n 1解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積22設(shè)Sn2222T2362n2n2n得(1232)sn22T12

5、 n 12n 122T3 T4222n2n 12 2nn . n 122（設(shè)制錯位）（錯位相減）練習(xí)題1 已知答案:Sn,求數(shù)列 an的前n項和Sn.練習(xí)題 2n 項和為答案：三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)數(shù)列相加，就可以得到n 個 (a1 an ) .例 5 求證：Cn0 3Cn1 5Cn2(2n 1)Cnn (n 1)2n證明：設(shè) Sn C0 3C： 5c2(2n 1)C： .把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn (2n 1)Cnn (2n 1)Cnn 13Cn1 Cn0又由Cnm Cnn m 可得,再把它與原(反序)01n1 nSn(2

6、n1)Cn(2n 1)Cn3Cn Cn . +得2Sn(2n2)(Cn0 Cn1 Cnn1 Cnn)2(n 1) 2n (反序相加)Sn (n 1) 2n例6 求 sin 2 1sin2 2sin2 3 sin 288sin 289的值解：設(shè) Ssin21sin2 2sin2 3sin 2 88 sin2 89 將式右邊反序得22222S sin 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin 1 .22又因為 sin x cos(90 x), sin x cos x 1 + 得(反序相加)2222222S (sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 ) (sin 89 cos

7、 89 )=89（反序相加）（反序）（反序相加）題 1 已知函數(shù)S= 44.51 ）證明：（ 2）求解： 1 ）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊（ 2）利用第1 ）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，.= 右邊兩式相加得：練習(xí)、求值:所以1 c - F 3n 2, 一 a1$ 3n 2) a四、分組法求和 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可11例7求數(shù)列的前n項和：1 1,- 4, 7, a a11解：設(shè) Sn (1 1) ( 4) (-2 7)aa將其每一項拆開再重新組合得1Sn (1 一 a當(dāng) a=

8、 1 時，Sn n1F) (14 7 a(3n 1)n(3n 1)n=223n 2)(分組)(分組求和)1 A當(dāng) a 1 時，sna_1 1 a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.(3n 1)n(3n 1)n2解：設(shè) akk(k 1)(2k 1)2k33k2nSn k(k 1)(2k k 11)n(2 k313k2k)將其每一項拆開再重新組合得n3Sn= 2 kk 1k2（分組）= 2(13233 n )3(122n2)(1 2n)2/n (nI 1)22n(n 1)(2n 1)n(n21)（分組求和）n(n 1)2(n22)五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂

9、項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cosn cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)an(2n)2(2n 1)(2n 1)111 (2 2n 112n 1)(5)(6)(7)(8)anananan n(n 1)(n 2)2 n(n 1)n 21n(n 1) 2n2(n 1) nn(n1)(n12n(An B)(An C)1n 2n 11(n 1)2n，則 Sn 11(n 1)2nC B(An B六）11例9例 10例 11解:1求數(shù)歹 U，一

10、，一, ，2 .2.3. n:設(shè)an則Sn(2.1) (、,3在數(shù)列an中,解:bn求證:an.2), 的前n項和.n 1（裂項）（裂項求和），又bn一2一，求數(shù)列a n a n 1bn的前n項的和.n n 2 數(shù)列b n的前Sn8(1= 8(1cos0 cos1cos0 cos1sin1cosn cos(n 1)cos0 cos11 ， (tan 1sin 11(tan 89sin 1原等式成立12n項和1(21)nn 11)（裂項）13)8nn 11(314)（裂項求和）cos1 cos2cos88 cos89cos1. 2 .sin 1cos1 cos2tan(n 1)tan ncos1

11、 cos2tan 0 ) (tan 2，-、1tan 0 )=sin 1cos88 cos89（裂項）（裂項求和）cos88 cos89tan1 ) (tan 3cos1 cot 1 = 2- sin21tan 2 ) tan 89 tan88 24練習(xí)題1.答案：練習(xí)題2。25答案：六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + cos178 + cos179 的值.解：設(shè) Sn= cos1 + cos2 + cos3 + cos178

12、 + cos179cosncos(180 n )（找特殊性質(zhì)項） Sn= (cos1 + cos179 ) + ( cos2 +cos178) + ( cos890+ cos91) + cos90(cos3 + cos177 ) + (合并求和)例13 數(shù)列an：a1 1,a23,a32,an 2an 1an ，求S2002.解：設(shè)S20O2= a1 a2a3a20021, a23,a32,an 2 an 1a n 可得a41, a53,a62,a71,a8 3,a92, a101, a113,a122,a6k 1 1, a6k3,a6k 32,a6k 41,a6k 53, a6k 6a6k

13、1 a6ka6k3a6ka6k 5a6k 6（找特殊性質(zhì)項）S2002= a1a2a3a2002（合并求和）29例14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若練習(xí)、求和：(a1 a2 a3(a1993a1999a2000a6) (a7 a8 a12 )a1994a2001a2002(a6k 1a1998 )a1999 a2000 a2001a6k 2a2002a6k 6 )a6k 1a6k 2a6ka6k 4解：設(shè)Snlog 3 a1 log 3 a2mn pq和對數(shù)的運算性質(zhì)loga M logaSn(log 3 a1(log 3 a1log 3 910a5a69,求 log3a1 log3 a2l

14、og 3 a10 的值.log3a10)(log3a2a10) (log3a2 a9)log39log39log 3 a10aman apaqlogaM Nlog3 a9)(log 3 a5(log3a5log3 a6)a6)（找特殊性質(zhì)項）（合并求和）練習(xí)題1設(shè)則答案： 2練習(xí)題 2.若 Sn=1-2+3-4+(-1) n-1 n ,則 S17+S33+ S 50 等于 ()31A.1B.-1C.0D .234答案:解：對前n項和要分奇偶分別解決， 即：Sn=練習(xí)題 31002-992+98 2-97 2+-22-12 的值是A.5000B.5050C.10100D.20200+(2+1)=

15、5050.答案：B解：并項求和，每兩項合并，原式 =(100+99)+(98+97)+七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來 求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例 15求 1 11 111111 1之和.n個1,，1 解：由于1111 999619k個19 ,10k 1)9(找通項及特征)(分組求和)1 11 111111 1n個11112=-(101) -(101)99=1(101 102 10391(103 1)1(10n 1)9910n) 1(1 1 11)9n個11 10(10n 1)910 1=(10n 181109n)例16已知數(shù)列an:an(n81)(n一,求3) n(n 1)(anan 1)的值.1解：丁 (n 1)(anan 1)8(n1)(n 1)(an an 1)1提高練習(xí)：1.已知數(shù)列設(shè)數(shù)列anbn(n 1)(n1(n 2)(n1(一n1=4 (一3_ 13一34)3)(n1-7)，)4)(n 2)(n 4)18( n(找通項及特征)(設(shè)制分組)(裂項)中，Sn是其前n項和，并且Sn 1)(分組、裂項求和)4anan 1 2an(n 1,2,)，求證：數(shù)列2(n 1,2,L),a1 1