高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 直線、圓的位置關(guān)系學(xué)案 理 新人教A版

1、學(xué)案50直線、圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.在學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想自主梳理1直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系有三種：_、_、_.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：(1)代數(shù)法：利用判別式，即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組消去x或y整理成一元二次方程后，計(jì)算判別式(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr_.2圓的切線方程若圓的方程為x2y2r2，點(diǎn)P(x0，y0)在圓上，則過P點(diǎn)且與圓x2y2r2相切的切線方程為_注：點(diǎn)P必須在圓x2y2r2上經(jīng)過圓(

2、xa)2(yb)2r2上點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為_3計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算(2)代數(shù)方法運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式|AB|xAxB|.說明：圓的弦長、弦心距的計(jì)算常用幾何方法4圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：_、_、_、_、_.判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法：(幾何法)設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑為r1、r2 (r1r2)，則|O1O2|r1r2_；|O1O2|r1r2_；|r1r2|O1O2|r1r2_；|O1O2|r1r2|_；0|O1O2|0)的公共弦的長為2，則a_.7(2

3、011三明模擬)已知點(diǎn)A是圓C：x2y2ax4y50上任意一點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于直線x2y10的對稱點(diǎn)也在圓C上，則實(shí)數(shù)a_.8(2011杭州高三調(diào)研)設(shè)直線3x4y50與圓C1：x2y24交于A，B兩點(diǎn)，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點(diǎn)在圓C1的劣弧上，則圓C2的半徑的最大值是_三、解答題(共38分)9(12分)圓x2y28內(nèi)一點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)P的直線l的傾斜角為，直線l交圓于A、B兩點(diǎn)(1)當(dāng)時，求AB的長；(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時，求直線l的方程10(12分)(2011湛江模擬)自點(diǎn)A(3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y24x4y

4、70相切，求光線l所在直線的方程11(14分)已知兩圓x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求：(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？(3)m45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長學(xué)案50直線、圓的位置關(guān)系自主梳理0xy0yr2(x0a)(xa)(y0b)(yb)r24.(1)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含(2)(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0自我檢測1A2.D3.B4.B5.B課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)過點(diǎn)P作圓的切線有三種類型：當(dāng)P在圓外時，有2條切線；當(dāng)P在圓上時，有1條切線；當(dāng)P在圓內(nèi)時，不存在(2)利用待定系數(shù)法設(shè)圓

5、的切線方程時，一定要注意直線方程的存在性，有時要進(jìn)行恰當(dāng)分類(3)切線長的求法：過圓C外一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為M，半徑為R，則|PM|.解(1)將圓C配方得(x1)2(y2)22.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時，設(shè)直線方程為ykx，由，解得k2，得y(2)x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時，設(shè)直線方程為xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直線方程為xy10，或xy30.綜上，圓的切線方程為y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.(2)由|PO|PM|，得xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130.即點(diǎn)P在直線l：2x4y30上當(dāng)|PM|取最小值時，即OP取得

6、最小值，直線OPl，直線OP的方程為2xy0.解方程組得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.變式遷移1解設(shè)圓切線方程為y3k(x2)，即kxy32k0，1，k，另一條斜率不存在，方程為x2.切線方程為x2和3x4y60.圓心C為(1,1)，kPC2，過兩切點(diǎn)的直線斜率為，又x2與圓交于(2,1)，過切點(diǎn)的直線為x2y40.例2解題導(dǎo)引(1)有關(guān)圓的弦長的求法：已知直線的斜率為k，直線與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，點(diǎn)C到l的距離為d，圓的半徑為r.方法一代數(shù)法：弦長|AB|x2x1|；方法二幾何法：弦長|AB|2.(2)有關(guān)弦的中點(diǎn)問題：圓心與弦的中點(diǎn)連線和已知直線垂直，利用這條性質(zhì)可確定某些等

7、量關(guān)系解(1)方法一如圖所示，|AB|4，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CDAB，連接AC、BC，則|AD|2，|AC|4，在RtACD中，可得|CD|2.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y5kx，即kxy50.由點(diǎn)C到直線AB的距離公式，得2，解得k.當(dāng)k時，直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x0.所求直線的方程為3x4y200或x0.方法二當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y5kx，即ykx5.聯(lián)立直線與圓的方程消去y，得(1k2)x2(42k)x110.設(shè)方程的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得

8、由弦長公式，得|x1x2|4.將式代入，解得k，此時直線方程為3x4y200.又k不存在時也滿足題意，此時直線方程為x0. 所求直線的方程為x0或3x4y200.(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，則CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.變式遷移2(1)證明由kxy4k30，得(x4)ky30.直線kxy4k30過定點(diǎn)P(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)224.直線和圓總有兩個不同的交點(diǎn)(2)解kPC1.可以證明與PC垂直的直線被圓所截得的弦AB最短，因此過P點(diǎn)斜率為1的直線即為所求

9、，其方程為y3x4，即xy10.|PC|，|AB|22.例3解題導(dǎo)引圓和圓的位置關(guān)系，從交點(diǎn)個數(shù)也就是方程組解的個數(shù)來判斷，有時得不到確切的結(jié)論，通常還是從圓心距d與兩圓半徑和、差的關(guān)系入手解對于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.(1)如果C1與C2外切，則有32.(m1)2(m2)225.m23m100，解得m5或m2.(2)如果C1與C2內(nèi)含，則有32.(m1)2(m2)21，m23m20，得2m1，當(dāng)m5或m2時，圓C1與圓C2外切；當(dāng)2m0，b26b90，解得33b0.即直線AB的方程為xy40，或xy10.變式遷移4解(1)方法

10、一直線l過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k，直線l的方程為ykx1.將其代入圓C：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由題意：4(1k)24(1k2)70，得k.方法二同方法一得直線方程為ykx1，即kxy10.又圓心到直線距離d，d1，解得k.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由得，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812k1(經(jīng)檢驗(yàn)符合題意)，k1.課后練習(xí)區(qū)1C2.C3.D4.A5.D9解(1)當(dāng)時，kAB1，直線AB的方程為y2(x1)，即xy10.(3分)故圓心(0,0)到AB的距離d，從而弦長|AB|2 .(6分)(2)設(shè)A(x1，y1)，

11、B(x2，y2)，則x1x22，y1y2兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kAB.(10分)直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.(12分)10.解已知圓C：x2y24x4y70關(guān)于x軸對稱的圓為C1：(x2)2(y2)21，其圓心C1的坐標(biāo)為(2，2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切(4分)設(shè)l的方程為y3k(x3)，則1，(8分)即12k225k120.k1，k2.則l的方程為4x3y30或3x4y30.(12分)11解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圓心分別為M(1,3)，