平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下課件

1、平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)的分析平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)的分析 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng) 頻率響應與脈沖響應頻率響應與脈沖響應 線性系統(tǒng)的輸出均值函數(shù)和輸出相關函數(shù)線性系統(tǒng)的輸出均值函數(shù)和輸出相關函數(shù) 線性系統(tǒng)的譜密度線性系統(tǒng)的譜密度平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng) 系統(tǒng)：對各種輸入按一定的要求產(chǎn)生輸出的裝置。 如放大器，濾波器, 無源網(wǎng)絡等。 設系統(tǒng)的輸入為x(t)，系統(tǒng)的作用為L，輸出為y(t)，則有 y(t)=Lx(t) 其中，“L”稱為算子，可以是加法、乘法、微分、加法、乘法、微分、積分和微分方程求解等數(shù)學運算積分和微分方程求解等數(shù)學運算。平穩(wěn)過程通過

2、線性系統(tǒng)下線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng) 對一個系統(tǒng)，若算子是線性的則稱該系統(tǒng)是線對一個系統(tǒng)，若算子是線性的則稱該系統(tǒng)是線性的。性的。 ,1122121212Ly (t)= Lx (t),y (t)= Lx (t)Lax (t)+bx (t) = aLx (t)+bLx (t) = ay (t)+by (t).定義: 稱算子 為，如果它滿足以下條件:若則對任意常數(shù) 、 有：線性算子( ) 2dx(t)ddy(t)=x tLdtdtdty(t)= x(t)L例：=算子 是線性算子。例：算子 不是線性算子。平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)( )tLy(t) L x(t)y(t+)x

3、(t+)dLdtLdu定義：若系統(tǒng) 有= ，并對任一時間平移 都有：=L，稱該系統(tǒng)為。如果系統(tǒng)是線性的，則該系統(tǒng)稱為線性時不變系統(tǒng)。例：微分算子 =是線性時變統(tǒng)時不變的。例：積分算子 =是線性時不變的。不不系系平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下ttt1 1221122: ( ) ( )( ),:( )( )( )( ) ()( )() ( ) (tttty tL x ta x ua x u duax u duxax u dLuL x tLx u duLx uduu dduuy t解：例：積分算子 =是線性時已不變的則。知（）平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下頻率響應函數(shù)和脈沖響應函數(shù)頻率響應函數(shù)和脈沖響應函數(shù) 脈沖響

4、應函數(shù)：( ) ( )( ) (1)-x(t)=x() (t -)d .y tL x tLy tLx() (t -)dx()L(t -) d 根據(jù) 函數(shù)的性質，可得：由于中的 只對時間函數(shù)進行運算，將上式代入得： 平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下頻率響應和脈沖響應頻率響應和脈沖響應 脈沖響應函數(shù)：().( )() ( )( )( )()( ) (2)(2)( )-h tL(t -)y tx()h tdx tty t()h tdh th t 令，則 當輸入函數(shù)為脈沖函數(shù)時，式表明是輸入脈沖沖擊函數(shù)時的輸出，故稱其為系脈沖響統(tǒng)的應函數(shù)。平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下頻率響應和脈沖響應頻率響應和脈沖響應 對(1)式作

5、一些變換，可得： 上面兩式從時域描述了系統(tǒng)輸入和輸出間的關系，表明線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入和脈沖響應的卷積，即,( )()( )( )u tu-y tx( )h tdy tx(t)hd ( )( )( )y th tx t平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下頻率響應和脈沖響應頻率響應和脈沖響應222()()6( )( ): ( )( ) t0tututy tx u eduh tu edue例 ： 求 系 統(tǒng)的 脈 沖 響 應 。解平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下頻率響應和脈沖響應頻率響應和脈沖響應脈沖響應的傅氏變換：( )( )( )( )( )( )( )1( )( )2i ti th th t dth tHh

6、 t edth tHh tHed 如果線性時不變系統(tǒng)的沖擊響應函數(shù)絕對可積，即 則系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)是沖擊響應函數(shù)的傅氏變換，即而是的傅氏反變換，即 平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下頻率響應和脈沖響應頻率響應和脈沖響應 輸入x(t)和輸出y(t)的傅氏變換： 輸入頻譜X(w)和輸出頻譜Y(w)有下列關系：Y(w)=H(w)X(w). 它從頻域角度給出了系統(tǒng)輸入和輸出的關系。( )( )1()( )( )()21()( )( )()2ititititx ty tXx t edtx tXedYy t edty tYed如果和都滿足傅氏變換條件，則有下列傅氏變換對：， ，平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)輸出的均

7、值和相關函數(shù)線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù) 問題問題?平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù)線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù)12 ( ) ( )( ) ( , )( ) ( )()xxYxYXX(t)mRm tmh u duR t th u h v Ruv dudv若輸入信號為平穩(wěn)過程，輸出也（1） 設輸入平穩(wěn)過程的均值和相關函數(shù)與輸出過 程的均值， 相關函數(shù)為，則輸出過程 的均值和相關函數(shù)分別為為平穩(wěn)過程。：常數(shù)；12 ( ), ().YRtt平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下00000( )( )() ( ) () ( )()( )*( ),( ).( )( )()( )YxxxxYxxm tE

8、hX tdhE X tdhm tdh tm tm tmm thm tdmhd當輸入信號為平穩(wěn)隨機過程時為常數(shù)則:常數(shù)證明：證明：平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下12121200120 00 012120 0( , ) ( ) ( )(u)(u) u(v)(v) v E(u) (v)(u)(v) udv (u) (v)udv (u) ()()(, )v)udvYXE X tu XR t tE Y t Y tEhX tdhX tdhhX tX tdhhdhhttdvRtuv 當輸入信號為平1221120 0(, )()(), . ( , )(u)()(v)udvXXXXYRRtu tvRttuvRuvRut

9、hhvtd 穩(wěn)隨機過程時為常數(shù)則:平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù)線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù)若輸入平穩(wěn)過程X(t)遍歷，則輸出平穩(wěn)過程Y(t)也遍歷（2） 。 證明證明:平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù)線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù) 說明：說明：1. 當輸入過程X(t)平穩(wěn)時，其輸出的均值EY(t)為常數(shù)。相關函數(shù) RY(t1 , t2)=RY( )表明輸出是平穩(wěn)的。并且，輸出Y(t)和輸入X(t)還是聯(lián)合平穩(wěn)的。 2. ( )( )( )()YXRRhh平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù)線性系統(tǒng)輸出的均值和相關函數(shù)說明（續(xù)）：說明（續(xù)）：從

10、上式可以看出，輸出的相關函數(shù)可以通過兩次卷積產(chǎn)生，第一次是輸入相關函數(shù)與脈沖響應的卷積，其結果是Y(t)和X(t)的互相關函數(shù)；第二次RYX( )是與h(-)的卷積，其結果是RY( )。它們的關系如圖：h(-)h(-)R X( )R YX( )R Y( )平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)的譜密度線性系統(tǒng)的譜密度22( )( )( ) ( )( )( ).( )(XYXHX tsY tsHsH設輸入平穩(wěn)過程具有譜密度，則輸出平穩(wěn)過程定理：其中是系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)。稱為系統(tǒng)的頻率增益因子或頻率傳的譜密度為遞函數(shù)。證明證明:平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下()2*( )( ),( ) ( )( )( )( )(

11、 )( )( )( )( )( ) ( )()jwYyjwjw s u vXjwujwXvjwsXXXSwRededuvsh u h v Rs dudv edsh u eduh v edvRs edsH w Hh u h v Ruv dudvw SwH wSw 令則:)證明：假設證明：假設X(t)為為實隨機過程實隨機過程平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)的譜密度線性系統(tǒng)的譜密度說明：說明： 1. 線性系統(tǒng)的輸出譜密度等于輸入譜密度乘以增益因子。 2. 根據(jù)相關函數(shù)和譜密度的傅氏變換關系。可得輸出相 關函數(shù)的另一個比較簡單的求法。1 ( )2YR()1 2iYsed2()()1 (0)2iXYsHe

12、dR進一步可得輸出的平均功率（均方值）2()()XsHd平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)的譜密度線性系統(tǒng)的譜密度0( )( )( )( )XRCX tRNY t 例8：如圖所示的電路，若輸入白噪聲電壓，其相關函數(shù)為。求相關函輸出電壓的和數(shù)平均功率。平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下解：解：時域法時域法( )( )( )jw ( )( )( )( )1( )( )11 ()1( )( )21122()1()(0)2jwtjwtjwttdy tRCy tX tdtRCY wY wX wY wH wX wjwRCjwRCh tH w edwedwedwjwj wjres jet平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下00 0000

13、| |20000()0000( )( ) ( )()( )( ) ()( ) ()(0)2,:( )(0)2:; ( )( )2 2 yuuyyRh u h v Nuv dudvNh u du h vv dvNh u hu duNeNeeduuNeNRtRE YNe 根據(jù)偶對稱的性質 可以得到所以平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下2222220222| |002| |22022( )|( )|( ) |( )|( )1( )22()( )2:2YXjwyH wjwH wwSwH wSwNwNNRedabbeeNYtwaww 已知頻域法平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)的譜密度線性系統(tǒng)的譜密度0229( )()

14、( )( )( )( )( )( ).xx tsskry td y tdy ty tmrky tx tdtdt例 ：設如圖的系統(tǒng)的激勵力函數(shù)的譜密度， 為彈性系數(shù)， 為阻尼系數(shù)，試求輸出位移的譜密度和平均功率。的微分方程為mkx(t)y(t)r平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下11111111( ,.,.; ,. , ,.)( ),.( ), ( ),. ( )( )XYnmnmnnnmFxxyytt ttP X tXxX txtY tY tyY ty定義：設和為兩個隨機過程，稱：一、兩個隨機過程的聯(lián)為n+m維聯(lián)合合分布分布函數(shù)11111111 ( ,.,.; ,. , ,.)( ,.; ,. )(,.;

15、 ,.)( )( )XYnmnmXnnYmmFxxyytt ttFxx ttFyyttX tY t則稱兩個隨機過程若下式成：和立獨立。平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下線性系統(tǒng)的譜密度線性系統(tǒng)的譜密度12121212()()( )( )( )()()( )( )HHX tY tY tHHY tY t例題：設有兩個線性時不變系統(tǒng)如圖所示。它們的頻率響應函數(shù)分別為和。若兩個系統(tǒng)輸入同一個均值為零的平穩(wěn)過程，它們的輸出分別為和。問如何設計和才能使和互不相干？Y1(t)H2()H1()X(t)Y2(t)平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)下1 21 21 21 21212121122 12( , )( , ) ( ) ( ) ( )( ) ()0 ( )( ) ()0 ( )( , ) YYYYj