歸納法的各種例子(7)

1、歸納法的各種例子（7） 習題與評注1將級數相乘，你會得到展開的前兩項。(a)再算出若干項，并嘗試猜測其一般項。(b)驗證y滿足微分方程，利用此方程證明你的猜測。2將級數，相乘，你會得到展開式的前兩項。(a)再算出若干項，并嘗試猜測其一般項。(b)如果你的猜測是正確的，它將引出一個念頭，y滿足一個簡單的微分方程。建立此方程，證明你的猜測。3冪級數滿足函數方程。檢驗這些系數，如果必要，再導出一些來，嘗試猜測其一般項。4冪級靈敏f(x)=1+x+x2+2x3+4x4+anxn+滿足函數方程證明an等于CnH2n+1OH（醇類）同分異構化合物的數目。在n=4的場合，答案是正確的。丁醇C4H9OH的種數

2、是a4=4，它們表示在圖5·1，每一種化合物描畫成一個“樹”箭頭；H略去了。檢驗n的其他值。圖5·1 C4H9OH化合物5證明：當n=0，1，2，3，4，5（mod6）時，分別有。6一個橢圓繞它的長軸或短軸旋轉時，分別形成一長旋轉橢球面或扁旋轉橢球面。對于長旋轉橢球面的表面積，分別表示其精確值和近似值（a，b和的意義如§2所述）。求(a)相對誤差的首項，(b)當b=0時的相對誤差。相對誤差的符號應如何解釋？7對于扁旋轉橢球面的表面積，分別表示其精確和近似值。求(a)相對誤差的首項，(b)當b=0時的相對誤差。相對誤差的符號應如何解釋。8比較習題6和7，你認為哪一個

3、近似值比較符合半軸為a，b，c的橢球面的表面積？相對誤差的符號應如何解釋？9§2從橢圓的參數表達式x=asint，y=bcost出發(fā)，證明并由此導出在§2中援引但未證明的首項。10（續(xù)）利用冪的展開式，證明0<1時，E>P。11§2決定的數值，使得式子P=P+（1-）P對于很小的數，給出E的最佳近似值。（也就是使得誤差（P-E）/E展開式首項的冪次盡可能的高。）12（續(xù)）按照§2的方法（歸納地！）研究近似值P。13給定正整數p和一個正數序列a1，a2，a3，an，證明。14（續(xù)）指出使上式成為等式的一個序列a1，a2，a3，。15解釋觀察到的

4、規(guī)律。物理學的發(fā)現(xiàn)時常是由兩個步驟得到，即先從觀察材料是看出某種規(guī)律性，然后將這種規(guī)律性解釋成某一個普遍法則的推論。這兩個步驟的間隔時間可能很長也可能由不同的人作出。一個很好的例子是關于刻卜勒和牛頓的：由刻卜勒觀察到的有關行星運行的規(guī)律性，牛頓發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律得到解釋。類似的情況也發(fā)生在數學研究上，下面有一個很好的例子，它要求你具備不多的預備知識。普通的四位常用對數表列有900個尾數，包括了從100到999的整數的對數尾數。在觀察前，我們或許會以為0，1，9這些數字在表中出現(xiàn)的次數會一樣多，其實不然：從尾數的第一個有效數字來看，它們確實不一樣多，計算第一個有效數字相同的尾數的個數，得出表I（

5、檢驗它！）。第一個有效數字尾數數量比率0123456789263341526582103129164205合計900觀察表I的第二欄，我們可以看到，這里任意兩個連續(xù)數的比都大致相同。這促使我們把這些比率算到若干位小數：它們列于表的最后一欄。為什么這些比率近乎相等？試通過觀察到的近似規(guī)律考察出某種精確規(guī)律。表I第二欄的數字接近于幾何級數的項，你能發(fā)現(xiàn)跟近似級數的項有簡單聯(lián)系的精確幾何級數嗎？也許精確級數的公比應該是表I最后一欄比率的某處平均數。16觀察到的事實的分類。博物學家的工作的重要部分是對其觀察到的對象進行描述和分類。這種工作在林奈以后長期占優(yōu)勢。從那時起，博物學家的主要工作就包括描述新的

6、動植物品種和將已知的品種分類。他們描述和分類的不僅是動物和植物，還包括了其它對象，特別是礦物。晶體的分類，以其對稱為依據。正確的分類很重要，它能將觀察的不同種類縮小到一定數量的明確而有條理的程度。實在令人遺憾，數學家并不常有可能進行描述和分類，但有時也會遇上。如果人熟悉平面幾何的某些簡單概念（對稱軸、對稱中心）的話，那么，你就會對花紋感興趣。圖5·2展示的是十四條裝飾條帶，每個條帶上都繪有循環(huán)重復的簡單縱（橫）線圖案。我們稱其為“花邊”。請你為左邊（用數字記號的）的每一種花邊，選配一種右邊（用字母記號的）的花邊，以使其具有同一種對稱類型。此外，請你觀察你能在形形色色的物體表面或古建筑上發(fā)現(xiàn)的條狀花紋，并設法使其與圖5·2的花邊相配。最后，請你編制一張完整的、包括有花邊的各種對稱類型的表格，并對每一類型的對稱做全面的描述?？梢园鸦ㄟ吙闯墒窍騼啥藷o限延伸的，并把產生的圖案當作無限次周期性地重現(xiàn)的。注意：“對稱的類型”這個術語是尚未正式定義的。對這個術語作出合適的解釋，則是你工作的重要部分。圖5·2花邊的對稱17在圖上5·3上找出屬于同一對稱類型的兩種圖案。每一種圖案都可以想象成是以其重復的塊狀覆蓋在整個平面上的。圖5·3 兩種對稱18區(qū)別何在？拉丁字母表的二十六個大寫字母按下列方式分成為五組：A