有限元考試試題

1、一. 是非題（認為該題正確，在括號中打 該題錯誤，在括號中打 X。）（每小題 1 ）用加權(quán)余量法求解微分方程，其權(quán)函數(shù) V V 和場函數(shù) u u 的選擇沒有任何限制。 2） 四結(jié)點四邊形等參單元的位移插值函數(shù)是坐標 x、y 的一次函數(shù)。 3） 在三角形單元中， 其面積坐標的值與三結(jié)點三角形單元的結(jié)點形函數(shù)值相等。 （4）二維彈性力學問題的有限元法求解， 其收斂準則要求試探位移函數(shù) Ci連續(xù)。 5） 有限元位移法求得的應(yīng)力結(jié)果通常比應(yīng)變結(jié)果精度低。 6） 等參單元中 Jacobi 行列式的值不能等于零。 7） 在位移型有限元中， 單元交界面上的應(yīng)力是嚴格滿足平衡條件的。 8） 四邊形單元的 Ja

2、cobi 行列式是常數(shù)。 9） 利用高斯點的應(yīng)力進行應(yīng)力精度的改善時，可以采用與位移插值函數(shù)不同結(jié)點的形函 數(shù)進行應(yīng)力插值。 10） 一維變帶寬存儲通常比二維等帶寬存儲更節(jié)省存儲量。 二單項 選擇題（共 20 分，每小題 2 分） 1 在加權(quán)余量法中，若簡單地利用近似解的試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)，這類方法稱為 。 （A）配點法 （B）子域法 （C）伽遼金法 2 等參變換是指單元坐標變換和函數(shù)插值采用 _ 的結(jié)點和 _ 的插值函數(shù)。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，廣義坐標的個數(shù)應(yīng)與 （A）單元結(jié)點個數(shù) （B）單元結(jié)點自由度數(shù) （C）

3、場變量個數(shù) 4 采用位移元計算得到應(yīng)力近似解與精確解相比較，一般 _ 。 （A）近似解總小于精確解 （B）近似解總大于精確解 （C）近似解在精確解上下震蕩 沒有規(guī)律 5 如果出現(xiàn)在泛函中場函數(shù)的最高階導數(shù)是 m階，單元的完備性是指試探函數(shù)必須至少是 _ 完全多項式。 （A） 次 （B） m次 （C） 2m1 次 6 與高斯消去法相比，高斯約當消去法將系數(shù)矩陣化成了 行回代計算。 （A）上三角矩陣 （B）下三角矩陣 （C）對角矩陣 7 對稱荷載在對稱面上引起的 _ 分量為零。 （A）對稱應(yīng)力 （B）反對稱應(yīng)力 （C）對稱位移 （D 反對稱位移 8 對分析物體劃分好單元后， _ 會對剛度矩陣的半帶

4、寬產(chǎn)生影響。 （A）單元編號 （B）單元組集次序 （C）結(jié)點編號 9 n 個積分點的高斯積分的精度可達到 _ 階。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n 10 引入位移邊界條件是為了消除有限元整體剛度矩陣 （A）對稱性 （B）稀疏性 （C）奇異性 三簡答題 （共 20 分，每題 5 分） 1、 簡述有限單元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點。 2、 簡述有限元法中選取單元位移函數(shù)（多項式）的一般原則。( ( ( ( ） ） ） ） 相等。 D） 形式，因此，不用進 3、 簡述有限單元法的收斂性準則。 4、 考慮下列三種改善應(yīng)力結(jié)果的方法（ 1 ）總體應(yīng)力磨平、（2）單元應(yīng)力磨平和（3）分片 應(yīng)

5、力磨平，請分別將它們按計算精度（高 低）和計算速度（快 慢）進行排序。 四.計算題（共 40 分，每題 20 分） 1、如圖 1 所示等腰直角三角形單元，其厚度為 t，彈性模量為E，泊松比 V =0 ;單元的邊 長及結(jié)點編號見圖中所示。求 （1） 形函數(shù)矩陣N N （2） 應(yīng)變矩陣B B和應(yīng)力矩陣S S （3） 單元剛度矩陣K Ke E，泊松比 V =0。試求 利用對稱性，取圖（b）所示1/4結(jié)構(gòu)作為研究對象，并將其劃分為 4 個面積大小 相等、形狀相同的直角三角形單元。給出可供有限元分析的計算模型（即根據(jù)對 稱性條件，在圖（b）中添加適當?shù)募s束和荷載，并進行單元編號和結(jié)點編號） 。 設(shè)單元結(jié)

6、點的局部編號分別為 i、j、m，為使每個單元剛度矩陣 K Ke相同，試在 圖（b）中正確標出每個單元的合理局部編號；并求單元剛度矩陣 K Ke O 計算等效結(jié)點荷載。 a 2、圖 2（a）所示為正方形薄板，其板厚度為 t，四邊受到均勻荷載的作用， 荷載集度為1N/m2, 同時在y方向相應(yīng)的兩頂點處分別承受大小為 2N/m且沿板厚度方向均勻分布的荷載 作用。設(shè)薄板材料的彈性模量為 （1） 圖 1 應(yīng)用適當?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）(a) 同濟大學本科課程期終考試統(tǒng)一命題紙 A卷標準答案 2007 2008學年第二學期 一. 是非題（認為該題正確，在括號中打 該 題

7、錯誤，在括號中打 X。）（每小題 2 分） X V V X X V X X V V 二. 單項選擇題（共 20 分，每小題 2 分） C B B C B C D C C C 三. 簡答題（共 20 分，每小題 5 分） 1、 答：（答對前 3 個給 4 分） （1）對稱性；（2）奇異性；（3）主對角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素帶狀分布 2、 答： 一般原則有 廣義坐標的個數(shù)應(yīng)該與結(jié)點自由度數(shù)相等； 選取多項式時，常數(shù)項和坐標的一次項必須完備; 多項式的選取應(yīng)由低階到高階; （4） 3、答： 完備性要求，協(xié)調(diào)性要求 具體闡述內(nèi)容 4、 答： 計算精度 （1） （ 3） （ 2） 計算速度

8、 （2） （ 3） （ 1） 四.計算題 1、解： 設(shè)圖 1 所示的各點坐標為 點 1 （a, 0）,點 2 （a, a）,點 3 （0, 0） 1 2 可得單元的面積為 A = a2，及 2 盡量選取完全多項式以提高單元的精度。 (2 (3 于是， 形函數(shù)矩陣N N為 1 丄 =飛(0 + ax - ay) a =2 (0 + oLx + ay) a = 2(a2 ax+0y) a B B和應(yīng)力矩陣S分別為 0 (7 分) Ni Ni Ni 應(yīng)變矩陣 a 0 B B -丄 B B1a2 L-a N N = = | | N Ni =N N1 I I N2 I I N3 (7 分) -a 0 0

9、1 0 0 ,B B2 a a La -a ，B3*L0 -a B=B=B B, B B 2 2 B B3 a 0 0 0 -a 0 0 -a ，S S 2 =烏 0 a ，S S3 =寫 0 0 a a -2a 0 0 單元剛度矩陣K Ke S=DBS=DB1 S Si （6分） 2、解: （1） K Ke = = B B T DB DB tA = 3 -1 -1 B B2 B B3 】 S S2 S S3 K K11 K K21 K K12 K K 22 -1 -2 -1 K K 32 K K 23 K K 33 對稱性及計算模型正確 正確標出每個單元的合理局部編號 求單元剛度矩陣K Ke 計算等效結(jié)點荷載 -1 L1 -1 -2 -1 -1 （5分） （3分） （4分） （3分） 應(yīng)用適當?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解） （5分） 1 -1 -1 -2 -2 -1 -1 r -2 0 0 0 0 f V1 2 6 -1 -2 1 0 V2 0 6 1 -2 0 U3 -1 對 6 -1 0 V3 -1 稱