有限元考試試題

1、一. 是非題（認為該題正確，在括號中打 該題錯誤，在括號中打 X。）（每小題 1 ）用加權(quán)余量法求解微分方程，其權(quán)函數(shù) V V 和場函數(shù) u u 的選擇沒有任何限制。 2） 四結(jié)點四邊形等參單元的位移插值函數(shù)是坐標 x、y 的一次函數(shù)。 3） 在三角形單元中， 其面積坐標的值與三結(jié)點三角形單元的結(jié)點形函數(shù)值相等。 （4）二維彈性力學問題的有限元法求解， 其收斂準則要求試探位移函數(shù) Ci連續(xù)。 5） 有限元位移法求得的應力結(jié)果通常比應變結(jié)果精度低。 6） 等參單元中 Jacobi 行列式的值不能等于零。 7） 在位移型有限元中， 單元交界面上的應力是嚴格滿足平衡條件的。 8） 四邊形單元的 Ja

2、cobi 行列式是常數(shù)。 9） 利用高斯點的應力進行應力精度的改善時，可以采用與位移插值函數(shù)不同結(jié)點的形函 數(shù)進行應力插值。 10） 一維變帶寬存儲通常比二維等帶寬存儲更節(jié)省存儲量。 二單項 選擇題（共 20 分，每小題 2 分） 1 在加權(quán)余量法中，若簡單地利用近似解的試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)，這類方法稱為 。 （A）配點法 （B）子域法 （C）伽遼金法 2 等參變換是指單元坐標變換和函數(shù)插值采用 _ 的結(jié)點和 _ 的插值函數(shù)。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，廣義坐標的個數(shù)應與 （A）單元結(jié)點個數(shù) （B）單元結(jié)點自由度數(shù) （C）

3、場變量個數(shù) 4 采用位移元計算得到應力近似解與精確解相比較，一般 _ 。 （A）近似解總小于精確解 （B）近似解總大于精確解 （C）近似解在精確解上下震蕩 沒有規(guī)律 5 如果出現(xiàn)在泛函中場函數(shù)的最高階導數(shù)是 m階，單元的完備性是指試探函數(shù)必須至少是 _ 完全多項式。 （A） 次 （B） m次 （C） 2m1 次 6 與高斯消去法相比，高斯約當消去法將系數(shù)矩陣化成了 行回代計算。 （A）上三角矩陣 （B）下三角矩陣 （C）對角矩陣 7 對稱荷載在對稱面上引起的 _ 分量為零。 （A）對稱應力 （B）反對稱應力 （C）對稱位移 （D 反對稱位移 8 對分析物體劃分好單元后， _ 會對剛度矩陣的半帶

4、寬產(chǎn)生影響。 （A）單元編號 （B）單元組集次序 （C）結(jié)點編號 9 n 個積分點的高斯積分的精度可達到 _ 階。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n 10 引入位移邊界條件是為了消除有限元整體剛度矩陣 （A）對稱性 （B）稀疏性 （C）奇異性 三簡答題 （共 20 分，每題 5 分） 1、 簡述有限單元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點。 2、 簡述有限元法中選取單元位移函數(shù)（多項式）的一般原則。( ( ( ( ） ） ） ） 相等。 D） 形式，因此，不用進 3、 簡述有限單元法的收斂性準則。 4、 考慮下列三種改善應力結(jié)果的方法（ 1 ）總體應力磨平、（2）單元應力磨平和（3）分片 應

5、力磨平，請分別將它們按計算精度（高 低）和計算速度（快 慢）進行排序。 四.計算題（共 40 分，每題 20 分） 1、如圖 1 所示等腰直角三角形單元，其厚度為 t，彈性模量為E，泊松比 V =0 ;單元的邊 長及結(jié)點編號見圖中所示。求 （1） 形函數(shù)矩陣N N （2） 應變矩陣B B和應力矩陣S S （3） 單元剛度矩陣K Ke E，泊松比 V =0。試求 利用對稱性，取圖（b）所示1/4結(jié)構(gòu)作為研究對象，并將其劃分為 4 個面積大小 相等、形狀相同的直角三角形單元。給出可供有限元分析的計算模型（即根據(jù)對 稱性條件，在圖（b）中添加適當?shù)募s束和荷載，并進行單元編號和結(jié)點編號） 。 設單元結(jié)

6、點的局部編號分別為 i、j、m，為使每個單元剛度矩陣 K Ke相同，試在 圖（b）中正確標出每個單元的合理局部編號；并求單元剛度矩陣 K Ke O 計算等效結(jié)點荷載。 a 2、圖 2（a）所示為正方形薄板，其板厚度為 t，四邊受到均勻荷載的作用， 荷載集度為1N/m2, 同時在y方向相應的兩頂點處分別承受大小為 2N/m且沿板厚度方向均勻分布的荷載 作用。設薄板材料的彈性模量為 （1） 圖 1 應用適當?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）(a) 同濟大學本科課程期終考試統(tǒng)一命題紙 A卷標準答案 2007 2008學年第二學期 一. 是非題（認為該題正確，在括號中打 該 題

7、錯誤，在括號中打 X。）（每小題 2 分） X V V X X V X X V V 二. 單項選擇題（共 20 分，每小題 2 分） C B B C B C D C C C 三. 簡答題（共 20 分，每小題 5 分） 1、 答：（答對前 3 個給 4 分） （1）對稱性；（2）奇異性；（3）主對角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素帶狀分布 2、 答： 一般原則有 廣義坐標的個數(shù)應該與結(jié)點自由度數(shù)相等； 選取多項式時，常數(shù)項和坐標的一次項必須完備; 多項式的選取應由低階到高階; （4） 3、答： 完備性要求，協(xié)調(diào)性要求 具體闡述內(nèi)容 4、 答： 計算精度 （1） （ 3） （ 2） 計算速度

8、 （2） （ 3） （ 1） 四.計算題 1、解： 設圖 1 所示的各點坐標為 點 1 （a, 0）,點 2 （a, a）,點 3 （0, 0） 1 2 可得單元的面積為 A = a2，及 2 盡量選取完全多項式以提高單元的精度。 (2 (3 于是， 形函數(shù)矩陣N N為 1 丄 =飛(0 + ax - ay) a =2 (0 + oLx + ay) a = 2(a2 ax+0y) a B B和應力矩陣S分別為 0 (7 分) Ni Ni Ni 應變矩陣 a 0 B B -丄 B B1a2 L-a N N = = | | N Ni =N N1 I I N2 I I N3 (7 分) -a 0 0

9、1 0 0 ,B B2 a a La -a ，B3*L0 -a B=B=B B, B B 2 2 B B3 a 0 0 0 -a 0 0 -a ，S S 2 =烏 0 a ，S S3 =寫 0 0 a a -2a 0 0 單元剛度矩陣K Ke S=DBS=DB1 S Si （6分） 2、解: （1） K Ke = = B B T DB DB tA = 3 -1 -1 B B2 B B3 】 S S2 S S3 K K11 K K21 K K12 K K 22 -1 -2 -1 K K 32 K K 23 K K 33 對稱性及計算模型正確 正確標出每個單元的合理局部編號 求單元剛度矩陣K Ke 計算等效結(jié)點荷載 -1 L1 -1 -2 -1 -1 （5分） （3分） （4分） （3分） 應用適當?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解） （5分） 1 -1 -1 -2 -2 -1 -1 r -2 0 0 0 0 f V1 2 6 -1 -2 1 0 V2 0 6 1 -2 0 U3 -1 對 6 -1 0 V3 -1 稱