第9章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)練習(xí)

1、 第9章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) §1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性一 概念：1 級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù),無窮級(jí)數(shù);通項(xiàng) (一般項(xiàng), 第項(xiàng)), 前項(xiàng)部分和等概念 (與中學(xué)的有關(guān)概念聯(lián)系).級(jí)數(shù)常簡記為.2. 級(jí)數(shù)的斂散性與和:介紹從有限和入手, 引出無限和的極限思想.以在中學(xué)學(xué)過的無窮等比級(jí)數(shù)為藍(lán)本, 定義斂散性、級(jí)數(shù)的和、余和以及求和等概念 .例1 討論幾何級(jí)數(shù) 的斂散性.解 當(dāng)時(shí), . 級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 ;當(dāng)時(shí), , , 級(jí)數(shù)發(fā)散 ;當(dāng)時(shí), , , 級(jí)數(shù)發(fā)散 .綜上, 幾何級(jí)數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)收斂, 且和為 ( 注意從0開始 ).例2 討論級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 用鏈鎖消去法求.例3 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 設(shè)

2、, , , . , . 因此, 該級(jí)數(shù)收斂. 例4 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 , . 級(jí)數(shù)發(fā)散.3. 級(jí)數(shù)與數(shù)列的關(guān)系:設(shè)對(duì)應(yīng)部分和數(shù)列, 則收斂 收斂;對(duì)每個(gè)數(shù)列,對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù),對(duì)該級(jí)數(shù),有=.于是,數(shù)列收斂級(jí)數(shù) 收斂. 可見,級(jí)數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式. 4. 級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系:, 其中 . 無窮積分可化為級(jí)數(shù);對(duì)每個(gè)級(jí)數(shù), 定義函數(shù) , 易見有=. 即級(jí)數(shù)可化為無窮積分.綜上所述,級(jí)數(shù)和無窮積分可以互化,它們有平行的理論和結(jié)果.可以用其中的一個(gè)研究另一個(gè). 二 級(jí)數(shù)收斂的充要條件 Cauchy準(zhǔn)則 ：把部分和數(shù)列收斂的Cauchy準(zhǔn)則翻譯成級(jí)數(shù)的語言，就得到級(jí)數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則

3、. Th1 ( Cauchy準(zhǔn)則 ) 收斂和N.由該定理可見,去掉或添加上或改變(包括交換次序) 級(jí)數(shù)的有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性. 但在收斂時(shí), 級(jí)數(shù)的和將改變.去掉前 項(xiàng)的級(jí)數(shù)表為或.推論 (級(jí)數(shù)收斂的必要條件)收斂 .例5 證明級(jí)數(shù) 收斂 .證 顯然滿足收斂的必要條件.令 , 則當(dāng) 時(shí),有注: 應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則時(shí)，應(yīng)設(shè)法把式 |不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，確定. 例6 判斷級(jí)數(shù)的斂散性. (驗(yàn)證 . 級(jí)數(shù)判斂時(shí)應(yīng)首先驗(yàn)證是否滿足收斂的必要條件)例7 證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. 證法一 (用Cauchy準(zhǔn)則的否定進(jìn)行驗(yàn)證) 證法二 (證明. 即得，. )注: 此例為但級(jí)數(shù)發(fā)散

4、的例子. 三 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：（均給出證明） 性質(zhì)1 收斂,為常數(shù)收斂,且有=(收斂級(jí)數(shù)滿足分配律)性質(zhì)2 和收斂收斂,且有=.問題: 、三者之間斂散性的關(guān)系.性質(zhì)3 若級(jí)數(shù)收斂, 則任意加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)也收斂, 且和不變.(收斂數(shù)列滿足結(jié)合律)例8 考查級(jí)數(shù) 從開頭每兩項(xiàng)加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)的斂散性. 該例的結(jié)果說明什么問題 ? §3 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 一. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的一般原則 :1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù): ; 任意加括號(hào)不影響斂散性.2. 基本定理: Th 1 設(shè).則級(jí)數(shù)收斂.且當(dāng)發(fā)散時(shí),有, . ( 證 )正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的記法 .3. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的比較原則:Th 2 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),

5、且時(shí)有, 則 > < , < ; > =, = . ( > 是>的逆否命題 )例1 考查級(jí)數(shù)的斂散性 .解 有 例2 設(shè). 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.推論1 (比較原則的極限形式) 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)且,則 > 當(dāng)時(shí),和共斂散 ; > 當(dāng)時(shí) ,<< ; > 當(dāng)時(shí),= . ( 證 )推論2 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),若=，特別地，若 ,， 則<=. 例3 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: ; ( ) ; ; .二 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法: 1比值法：亦稱為 Dalembert判別法.用幾何級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象,有下列所謂比值法.Th 3 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 及

6、 時(shí) > 若< > 若= . 證 > 不妨設(shè) 時(shí)就有成立, 有 依次相乘, 即 . 由 , 得 <. > 可見往后遞增.推論 (比值法的極限形式) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 . 則 > 當(dāng)<< >當(dāng)>或=. ( 證 )注: 倘用比值法判得=, 則有 .檢比法適用于和有相同因子的級(jí)數(shù), 特別是中含有因子者.例4 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性.解 . 例5 討論級(jí)數(shù)的斂散性. 解 因?yàn)?因此, 當(dāng)時(shí), ; 時(shí), ; 時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 發(fā)散.例6 判斷級(jí)數(shù)的斂散性 . 注: 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若僅有，其斂散性不能確定. 例如對(duì)級(jí)數(shù) 和 , 均有 ，但前者發(fā)

7、散, 后者收斂. 2. 根值法 ( Cauchy 判別法 ): 也是以幾何級(jí)數(shù)作為比較的對(duì)象建立的判別法.Th 4 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 及 , 當(dāng) 時(shí), > 若 < > 若=. ( 此時(shí)有.) ( 證 )推論 (根值法的極限形式) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 . 則 > 當(dāng)時(shí)< > 當(dāng)時(shí)= . ( 證 )注: 根值法適用于通項(xiàng)中含有與有關(guān)的指數(shù)者.根值法優(yōu)于比值法. (參閱1P12)例7 研究級(jí)數(shù) 的斂散性 . 解 . 例8 判斷級(jí)數(shù)和的斂散性 . 解 前者通項(xiàng)不趨于零 , 后者用根值法判得其收斂 . 3 積分判別法：Th 5 設(shè)在區(qū)間上函數(shù)且. 則正項(xiàng)級(jí)數(shù)與積分共斂散

8、. 證 對(duì) 且 .例9 討論 級(jí)數(shù)的斂散性.解 考慮函數(shù)0時(shí)在區(qū)間 上非負(fù)遞減. 積分當(dāng)時(shí)收斂, 時(shí)發(fā)散級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散,當(dāng)時(shí), , 級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上,級(jí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)收斂.例10 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性: ; . §4 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 一. 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 交錯(cuò)級(jí)數(shù), Leibniz型級(jí)數(shù).Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型級(jí)數(shù)必收斂,且余和的符號(hào)與余和首項(xiàng)相同, 并有.證 (證明部分和序列 的兩個(gè)子列和收斂于同一極限. 為此先證明遞增有界. ) ;又 , 即數(shù)列有界.由單調(diào)有界原理, 數(shù)列收斂 . 設(shè) . .由證明數(shù)列有界性可見 , . 余和亦為型級(jí)數(shù)余和與同號(hào), 且.

9、例1 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解 當(dāng)時(shí), 由Leibniz判別法收斂;當(dāng)時(shí), 通項(xiàng), 發(fā)散. 二. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì): 1. 絕對(duì)收斂和條件收斂: 以Leibniz級(jí)數(shù)為例, 先說明收斂 絕對(duì)收斂.Th 2 ( 絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系 ) , 收斂.證 ( 用Cauchy 準(zhǔn)則 ).注: 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂時(shí), 先應(yīng)判其是否絕對(duì)收斂. 例2 判斷例1中的級(jí)數(shù)絕對(duì)或條件收斂性 . 2. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可重排性: 同號(hào)項(xiàng)級(jí)數(shù)：對(duì)級(jí)數(shù)，令 則有 > 和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且有和; > , . 同號(hào)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì):Th 3 > 若 ， 則 ， . > 若 條件收斂 , 則 , .證 >

10、 由和, > 成立 . > 反設(shè)不真 , 即和中至少有一個(gè)收斂 , 不妨設(shè) .由 = , = 以及 和收斂 .而, 與條件收斂矛盾 . 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的可重排性: 更序級(jí)數(shù)的概念.Th 4 設(shè)是的一個(gè)更序. 若,則,且=.證 > 若,則和是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且它們的部分和可以互相控制.于是, , 且和相等. > 對(duì)于一般的, = = .正項(xiàng)級(jí)數(shù)和分別是正項(xiàng)級(jí)數(shù)和的更序. 由, 據(jù)Th 1 , 和收斂. 由上述>所證,有, , 且有= , = =.由該定理可見, 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)滿足加法交換律.是否只有絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)才滿足加法交換律呢 ? 回答是肯定的 .Th 5 ( Rieman

11、n ) 若級(jí)數(shù)條件收斂, 則對(duì)任意實(shí)數(shù) ( 甚至是 ),存在級(jí)數(shù)的更序, 使得= .證 以Leibniz級(jí)數(shù) 為樣本, 對(duì)照給出該定理的證明.關(guān)于無窮和的交換律, 有如下結(jié)果: > 若僅交換了級(jí)數(shù)的有限項(xiàng), 的斂散性及和都不變. > 設(shè)是的一個(gè)更序. 若, 使 在中的項(xiàng)數(shù)不超過,則和共斂散, 且收斂時(shí)和相等 . 三. 級(jí)數(shù)乘積簡介: 1. 級(jí)數(shù)乘積: 級(jí)數(shù)乘積, Cauchy積. 見教材. 2級(jí)數(shù)乘積的Cauchy定理:Th 6 ( Cauchy ) 設(shè), , 并設(shè)=, =. 則它們以任何方式排列的乘積級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂, 且乘積級(jí)數(shù)的和為. ( 證略 ) 例3 幾何級(jí)數(shù) 是絕對(duì)收斂的

12、. 將按Cauchy乘積排列, 得到 . 四. 型如的級(jí)數(shù)判斂法： 1Abel判別法：引理1 (分部求和公式，或稱Abel變換)設(shè)和. 則 .證 注意到 , 有 .分部求和公式是離散情況下的分部積分公式. 事實(shí)上, .可見Abel變換式中的相當(dāng)于上式中的, 而差相當(dāng)于, 和式相當(dāng)于積分.引理2 ( Abel )設(shè)、和如引理1 .若單調(diào) , 又對(duì),有，則 .證 不妨設(shè). .推論 設(shè),( ). 和如引理1. 則有. ( 參引理2證明 )Th 7 (Abel判別法)設(shè)> 級(jí)數(shù)收斂,> 數(shù)列收斂.證 (用Cauchy收斂準(zhǔn)則,利用Abel引理估計(jì)尾項(xiàng))設(shè), 由收斂對(duì)時(shí) , 對(duì), 有 .于是當(dāng)時(shí)對(duì)有 .由Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂. 2. Dirichlet判別法:Th 8 ( Dirichlet)設(shè)> 級(jí)數(shù)的部分和有界, > 數(shù)列單調(diào)趨于零. 則級(jí)數(shù)收斂.證 設(shè), 則對(duì), 有 .不妨設(shè)0 對(duì). 此時(shí)就有 .由Cauchy收斂準(zhǔn)則, 收斂