一道解幾題的幾個(gè)變式

1、一道解幾證明題的幾個(gè)變式研究題目：在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，左右頂點(diǎn)分別為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn).(1) 求證：為定值；(2) 設(shè)以線段為直徑的圓與直線交于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【分析一】本題是解析幾何中常見的定值、定點(diǎn)問(wèn)題. 首先，第一問(wèn)探求動(dòng)點(diǎn)下的定數(shù)量積，常見處理有兩種： 一是先設(shè)坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線統(tǒng)一兩者坐標(biāo)，再利用橢圓 方程進(jìn)行消元，該方法的理論依據(jù)為，要求數(shù)量積，需 要點(diǎn)坐標(biāo)，于是想到設(shè)坐標(biāo). 二是先設(shè)直線方程，然后求的坐標(biāo)， 過(guò)程涉及聯(lián)立方程消元、韋達(dá)定理的應(yīng)用. 兩種解法最終都是要解決點(diǎn)的坐標(biāo)，只是出發(fā)點(diǎn)不同， 一為直接設(shè)點(diǎn)，二為間接求點(diǎn). 但切

2、記兩條線一般不交叉使用，否則很容易繞不出來(lái) 【解】方法一：設(shè)【意識(shí)很重要，該式子一定后面肯定會(huì)用到】 由共線得 為定值 方法二：設(shè)方程為聯(lián)立橢圓方程得： ，化簡(jiǎn)得 則，所以， 同時(shí)， 【不難發(fā)現(xiàn)，方法二在運(yùn)算上略煩一些】【分析二】本題的第二問(wèn)探求動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，將分別取為關(guān)于軸的動(dòng)點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)所得動(dòng)直線必關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線所過(guò)定點(diǎn)必為軸上的點(diǎn)，為后面證明提供明確方向. 那一般情形如何證明？動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)然要把動(dòng)直線方程求出來(lái)，即求的方程.如果第一問(wèn)用方法一，則第二問(wèn)應(yīng)這樣完成：解：由題意，所以的方程為令，下面只要能證明為常數(shù)即可由（1）可知，代入得即過(guò)定點(diǎn)【因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)作出猜想

3、，定點(diǎn)在軸上，所以就可以按上述方案處理】如果第一問(wèn)用方法二，則第二問(wèn)應(yīng)這樣完成：解：由題意，且，所以，而的方程為，即顯然過(guò)定點(diǎn)該問(wèn)最關(guān)鍵的步驟應(yīng)該是將條件“以線段為直徑的圓與直線交于點(diǎn)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“”，否則將可能因方法選取不當(dāng)，無(wú)功而返.下面給出一些變式，供大家研究參考1. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線交橢圓于點(diǎn).（1） 求證：為定值；（2） 求證：直線與直線的斜率之積為定值；（3） 設(shè)以線段為直徑的圓為圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，求證：長(zhǎng)為定值；2. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線交橢圓于點(diǎn).設(shè)以線段為直徑的圓交直線于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).3. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一定直線上.4. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右頂點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且