高一年段數(shù)學(xué)培優(yōu)教材(5)

1、高一年段數(shù)學(xué)培優(yōu)教材第五講 平面向量（1）一、 基礎(chǔ)知識(shí)：1向量的運(yùn)算： 加法：設(shè)則減法：設(shè)則實(shí)數(shù)與向量的積： 向量與的關(guān)系； 設(shè)則 向量的數(shù)量積： 是與的夾角）； 設(shè)則2向量的關(guān)系： 不等關(guān)系： （注意等號(hào)的條件）設(shè) 則 3平面向量的基本定理：如果是同一平面內(nèi)的不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使。相關(guān)結(jié)論：如果是同一平面內(nèi)的不共線向量，且，則點(diǎn)O、A、B、C在同一平面內(nèi)，A、B、C共線的充要條件是：4常用公式： 中，M為BC邊的中點(diǎn)，G為重心， 則二、 綜合應(yīng)用：例1：求證：三角形的三條中線交于一點(diǎn)。例2：設(shè)外心為O，取點(diǎn)M，使，求證M是的垂心，且此三角形的外心、

2、垂心、重心在一條直線上。例3：在三角形ABC中，點(diǎn)M分所成的比為2，點(diǎn)N分所成的比為，設(shè)線段CM和BN交于點(diǎn)P，直線AP和BC的交點(diǎn)為Q，且，用表示例4：已知O為內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)且，試用表示。例5：（1）已知三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P在（ ）A 內(nèi)部 B 外部 C 在直線AB上 D 在直線AC上（2）O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則P的軌跡一定通過ABC的 （ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心（3）在四邊形ABCD中，設(shè)，若，則該四邊形一定是（ ） A 矩形 B 正方形 C 菱形 D等腰梯形三、強(qiáng)化訓(xùn)練：1 已知A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，O在直線

3、外，且存在實(shí)數(shù)，使成立，求點(diǎn)C分所成的比及的值。2 若P分有向線段所成的比為，則有。3 已知，當(dāng)為何值時(shí)：（1）與平行？平行時(shí)是否同向？（2）與垂直？4如圖，在平行四邊形ABCD中,設(shè)以為基底表示5 設(shè)O為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，求6中，M是AB的中點(diǎn)，E是CM的中點(diǎn)，延長AE交BC于F，作MHAF，求證：BH= HF =FC。7如圖，在平面斜坐標(biāo)系，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸y軸同方向的單位向量，則p點(diǎn)斜坐標(biāo)為.若p點(diǎn)斜坐標(biāo)為（2，2），求p到O的距離|PO|；8已知向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。（1）證明：對(duì)任意向量及常數(shù)，恒有成立； （2）設(shè)，求向量的 坐標(biāo)。 （3）求使為常數(shù)的向量的坐標(biāo)。參考答案：例1：略例2：三點(diǎn)共線。說明：外心為O，取點(diǎn)M，使成立的充要條件是 M為的垂心O例 3 ： 例4： 如圖建立直角坐標(biāo)系：設(shè) 例5：（1）D （2）B （3）A 強(qiáng)化練習(xí)：1 2略3（1）反向        &