2018二次函數(shù)壓軸題題型歸納2

1、2018二次函數(shù)壓軸題題型歸納一、二次函數(shù)?？键c匯總1、兩點間的距離公式：AB=RyA-yBf+(Xa-Xbf2、中點坐標(biāo)：線段AB的中點C的坐標(biāo)為：''Xa'Xb,yA*yB、i222J直線y=k1x+b1(k1=0)與y=k2x+b2(k2=0)的位置關(guān)系：(1)兩直線平行uki=k2且bi于b(2)兩直線相交=ki#k2(3)兩直線重合uk1=k2且b1=b2(4)兩直線垂直uk1k2=-1 、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下： 用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍； 解方程，求出方程的根；(兩種形式：分式、二次根式) 分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；

2、若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于x的一元二次方程x22(m+1K+m2=0有兩個整數(shù)根，m<5且m為整數(shù)，求m的值。4、二次函數(shù)與x軸的交點為整數(shù)點問題。(方法同上)例：若拋物線y=mx2+(3m+1X+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0(m為實數(shù))，求證：無論m為何值，方程總有一個固定的根。解：當(dāng)m=0時，x=1;當(dāng)m=0時，A=(m3f20,x=3m3,xl2©、X2=1;2mm綜上所述：無論m為何值，方程總有

3、一個固定的根是1。6、函數(shù)過固定點問題，舉例如下：已知拋物線y=x2-mx+m-2(m是常數(shù))，求證：不論m為何值，該拋物線總經(jīng)過一個周定的點，并求出固定點的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于m的方程y-x2+2=m(1-x)；V-Y2+2=0，y=1dX2°,解得：3V.拋物線總經(jīng)過一個固定的點(1,1)。J-x=0、x=1(題目要求等價于：關(guān)于m的方程y-x2+2=m(1-x)不論m為何值，方程包成立)小結(jié)：關(guān)于x的方程ax=b有無數(shù)解u*a=0''b=07、路徑最值問題(待定的點所在的直線就是對稱軸)(1)如圖，直線li、12,點A在12上，分別在li、12上確定兩

4、點M、N,使得AM+MN之和最小。(2)如圖，直線li、12相交，兩個固定點A、B,分別在li、12上確定兩點M、N,使得BM+MN+AN之和最小。8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直接用公式、割補法三角形的面積求解常用方法：如上圖，&pa=1/2-PMAx=1/2ANAy9、函數(shù)的交點問題：二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)與一次函數(shù)(y7=QY2-kKv-k。(1)解方程組ya'"C可求出兩個圖象交點的坐標(biāo)。、y=kx+h.、22.c.(2)解萬程組=ax+bx+c即ax2+(bkx+ch=0,通過可判斷兩個圖象的父點的個數(shù)y=kx+h有兩個交點二A>0僅有

5、一個交點=A=0沒有交點=A<010、方程法(1)設(shè)：設(shè)主動點的坐標(biāo)或基本線段的長度(2)表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量(3)列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行肩關(guān)的圖形平移11/12uk1k2、k=yyx1-x2平行四邊形矩形梯形跟直角肩關(guān)的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補等L.2.-2abyB)+(xa-xb)直角三角形直角梯形矩形跟線段肩關(guān)的圖形利用幾何中的全等、中垂線的性質(zhì)等。ab=J

6、。-yBf+(xa-xbf等腰二龜形全等等腰梯形跟角有美的圖形利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補等【例題精講】一基礎(chǔ)構(gòu)圖：y=x2-2x3（以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個）和最小，差最大1在對稱軸上找一點P,使得PB+PC勺和最小，求出P點坐標(biāo)2在對稱軸上找一點P,使得PB-PC的差最大，求出P點坐標(biāo)討論直角三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得AACP為直角三角形，求出P坐標(biāo)或者在拋物線上求點P,使4ACP是以AC為直角邊的直角三角形.4P坐標(biāo)討論等腰三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得&ACP為等腰三角形，求出討論平行四邊形1、點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上,且以

7、B,A,F,E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標(biāo)二綜合題型例1(中考變式)如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交與A(1,0),B(-3,0)兩點，頂點為D。交Y軸于C(1)求該拋物線的解析式與ABC勺面積(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點M使MBO以/BCMfe直角的直角三角形，若存在,求出點P的坐標(biāo)。若沒有，請說明理由(3)若E為拋物線B、C兩點間圖象上的一個動點(不與AB重合)，過E作EF與X軸垂直，交BC于F,設(shè)E點橫坐標(biāo)為x.EF的長度為L,求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X的取值范圍？當(dāng)E點運動到什么位置時，線段EF的值最大，并求此時EJ在(5)的情況下直線BC與拋

8、物線的對稱軸交于點A當(dāng)E點運動到什么位置時，以點E、F、H、D為頂點的四邊形為平行四邊形？v(5)在(5)的情況下點E運動到什么位置時，使三角形BCE的面積最大？例2考點:關(guān)于面積最值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、C的坐標(biāo)分別為(1,0)、(0,-、氐)，點B在x軸上.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過ABC三點，且它的對稱軸為直線x=1,點P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點(點P與B、C不重合)，過點P作y軸的平行線交BC于點F.(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若設(shè)點P的橫坐標(biāo)為mi試用含m的代數(shù)式表示線段(3)求PBC0積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo).例3考點:討論等腰如圖，已知拋物線y

9、=lx2+bx+c與y軸相交于C,與x軸相交于AB,點A的坐標(biāo)為(2,0),2點C的坐標(biāo)為(0,1).(1)求拋物線的解析式；(2)點E是線段AC上一動點，過點E作DELx軸于點D,連結(jié)DQ當(dāng)DCE勺面積最大時，求點D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在一點P,使ACF%等腰三角形，若存在，求點P的坐標(biāo)，若不存在，備用圖說明理由.ly例4考點:討論直角三角如圖，已知點A(一1,0)和點B(1,2),在坐標(biāo)軸上確定點P,使得4AB西直角三角形，則滿足這樣條件的點P共有(A)2個(B)4個(C)6個(D)7個已知：如圖一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B；二次函數(shù)y=1x222+b

10、x+c的圖象與一次函數(shù)y=3x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標(biāo)2為(1,0)(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC勺面積S;點P,若不存在，請說明理由.(3)在x軸上是否存在點P,使得PBCg以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的9例5考點：討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線丫=2乂2+x+c(aw0)與x軸交于點A(2,0),點B(6,0),與y軸交于點C.(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標(biāo);(2)在拋物線上有一點D,使四邊形ABD外等腰梯形，寫出點D的坐標(biāo)，求出直線AD的解析式;(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M拋物線上

11、有一動點P,x軸上有一動點Q.是否存在以A、MP、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由.綜合練習(xí):1、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2_4ax+4a+c與x軸交于點A、點B,與y軸的正半軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(1,0),OB=OC拋物線白頂點為D。(1) 求此拋物線的解析式；(2) 若此拋物線的對稱軸上的點P滿足/AP艮/ACB求點P的坐標(biāo)；(3) Q為線段BD上一點，點A關(guān)于/AQB勺平分線的對稱點為A,若QAQB=V2,求點Q的坐標(biāo)和此時QAA'的面積。2、標(biāo)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖像與y軸交于

12、點C(0,3),與x軸交于A、B兩點，點B的坐標(biāo)為(-3,0)。(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標(biāo)；(2)點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，若直線OMf巴四邊形ACD的成面積為1:2的兩部分，求出此時點M的坐標(biāo)；(3)點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點P在何處時CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標(biāo)。3nM,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x2一2x與x軸負半軸交于點A,頂點為B,且m對稱軸與x軸交于點Co(1)求點B的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；(2)D為OB中點，直線AD交y軸于E,若E(0,2),求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點M在直線OB上，

13、且使得AAMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)。4、口知關(guān)于x的方程(1m)x2+(4-m)x+3=0。(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若正整數(shù)m滿足8-2m>2,設(shè)二次函數(shù)y=(1-m)x2+(4-m)x+3的圖象與x軸交于AB兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值(只需要求出兩個滿足題意的k值即可)。65如圖，拋物線y=ax2+2ax+c(a*0)與y軸交于點C(0,

14、4),與x軸交于點A(-4,0)和B.(1)求該拋物線的解析式；(2)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QEIAC交BC于點E,連接CQ當(dāng)CEQ勺面積最大時，求點Q的坐標(biāo)；(3)平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D的坐標(biāo)為(-2,0).問是否有直線l,使OD既等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說.明理由.三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個交點分別位于某定點的兩側(cè)例1.已知二次函數(shù)y=x2+(mi-1)x+mt-2的圖象與x軸相交于A(x1，0),B(x2,0)兩點，且xi<x2.(1)若x1x2<0,且m為正整數(shù)，求該二

15、次函數(shù)的表達式；(2)若xy1,x2>1,求m的取值范圍；(3)是否存在實數(shù)m,使彳導(dǎo)過A、B兩點的圓與y軸相切于點C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；(4)若過點D(0,：)的直線與(1)中的二次函數(shù)圖象相交于MN兩點，且"DN=,求該23直線的表達式.題型二、拋物線與x軸兩交點之間的距離問題例2已知二次函數(shù)y=x2+mx+m-5(1)求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點；(2)求當(dāng)m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題例1.已知拋物線y=x2-2(m+1)x+m2=0與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m&

16、lt;5,則整數(shù)m的值為例2.已知二次函數(shù)y=x22m肝4m-8.(1)當(dāng)x02時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；(2)以拋物線y=x22mx+4m-8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正AAMN(M,N兩點在拋物線上)，請問：AAMN勺面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；(3)若拋物線y=x22mx+4m-8與x軸交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的值.1yx10題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關(guān)于原點對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例1.已知拋物線y=x2+bx+c(其中b>0,cw0)與y軸的交點為A,點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B(mn),

17、且AB=2.(1)求mb的值(2)如果拋物線的頂點位于x軸的下方，且B(=J20。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(友情提醒：請畫圖思考)題型五、拋物線中韋達定理的廣泛應(yīng)用(線段長、定點兩側(cè)、點點關(guān)于原點對稱、等等)例1.已知：二次函數(shù)y=x2-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點A(x1,0)、B(x2,0)(x1<X2),其頂點是點C,對稱軸與x軸的交于點D.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)如果(xi+1)(x2+1)=8,求二次函數(shù)的解析式；(3)把(2)中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點A、B,頂點為點C1,且ABCi是等邊三角形，求平移后所得圖象的函

18、數(shù)解析式.綜合提升1,已知二次函數(shù)的圖象與X軸交于A,B兩點，與y軸交于點C(0,4),且|AB=25,圖象的對稱軸為x=1.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若二次函數(shù)的圖象都在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍.22 .已知二次函數(shù)y=x+mx2.(1)若該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB加，求m的值;(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點為C,二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩點MN,且&MNC=27,求m的值.3 .已知關(guān)于x的一元二次方程x22(k+1)x+k2=0有兩個整數(shù)根，k<5且k為整數(shù).(1)求k的值；(2)當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時

19、，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x22(k+1)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；(3)根據(jù)直線y=x+b與(2)中的兩個函數(shù)圖象交點的總個數(shù)，求b的取值范圍.4 .已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1,0)和點B(2,1),且與y軸交點的縱坐標(biāo)為mi(1)若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍；(3)若二次函數(shù)的圖象截直線y=x+1所得線段的長為22,求m的值.四、中考二次函數(shù)定值問題1 .如圖，已知二次函數(shù)Li：y=x2-4x+3與x軸交于A.B兩點(點A在點B左邊)，與y軸交于點C.(1)寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；(2)研究二次函數(shù)L2：y=kx2-4kx+3k(kw0).寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì);若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由.2 .如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,l)三點，過坐標(biāo)原點。的直線y=kx與拋物線交于MN兩點.分別過