彎曲剛度對斜拉索非線性固有頻率的影響

1、第25卷第1期 Vol.25 No.1 工 程 力 學(xué) 2008年 1 月 Jan. 2008 ENGINEERING MECHANICS196收稿日期：2006-05-20；修改日期：2006-10-25 基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(10272041作者簡介：趙躍宇(1961 ，男，湖南益陽人，教授，博士，從事橋梁結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)研究(E-mail: yyzhao； *周海兵(1974 ，男，湖南澧縣人，博士生，從事橋梁結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)研究(E-mail: zhouhb2000； 金 波(1976 ，男，湖北天門人，博士生，從事橋梁結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)研究； 劉偉長(1981 ，男，湖南婁底

2、人，碩士生，從事橋梁結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)研究.文章編號：1000-4750(200801-0196-07彎曲剛度對斜拉索非線性固有頻率的影響趙躍宇，*周海兵，金 波，劉偉長(湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，長沙 410082摘 要：考慮斜拉索的彎曲剛度、垂度及幾何非線性，利用Hamilton 變分原理推導(dǎo)了斜拉索的三維非線性動力學(xué)方程。研究了斜拉索彎曲剛度對面內(nèi)、面外的一階及高階固有頻率的影響，并分析了斜拉索長度和初張力等參數(shù)對固有頻率的影響。結(jié)果表明：彎曲剛度對面外固有頻率的影響大于面內(nèi)；隨著斜拉索的長度和初張力的增加，彎曲剛度對面外固有頻率的影響遞減，對面內(nèi)固有頻率的影響呈鐘罩型變化；彎曲剛度對固有頻率

3、的影響隨著振型階數(shù)的增加而變大。關(guān)鍵詞：斜拉索；彎曲剛度；非線性動力學(xué)；Galerkin 方法；固有頻率 中圖分類號：TU311.3; U448.27 文獻標(biāo)識碼：AINFLUENCE OF BENDING RIGIDITY ON NONLINEAR NATURALFREQUENCY OF INCLINED CABLEZHAO Yue-yu , *ZHOU Hai-bing , JIN Bo , LIU Wei-chang(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, ChinaAbstract: The in

4、fluence of bending rigidity on the nonlinear natural frequency of inclined cable is studied. The three dimensional nonlinear dynamical equations of inclined cable are formulated by Hamiltonian principle. And the influence of bending rigidity, sagging and geometric nonlinearity on inclined cable are

5、considered during the deduction. As a result, the influence of bending rigidity is more considerable on in-plane natural frequency of inclined cable than that on out-of-plane. When the length and initial tension of inclined cable are increased, the influence of bending rigidity to out-of-plane natur

6、al frequency is degressive and to in-plane natural frequency is campanulate. And at the same time, as the order of modal increasing, the influence of bending rigidity on the natural frequency is increased as well.Key words: inclined cable; bending rigidity; nonlinear dynamics; Galerkin methods; natu

7、ral frequency斜拉索是斜拉橋等結(jié)構(gòu)的主要受力構(gòu)件。由于柔度大、質(zhì)量輕及阻尼小的特性，在風(fēng)雨、地震、車輛等荷載作用下，容易發(fā)生大幅振動。因此，近年來對斜拉索的動力學(xué)特性進行了大量的研究。關(guān)于斜拉索的振動研究經(jīng)歷了由線性振動到非線性振動，由自由振動、強迫振動到內(nèi)共振、參數(shù)共振，由忽略阻尼到考慮阻尼的振動與控制等研究階段。Irvine H M1、Hassan I A2和Yamaguchi H3等研究了斜拉索的三維線性振動理論，討論了有關(guān)參數(shù)對斜拉索頻率的影響。Luongo A4、Perkins N C5和Triantafyllous M S6等利用Hamilton 變分原理推導(dǎo)了斜拉索三

8、維非線性自由振動方程，研究了斜拉索工 程 力 學(xué) 197 的固有頻率和振動模態(tài)。Benedettini F和Rega G7研究了外激勵下斜拉索的超諧共振，Yamaguchi H8等通過實驗研究了斜拉索面內(nèi)激勵引發(fā)面外大幅振動的現(xiàn)象。Nayfeh A H9、Perkins N C10和EI-Attar M11等研究了斜拉索的內(nèi)共振和參數(shù)共振，Yu Z等12研究了考慮阻尼斜拉索的振動與控制。國內(nèi)學(xué)者亢戰(zhàn)13、汪至剛14、陳水生15、趙躍宇16、肖錫武17等研究了斜拉索的參數(shù)振動問題。這些理論基本上都忽略了斜拉索的彎曲剛度，使得理論假設(shè)與工程實際中斜拉索的特性存在一定的差異。王修勇18等采用線性理論

9、研究了斜拉索固有振動，結(jié)果表明彎曲剛度對一階頻率沒有影響。吳曉19等采用非線性理論，研究結(jié)果表明彎曲剛度對斜拉索一階頻率影響很大，與不考慮彎曲剛度的固有頻率誤差可達30%以上。這些研究工作考慮了彎曲剛度的影響，但主要局限于一階頻率，而且線 性18和非線性19結(jié)論截然相反。另外，鄭罡20等建立了利用多階測試頻率識別斜拉索彎曲剛度等參數(shù)的基本理論，蘇成21等則考慮了彎曲剛度等因素對索力測試精度的影響。本文考慮斜拉索的彎曲剛度，推導(dǎo)了斜拉索三維非線性動力學(xué)方程。針對以往忽略彎曲剛度及其對高階頻率的影響，我們研究了彎曲剛度對斜拉索一階固有頻率和高階固有頻率的影響，并分析了固有頻率隨斜拉索長度和初張力等

10、參數(shù)的變化。通常引發(fā)參數(shù)振動的頻率變化范圍很小，由于彎曲剛度引起頻率的變化有可能導(dǎo)致斜拉索的大幅振動，甚至振動性質(zhì)發(fā)生改變。因此考慮彎曲剛度對斜拉索動力特性的影響是很有意義的。1 斜拉索非線性動力學(xué)模型建立如圖1所示的斜拉索振動模型，其中(=1,2,3 i OX i 為直角坐標(biāo)系，0S 、I S 、V S 為曲線坐標(biāo)。將斜拉索的變形分為三個階段進行描述：1 自然無伸長位置0&；2 重力作用下的初始變形位置&I ；3 外荷載(, i P s t 和重力作用下的動變形位置&V。令E 、A 、I 、m 、c l 和IT 分別為拉索彈性模量、截面面積、截面慣性矩、單位長度質(zhì)量、

11、初始曲線長度和初始切向力。另外，本文作以下基本假定：1 考慮斜拉索的軸向剛度和彎曲剛度，忽略扭轉(zhuǎn)剛度及剪切剛度；2 斜拉索的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律；3 斜拉索質(zhì)量分布均勻。1圖1 斜拉索振動模型Fig.1 Vibration model of inclined cable斜拉索上質(zhì)點P 靜變形從00( i P x 移動到( I I i P x ，動變形從( I I i P x 移動到( V V i P x 位置。則動位移i u 為：(, (, ( I V I I I i i i u s t x s t x s =, 1,2,3i = (1Lagrangian 應(yīng)變*：*112i i x x

12、s s =(2將式(1代入式(2，可得：2(d/d v I I s s =+D (3其中：I 為初始Lagrangian 應(yīng)變；為動應(yīng)變。且： 12i i i i u x u u s ss s =+ (4根據(jù)Hamilton 原理，21(d 0t V V V t H K W t =+= (5其中：V K 、V 分別為動能、勢能；V W 為重力、外力及阻尼力所做的功。且：1d 2cl V I i i K mu u s =2420222232011d d d 2d d 1d 2c c I I l V I II l I s EA s T s s s u u EI s x x =+221101d d

13、=2ct t l VI i i t t K mu u s t = 22110d d (d d cct l t l I Ii i i t t muu s t m uu s t t +198 工 程 力 學(xué)由于21(d 0t i tmu u t t= ，故： 22110d d ct t l V Ii i tt K muu s t = (6 22112424d d 1=d d 2d d d d d d cI I t t l j j j j I Ii ii i i tt I I j j I i iI I I u x u u x u x u s s T EA u s t s s ss s s ss s

14、s s u x x us s T EA s ss s s +D D D D 212221114322222220011111d d 2 d d d d cccct j j l I i i i I I I I Itt l t t l l It t t u u x u u s t ss s s s u u u u EI u s t EI u t EI t x x x x +222111432333333001111d d d d cc c t l t t l l It t t u u u u EI u s t EI u t EI t x x x x +(72211210(cos sin d d c

15、t t l V Ii i i i i tt W mg u mg u P u uu s t µ=+ (8 斜拉索的靜力平衡方程為：123sin cos 0I I I x T mg s s x T mg s s x T s s = (9 將式(6式(9代入式(5，得到考慮彎曲剛度的斜拉索非線性動力學(xué)方程：4423441124d d d d i ii i i i i i I I I iI I u u muu EI EI P x x u s s T EA s s s s µ+=+D D12j j j j i i I I I I II u x u u x u s s s ss s +

16、 (10 其中2i 、3i 為函數(shù)。按照一般的習(xí)慣表示，用x 、y 、z 代替1I X 、2I X 、3IX ，用u 、v 、w 代替1u 、2u 、3u ，用u P 、v P 、w P 代替1P 、2P 、3P ，用u µ、v µ、w µ代替1µ、2µ、3µ?？紤]垂跨比較小的斜拉索，假設(shè)初始重力平衡曲線為拋物線2( 4/l (/l y x d x x =，d 為斜拉索的垂度。并且有d d I s x ，0d d I s s ，I T H ，H 為斜拉索的初始切向力，/1H EA 。忽略高階小量后，方程(10可寫成如下三個方程：22d

17、 1d 2u y v v w EA x x x x x x +u u P umu µ= 224d d d 1d 2v v v y v HEA x x x x u y v v w x x x x x vP vEI mv xµ+= (11224d d 12w w ww u y v H EA x x x x x x v w w P wEI mw x x x µ+=式中：( ( /t = ，22( ( /t = 。 將式(11與文獻22沒有考慮彎曲剛度的斜拉索非線性動力學(xué)方程進行比較，發(fā)現(xiàn)彎曲剛度對振動的影響體現(xiàn)在4v EI x和4wEI x 兩項。當(dāng)彎曲剛度為0時，式(

18、11可以退化到?jīng)]有考慮彎曲剛度的斜拉索非線性動力學(xué)方程。式(11是一組偏微分方程，為進行動力學(xué)行為分析，需將其轉(zhuǎn)化為常微分方程，因此采用Galerkin 方法進行多模態(tài)截斷，設(shè)：1, 1, 1(, ( ( n n n u x t x q t =工 程 力 學(xué) 1992, 2, 1(, ( ( n n n v x t x q t =3, 3, 1(, ( ( n n n w x t x q t = (12其中：1, ( n x 、2, ( n x 、3, ( n x 為振型函數(shù)；1, ( n q t 、2, ( n q t 、3, ( n q t 為振動函數(shù)。將式(12代入式(11，并對式(11

19、第一式兩邊乘以1, ( n x ，第二式兩邊乘以2, ( n x ，第三式兩邊乘以3, ( n x ，且在0,l 內(nèi)積分，可得離散后考慮彎曲剛度的拉索三維非線性動力學(xué)方程：221121324253611232122231425263712( a q a q a q a q a q a qf t b q b q b q b q b q b q b q q +=+2823922( b q q b q f t += 21323313423532c q c q c q q c q q c q q +363733( c q c qf t += (13 式中各系數(shù)表達式見附錄。由式(13可以發(fā)現(xiàn)，斜拉索各

20、自由度的運動表現(xiàn)為三次非線性，各自由度之間的線性項、平方項和立方項耦合非常強烈?？紤]彎曲剛度的斜拉索面內(nèi)固有頻率用2i表示，不考慮彎曲剛度的面內(nèi)固有頻率用02表示。類似的，考慮彎曲剛度的斜拉索面外固有頻率用3i表示，不考慮彎曲剛度的面外固有頻率用03表示。由此得到了考慮彎曲剛度的斜拉索面內(nèi)面外固有頻率計算式(14和式(16，以及不考慮彎曲剛度的固有頻率計算式(15和式(17。2i=(14 2=(15 3i=(16 03 (17 式中( ( /x =。2 彎曲剛度對一階固有頻率的影響為了研究彎曲剛度對斜拉索固有頻率的影響，設(shè)在考慮彎曲剛度和不考慮彎曲剛度兩種情況下，面內(nèi)固有頻率的比值為0222/

21、i r =，面外固有頻率的比值為0333/i r =。 下面以某座橋梁的一根斜拉索為原型，分析參 數(shù)對頻率的影響。斜拉索的材料密度37850kg/m=，直徑0.1382m D =，彈性模量1122.110N/mE =×，截面面積20.015m A =，截面慣性矩541.7910m I =×，斜拉索兩端鉸接。設(shè)斜拉索的靜變形曲線方程為( 4( /y x x l x l =，垂跨比/d l =，其中d 為斜拉索的垂度。H 為斜拉索的初始切向力。垂度d 與張力H 之間滿足靜力平衡23關(guān)系2/8d Agl H =，其中g(shù) 為重力加速度。首先考慮一階情況，取1n =，振型函數(shù)分別為1

22、,1sin(/ x l =，2,1sin(/ x l =，3,1sin(/ x l =。由于考慮了彎曲剛度，斜拉索面內(nèi)固有頻率比值隨初張力的增加呈鐘罩型變化，如圖2。長度為10m 的拉索，在一定的初張力下，頻率比值最大可達1.25；對于給定的斜拉索，張力影響較大的范圍在105N 和107N 之間。隨著斜拉索長度的增加，頻率比值迅速減小，對于長度大于50m 的斜拉索，頻率比值接近1，說明彎曲剛度對較長斜拉索的面內(nèi)固有頻率影響很小。log(H r 2圖2 斜拉索張力對面內(nèi)頻率比值影響Fig.2 The influence of the initial tension of inclined cab

23、le onin-plane frequency ratio斜拉索面外固有頻率的比值隨張力的增大而遞減，如圖3。從圖3可以看出，由于彎曲剛度的 比值0.1% 8.27 6.87 6.27 5.92 5.67 比值1% 7.27 5.87 5.27 4.91 4.66 比值10%6.25 4.85 4.25 3.90 3.65通過以上分析發(fā)現(xiàn)，斜拉索彎曲剛度對面外固有頻率比值的影響大于面內(nèi)，對面內(nèi)固有頻率比值的影響隨著長度和初張力的增加呈鐘罩型變化，對面外固有頻率比值的影響隨著長度和初張力的增加而遞減。引起面內(nèi)面外變化趨勢不同的原因是面內(nèi)受到斜拉索垂度的影響，而面外則沒有這一因素作用。3 彎曲剛度

24、對高階頻率的影響實際橋梁工程中斜拉索的振動模態(tài)非常豐富，下面分析彎曲剛度對高階頻率的影響。取高階振型函數(shù)分別為1, n = (n x /l ，2, n = sin(n x /l ，3, n = (n x /l 。在一定張力下(log(H =n圖5 長度對面外高階頻率比值的影響Fig.5 The influence of the length of inclined cable onout-of-plane frequency ratio of high-order在一定長度下(L =50m，張力對面內(nèi)和面外高階頻率比值的影響分別如圖6和圖7。從圖6和圖nr 2圖6 張力對面內(nèi)高階頻率比值的影響

25、Fig.6 The influence of the initial tension of inclined cable onin-plane frequency ratio of high-orderr 2工 程 力 學(xué) 201 7 中可以看出，模態(tài)階數(shù)愈高，彎曲剛度對頻率比 值的影響愈大。當(dāng)張力達到 100 t 時，彎曲剛度對 面內(nèi)高階頻率比值的影響很小，而對面外高階頻率 比值的影響卻仍然很大。 10 log(H=3 log(H=4 8 log(H=6 6 log(H=5 traveling elastic cables J. Journal of Sound and Vibration,

26、 1987, 114(2: 325340. 6 Triantafyllous M S, Grinfogel L. Natural frequencies and modes of inclined cables J. Journal of Structure Engineeing, ASCE, 1986, 112(1: 139148. Benedettini F, Rega G. Non-linear dynamics of an elastic cable under planar excitation J. International Journal of Non-Linear Mecha

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30、rametric resonance of cable in cable stayed bridge J. China Civil Engineering Journal, 1998, 31(8: 1422. 7 8 r3 4 log(H=7 9 2 log(H=8 log(H=9 0 0 20 40 n 60 80 100 10 圖 7 張力對面外高階頻率比值的影響 Fig.7 The influence of the initial tension of inclined cable on out-of-plane frequency ratio of high-order 11 4 結(jié)論

31、 12 我們考慮斜拉索的彎曲剛度、垂度及幾何非線 性， 利用 Hamilton 變分原理推導(dǎo)了斜拉索的三維非 線性動力學(xué)方程，并研究了斜拉索彎曲剛度對面 內(nèi)、面外的一階和高階固有頻率的影響，以及斜拉 索長度和初張力等參數(shù)對固有頻率的影響。結(jié)論如 下：斜拉索彎曲剛度對面外固有頻率比值的影響大 于面內(nèi)；對面內(nèi)固有頻率比值的影響隨著長度和初 張力的增加呈鐘罩型變化，對面外固有頻率比值的 影響隨著長度和初張力的增加而遞減。引起面內(nèi)面 外變化趨勢不同的原因是面內(nèi)受到斜拉索垂度的 影響，而面外則沒有這一因素作用。彎曲剛度對固 有頻率的影響隨著振型階數(shù)的增加而變大。該結(jié)論 對研究斜拉索的振動與控制具有一定的

32、指導(dǎo)意義。 參考文獻： 1 2 Irvine H M. Free vibrations of inclined cables J. Journal of the Structural Division, 1978, 104(2: 343349. Hassan I A Hegab, Murari L Gambhir, Barrington de V Batchelor. Free vibrations of cable in three dimensions J. Journal of the Structural Division, 1977, 103(5: 1127 1136. Yamagu

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