力矩和平面力偶系

1、第五節(jié)力矩和平面力偶系、力矩1力矩概念力對(duì)剛體的移動(dòng)效應(yīng)取決于力的大小、方向和作用線；而力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)則用力矩來度量。實(shí)踐告訴我們，用扳手?jǐn)Q（轉(zhuǎn)動(dòng)）螺母時(shí)，見圖7-18a，其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力F的大小、方向（扳手的旋向以及力F到轉(zhuǎn)動(dòng)中心0的距離h。圖7-18力矩概念4 / 4一般情況下，剛體在圖示平面內(nèi)受力 F作用，見圖7-18b，并繞某一點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)0稱為矩心，矩 心0到力F作用線的距離h稱為力臂，乘積F h并加上適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱為力對(duì) 0點(diǎn)之矩，簡稱力矩，用 符號(hào)M。（ F）或Mo表示。即Mo= Mo （ F ）=± Fh（ 7-9）力矩的正、負(fù)號(hào)規(guī)定如下：力使剛體繞矩心作 逆

2、時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。因此，力矩是一個(gè)與矩心位置有關(guān)的代數(shù)量 。力矩的單位為 N m。2合力矩定理設(shè)剛體受到一合力為 F的平面力系F1, F2,，F(xiàn)n的作用，在平面內(nèi)任取一點(diǎn) 0為矩心，由于合力 與整個(gè)力系等效，所以 合力對(duì)0點(diǎn)的矩一定等于各個(gè)分力對(duì) 0點(diǎn)之矩的代數(shù)和（證明從略），這一結(jié)論稱 為合力矩定理。記為(7-10)M0 ( F)= M。( Fi)+ M。( F2)+ M。(Fn) = E M。( Fi)Mo = M01 + M02+ M°n = E M°i= E M0例7-4圖7-19所示為一漸開線 （在平面上，一條動(dòng)直線（發(fā)生線）沿著一個(gè)固定的圓（基圓）作

3、純滾動(dòng)時(shí)，此動(dòng) 直線上一點(diǎn)的軌跡）直齒圓柱齒輪，其齒廓在分度圓上的 P點(diǎn)處受到一法向力 Fn的作用，且已知Fn= 1000N , 分度圓直徑 d = 200m m，分度圓壓力角（P點(diǎn)處的壓力角）a = 20°，試求力F n對(duì)輪心0點(diǎn)之矩。圖7-19力炬計(jì)算舉例解：1 根據(jù)力矩的定義求解皿。(巴)二 - Fn'd _cosa <21000i 0.2 cos20 N m =I 12 丿94N2 用合力矩定理求解。將法向力F n分解為圓周力F t和徑向力F r,則可得Mo(Fn) =Mo(Ft) Mo(FJ 二-(FnCOS： )02(1000 漢 cos20°)&

4、#165; N m = -94 N m二、平面力偶系1力偶和力偶系作用在同一剛體上的一對(duì)等值、 反向、不共線的平行力稱為 力偶。如圖7-20a中的力F和F'就組成了 力偶，組成力偶的兩力之間的距離 h稱為力偶臂。汽車司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤，見圖 7-20b，就是力偶作 用的一個(gè)實(shí)際例子。圖7-20力偶概念圖7-21力偶的度量一一力偶矩如前所述，力使剛體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)可用力矩來度量。因此力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就可用組成力偶 的兩力對(duì)某點(diǎn)的矩的代數(shù)和來度量。如圖7-21所示，在剛體上作用一力偶 F、F'，在力偶作用平面內(nèi)任取一點(diǎn) 0 為矩心，則力偶對(duì) 0 點(diǎn)的矩為 Mo ( F、F&

5、#39; )= Mo ( F ) + Mo ( F' )= F ( h + x) + ( F'x)= Fh。 同法可以證明，矩心O取在其他任何位置，其結(jié)果保持不變。由此說明力偶中兩力對(duì)任一點(diǎn)的矩的代數(shù)和是一個(gè)恒定的代數(shù)量，這個(gè)與矩心位置無關(guān)的恒定的代數(shù)量稱為力偶矩，用“ M”表示，其大小等于力偶中一力的大小與力偶臂的乘積，其正、負(fù)號(hào)規(guī)定與力矩的規(guī)定相同，即力偶使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正，反之取負(fù)。因此力偶矩的一般表達(dá)式為(7 11)M = Mo ( F、F' )= Mo ( F) + M。(F' )=± Fh力偶矩的單位也與力矩的單位相同，為N m。2力偶

6、的性質(zhì)1） 力偶是一個(gè)由二力組成的特殊的不平衡力系，它不能合成為一個(gè)合力，所以不能與一力等效或平衡，力偶只能與力偶等效或平衡。2） 只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn) 動(dòng)效應(yīng)，見圖7-22a、b，即決定力偶對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的唯一特征量是力偶矩，因此力偶可以直接用力偶矩（帶箭頭的弧線）來表示，見圖7 22c。b）圖7-22力偶的性質(zhì)c)3）力偶可以在其作用平面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，因其力偶矩不變，所以并不改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。3.平面力偶系的合成與平衡條件在同一平面內(nèi)且作用于同一剛體上的多個(gè)力偶稱為 個(gè)合力偶，其合力偶矩等于各個(gè)分力偶矩的代數(shù)和。即平面力偶

7、系。顯然，平面力偶系的合成結(jié)果必為M = M 1 + M 2+ M n= 2 M i（ 7-12）因此平面力偶系平衡的必要和充分條件是所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。即(7-13)由于組成力偶的兩力對(duì)任一點(diǎn)的矩的代數(shù)和恒等于力偶矩，所以平面力偶系的平衡條件也可表達(dá)為平 面力偶系中的所有各力對(duì)任一點(diǎn)矩的代數(shù)和等于零。即(7-14)2 Mo ( Fi)= 0例7-5在圖7-23所示的展開式兩級(jí)圓柱齒輪減速器（用于降低轉(zhuǎn)速、傳遞動(dòng)力、增大轉(zhuǎn)矩的獨(dú)立傳動(dòng)部件）中（圖中未示出中間傳動(dòng)軸），已知在輸入軸I上作用有力偶矩M1= 500N m，在輸出軸n上作用有阻力偶矩M2= 2000N m,地腳螺釘 A和

8、B相距I = 800mm ,不計(jì)摩擦和減速器自重，求A、B處的法向約束力。力矩用Mo （或Ma、MB等）表示，以反映矩心位置 0 （或A、B等），而力偶也對(duì)剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，且力偶矩就是力偶 中兩力對(duì)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和，故兩者應(yīng)采用相同的字母表示，只是力偶矩與矩心位置無關(guān)，故直接用“M”表示，以資區(qū)別（不采取另用字母“ T”表示）。圖7-23平面力偶系的解題舉例解1）取減速器為研究對(duì)象。2） 受力分析和受力圖。 減速器在圖示平面內(nèi)受到兩個(gè)力偶Mi和M2以及A、B處地腳螺釘?shù)姆ㄏ蚣s束力的作用下平衡。由于力偶只能與力偶平衡，故A、B處的法向約束力 Fa和FB必構(gòu)成一力偶。假設(shè) Fa和FB的方向如圖所示。3） 列平衡方程并求解。由平衡條件藝Mi = 0，可得平衡方程Ml + M2+( -FaI)= 0得 Fa = Fb_ M1 M2-l-50020000.8N =1875N計(jì)算結(jié)果為正值，說明 FA和FB的假設(shè)方向是正確的。（答題時(shí)需要說明解出的力的方向）補(bǔ)例 如補(bǔ)例圖所示，聯(lián)軸器上有四個(gè)均勻分布在同一圓周上的螺栓A、B、C、D，該圓的直徑AC=BD=150mm ,電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶矩M= 2.5kN m,試求每個(gè)螺栓的受力。解（1）作用在聯(lián)軸器上的力為電動(dòng)機(jī)施加的力偶，每個(gè)螺栓作用力的方向如圖示。假設(shè)四個(gè)螺栓受力均勻，即F1=F2 = F3=F4=F，此四力組成兩個(gè)