數(shù)值分析重點公式

1、第一章 非線性方程和方程組的數(shù)值解法1）二分法的基本原理，誤差：2）迭代法收斂階：，若則要求3）單點迭代收斂定理：定理一：若當(dāng)時，且，則迭代格式收斂于唯一的根；定理二：設(shè)滿足：時，則對任意初值迭代收斂，且：定理三：設(shè)在的鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，則迭代格式具有局部收斂性；定理四：假設(shè)在根的鄰域內(nèi)充分可導(dǎo)，則迭代格式是P階收斂的（Taylor展開證明）4）Newton迭代法：，平方收斂5）Newton迭代法收斂定理：設(shè)在有根區(qū)間上有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足：；：；：初值使得；則Newton迭代法收斂于根。6）多點迭代法：收斂階：7）Newton迭代法求重根（收斂仍為線性收斂），對Newton法進行修

2、改：已知根的重數(shù)r，（平方收斂）：未知根的重數(shù)：，為的重根，則為的單根。8）迭代加速收斂方法：當(dāng)不動點迭代函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，平方收斂9）確定根的重數(shù)：當(dāng)Newton迭代法收斂較慢時，表明方程有重根10）擬Newton法其中11）秩1擬Newton法：Broyden秩1方法第二章 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法1）向量范數(shù)：非負性：，且的充要條件是；：齊次性：三角不等式：1范數(shù)：2范數(shù)：范數(shù)：p范數(shù)：2）矩陣范數(shù)：非負性：，且的充要條件是；：齊次性：三角不等式：乘法不等式：F范數(shù)：1范數(shù)：，列和最大范數(shù)：，行和最大2范數(shù)：，其中，為的特征值，3）Gauss消元法（上三角陣）：；Gauss-

3、Jordan消元法（對角陣）：；列選主元消元法：在消元之前進行行變換，將該列最大元素換置對角線主元位置；（可用于求逆矩陣）全選主元消元法：全矩陣搜索矩陣最大元素進行行變換和列變換至其處于對角線主元位置；4）三角分解法：Doolittle分解法：A=LU，L單位下三角陣，U上三角陣：Crout分解法：A=LU，L下三角陣，U單位上三角陣：Cholesky分解法：A對稱正定，L為單位下三角陣：改進的Cholesky分解法：A對稱正定，L為單位下三角陣，D為對角陣：追趕法：Crout分解法解三對角方程5）矩陣的條件數(shù)，譜條件數(shù)：6）如果，則為非奇異陣，且7）迭代法基本原理：迭代法：(，迭代格式收斂：

4、至少存在一種矩陣的從屬范數(shù)，使8）Jacobi迭代：9）Gauss-Seidel迭代：10）超松弛迭代法11）二次函數(shù)的一維搜索：12）最速下降法：選擇方向進行一維搜索：，其中13）共軛梯度法：第一步：最速下降法，第二步：過選擇的共軛方向，其中，過以為方向的共軛直線為，進行二次函數(shù)的一維搜索14）一般的共軛梯度法：第三章 插值法與數(shù)值逼近1）Lagrange插值：，余項：2）Newton插值：差商表 余項3）反插值4）Hermite插值（待定系數(shù)法）其中余項：5）分段線性插值：插值基函數(shù)：余項：分段余項6）有理逼近：反差商表有理逼近函數(shù)式：7）正交多項式的計算：定理：在上帶權(quán)函數(shù)的正交多項式序

5、列，若最高項系數(shù)唯一，它便是唯一的，且由以下的遞推公式確定 其中定理3.88）連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近：在上，法方程為，其中，均方誤差：最大誤差：9）離散函數(shù)的最佳平方逼近（曲線的最小二乘擬合）：法方程其中第四章 數(shù)值積分1）代數(shù)精度的概念及應(yīng)用：對r次多項式的精確成立，以及代入法求解系數(shù)。2）Lagrange插值代入Lagrange插值基函數(shù)，其中誤差：定理：數(shù)值積分公式具至少有n次代數(shù)精度其是差值型的3）等距節(jié)點的Newton-Cotes公式將拉格朗日差值積分公式中的差值節(jié)點即可，其中；，令（Cotes系數(shù)）則：N-C公式的數(shù)值穩(wěn)定性：當(dāng)同號時是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定，（其中）N-C公式至少具有

6、n次代數(shù)精度，若n為偶數(shù)，則其代數(shù)精度可提高到n+1次；余項：當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，4）復(fù)化的N-C公式復(fù)化的梯形公式：將積分區(qū)間n等分，然后在每個區(qū)間上應(yīng)用梯形公式復(fù)化的Simpson公式：將積分區(qū)間n等分，然后在每個區(qū)間上應(yīng)用Simpson公式5）Romberg積分法逼近的階為 6）求積節(jié)點為n+1的機械求積公式的代數(shù)精度<=2n+1；7）Gauss求積公式在a，b上與所有次數(shù)<=n的多項式帶權(quán)正交上式為Gauss求積公式、8）Gauss-Legendre求積公式給出公式：、······給出區(qū)間1,-1上的求積公

7、式，取的零點為求積節(jié)點1 取零點為0 2 取零點為 對于區(qū)間a,b上的Gauss求積公式，令，則：余項：第五章 乘冪法1）基本定理：定理一：若為A的特征值，為某一多項式，則矩陣的特征值是。特別地，的特征值是。定理二：如果A為實對稱矩陣，則A的所有特征值均為實數(shù)，且存在n個線性無關(guān)的特征向量；不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交。定理三：設(shè)A與B為相似矩陣，即存在非奇異陣P，使，則A與B有相同的特征值。定理四：如果A有n個不同的特征值，則存在一個相似變換矩陣P，使得，其中D是一個對角矩陣，它的對角線元素就是A的特征值。定理五：對于任意方陣A，存在一個酉變矩陣Q，使得，其中T是一個上三角矩陣，是是共軛轉(zhuǎn)

8、置矩陣。推論：如果A是實對稱矩陣，則存在一個正交矩陣Q，使，其中D是對角矩陣，它的對角線元素是A的特征值，而Q的各列即為A的特征向量，并且。定理六：設(shè)是以為中心的一些圓，其半徑為，設(shè)，則A的所有特征值都位于區(qū)域內(nèi)。推論：的譜半徑滿足。定理七：設(shè)A為對稱正定陣，則有，其中，x是任意復(fù)向量，表示x的共軛轉(zhuǎn)置。定理八：對任意非奇異矩陣A，有，其中為A的任一特征值。2）求按模最大的特征值和對應(yīng)的特征向量，3）第六章 常微分方程的數(shù)值解法（差分法）1）離散化方法：Taylor展開、差商代替求導(dǎo)、數(shù)值積分2）Euler公式：Euler隱式（1階）改進的Euler公式（2階精確解）3）截斷誤差和P階精確解：截斷誤差4）S級Runge-Kuta法 2級Runge-Kuta法（2階精度）的取值1/2（中點公式）、2/3（Heun公式）、1（改進的Euler方法）5）單步法（*）相容性：則（*）式與初值問題相容收斂性：對于固定的當(dāng)時有則稱（*）式收斂數(shù)值穩(wěn)定性：若一數(shù)值方法在上有擾動而于以后的各節(jié)點值上產(chǎn)生的偏差均不超過，則稱該方法絕對收斂試驗方程：用以求解絕對穩(wěn)定區(qū)間絕對收斂：用單步法求解試驗方程，若絕對收斂則稱該方法絕對穩(wěn)定6）線性多步法德一般格式：局部階段誤差（系數(shù)通過Taylor展開構(gòu)造）其中線性多步法的階數(shù)通過誤差系數(shù)來判斷，最高階數(shù)7）線性多步法的收斂性判斷：稱線性多步法相容