淺談初中平面幾何常見添加輔助線的方法

1、淺談初中平面幾何常見添加輔助線的方法當(dāng)今社會(huì), 數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科,發(fā)揮著越來越來越重要的作用,學(xué) 好數(shù)學(xué)尤為重要。作為新世紀(jì)的教師,教學(xué)要堅(jiān)持“以人為本,以學(xué)生的發(fā) 展為本” ,要能真正展現(xiàn)學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人,使學(xué)生積極地參與教學(xué)活 動(dòng),探索知識(shí)的形成過程,學(xué)得并掌握獲取知識(shí)的方法和途徑,使思維的能 力在探索過程不斷升華和發(fā)展。因此我在教學(xué)過程中,相應(yīng)地采用各種教學(xué) 方法去啟發(fā)和促進(jìn)他們的求知和探索欲, 引導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián) 系,總結(jié)解題規(guī)律,使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更有時(shí)效性。初中數(shù)學(xué)包括代數(shù)與平面幾何兩大部分。 代數(shù)部分的學(xué)習(xí), 一般都有公 式可套,題型較為集中,學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較輕松。

2、而平面幾何是一門提高學(xué) 生邏輯思維和分析能力的學(xué)科。對(duì)于大部分學(xué)生來說學(xué)習(xí)起來比較困難。往 往學(xué)生最為頭痛的就是如何在這些錯(cuò)綜復(fù)雜的幾何圖形去添加合適的輔助 線,其實(shí)添加輔助線也是有規(guī)律可循,教師在教學(xué)的過程中,不但要引導(dǎo)學(xué) 生對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的整理,同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材(包括例、習(xí)題深入 挖掘、提煉總結(jié)其思想實(shí)質(zhì),揭示歸納方法因素,以其更好地發(fā)揮思想方法 的整體功效,從而提高解題技巧。這里介紹幾種常見的添加輔助線的方法。 一、 過分點(diǎn)添平行線相似形是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容, 由于近年來各地的中考試題向重視學(xué)生 能力方面快速傾斜,我們?cè)趯W(xué)習(xí)相似形內(nèi)容時(shí),不僅需要掌握相似形的一些 基本概念、性質(zhì)和基

3、本題形,還需要靈活運(yùn)用所學(xué)相似形的基本知識(shí)進(jìn)行補(bǔ) 充、延伸、拓寬。這里,筆者通過大量的習(xí)題研究證明一些線段成比例的題 型中,發(fā)現(xiàn)了過分點(diǎn)添平行線的一種比較好的添線方法,現(xiàn)說明如下:在證明一些線段成比例的題型中, 若圖形中未出現(xiàn)相似三角形中的基本 題型:A 字型與 X 型, 通常需要通過找一些分點(diǎn)添平行線去構(gòu)造這些基本題型。而且找分點(diǎn)還是有規(guī)律可循。通常可把條件中出現(xiàn)的已知比例或分點(diǎn)的 線段和結(jié)論中所要證明的線段所在的直線稱為 熱線 , 把幾條熱線的交點(diǎn)稱為 熱點(diǎn) 。那么過分點(diǎn)添平行線即可實(shí)際操作為過 熱點(diǎn) 添 熱線 的平行線。以下 舉一道例題加以說明:例:點(diǎn) D 是 三角形 ABC 邊 AC

4、上的中點(diǎn),過 D 的直線交 AB 于點(diǎn) E , 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ,求證:。 BFCF EB AE = 分析:條件中出現(xiàn)已知中點(diǎn)的線段是 AC 、結(jié)論中有關(guān)的線段落在 AB 和 BF 上, 所以本題中的熱線為 AC 、 AB 和 BF , 這三條線段的交點(diǎn)分別為 A 點(diǎn)、 B 點(diǎn)和 C 點(diǎn),此三點(diǎn)即為三個(gè)熱點(diǎn)。所以本題的證明方法主要有三種。解法一:過熱點(diǎn) A 作熱線 BF 的平 行線,交 FE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ,那么就 有 。 BFAG EB AE = 只要證得 AG=CF即可。 證明:過點(diǎn) A 作 BF 的平行線, 交FE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 。 AG BF BF AG EB AE

5、 = DCAD CF AG = 又 D 為 AC 的中點(diǎn), AD=DC AG=CF BFCF EB AE = 解法二:過熱點(diǎn) B 作熱線 AC 的平行線, 交 FE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H , 那么就有 BH AD EB AE =及 BHDC BF CF =, 只 要 證 得 AD=CD,本題即可得證。解法三:過熱點(diǎn)作 C 熱線 AB 的平行線, 交 FE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H , 那么就有FBFCF EB CH , 只要證得 CH=AE,本題即可得證。 F一題本來比較復(fù)雜的幾何題型,通過熱線熱點(diǎn)這些較為通俗易懂的字 眼,使題目簡(jiǎn)單化,既能提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣,引導(dǎo)了學(xué)生歸納知識(shí)點(diǎn) 之間的內(nèi)在聯(lián)系,總

6、結(jié)解題規(guī)律,從而提高學(xué)生歸納及解題能力。 二、 在梯形中常添的輔助線初二幾何中梯形面積公式的教學(xué),教材中給出作對(duì)角線、把梯形分成兩 個(gè)三角形的解法,教學(xué)中不應(yīng)該停留在這種表層的認(rèn)識(shí)上,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生這種 方法的深層次含義,既通過“分解與組合”思想,實(shí)現(xiàn)把未知問題轉(zhuǎn)化為已 知問題,并進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這種思想方法去探求問題的其他解法,培養(yǎng)學(xué) 生思維的靈活性。在梯形中常見的有以下六種題型:(1 已知兩底之差或求兩底之差的題型, 常過上底的一個(gè)端點(diǎn)添一腰的平行線與下底相交; 達(dá)到把梯形分解成一個(gè)平行四邊形與三角形的目的;求(圖 1 ;(2 已知梯形的上底和底,求面積,常過上底的兩個(gè)端點(diǎn)向下底作垂線,添高;

7、 (圖 2 ;(3 延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn),可得到一對(duì)相似三角形 (圖 3 ;(4 已知梯形對(duì)角線相等或互相垂直的題型, 常過上底的一個(gè)端點(diǎn)作一對(duì)角線的平行線,與下底的延長(zhǎng)線相交,體現(xiàn)組合的思想(圖4 ;(5 有 中點(diǎn)時(shí), 常過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線, 分別與上底的延長(zhǎng)線、下底相交(圖 5 ;(6 有 中點(diǎn)時(shí), 也常連接上底的一端點(diǎn)與另一腰的中點(diǎn)并延長(zhǎng), 與下底的延長(zhǎng)線相交(圖 6 。 (6(5(4(3(2(1例 已知等腰梯形 ABCD 的高是 9, AB CD , A C BD ,求它的 面積。 F 三 、連接兩點(diǎn)法三角形包括三條邊、三個(gè)角這六個(gè)元素,若已知或需證明某些邊、角的 等量關(guān)系時(shí),若

8、不能直接從已知的條件中進(jìn)行證明,那么此時(shí)可以考慮連接 兩點(diǎn)構(gòu)造新的三角形,使所證的元素在所構(gòu)造的新的三角形中?？赏ㄟ^證所 構(gòu)造的三角形全等或相似來證明結(jié)論。分析:本題中,既有梯形對(duì)角線相等又有互 相垂直的條件,可過上底的一個(gè)端點(diǎn)添一對(duì) 角線的平行線,可得 ACE 是等腰直角三角 形,根據(jù)等腰三角形三線合一及直角三角形 斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),求得 AE 是 18,梯形的面積就能得解。四、在圓中常添弦心距在與圓有關(guān)的題目中,已知弦、弦所對(duì)的弧、圓心角、半徑等條件時(shí), 常添加弦心距,利用垂徑定理或圓的有關(guān)性質(zhì)解題。例 已知:以點(diǎn) O 為圓心畫兩個(gè)不等的圓, 大圓的弦 AB 交小圓與 C

9、、 分析:A 與 C 分別在 ABO 和CDO 中,若通過直接證明這兩個(gè)三角形全等,根據(jù)已知條件顯然不夠,觀察已 知 條 件 中 的 四 條 邊 正 好 組 成ABD 和 CDB , 而 BD 正好又是兩個(gè)三角形的公共邊,發(fā)現(xiàn)只要證明ABD 和 CDB 全等,本題結(jié)論即可得證。例 已知 AB=CD, AD=BC,求證:A= C證明:連接 BD在 ABD 和 CDB 中, AB=CD(已知AD=CB (已知BD=DB(公共邊 ABD CDB (S 。 S 。 S A= C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 證畢 A B C DD. 求證：AC=BD 分析： 線段 AC 與 BD 分別是大圓與小圓的 A E

10、 C O D B 弦，而且弦 AB 與 CD 所在的圓為同心圓，而且 兩條弦共線， 即可判定它們有公共的弦心距， 所 以本題可添弦心距， 利用垂徑定理即可解題， 證 明略。 五、 利用等腰三角形三線合一添高 在等腰或等邊三角形中，若已知三邊，求面 積或需證明底邊上的某些線段相等時(shí)， 常通過添底 邊上的高，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得 高把原來的三角形分成左右兩個(gè)全等的直角三角 形，利用直角三角形勾股定理或全等三角形對(duì)應(yīng) 邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)解題。 例 已知:點(diǎn) D,E 在 BC 上， AB=AC,AD=AE B D H E C A 求證:BD=CE 分析：已知條件中有兩個(gè)等腰三角形，而所

11、證的兩條線斷正好位于底邊 上，通過添高利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得線段 BH=HC, DH=HE。 再根據(jù)等式性質(zhì)，命題即可得證。 六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法 此法用于證明兩條線段之和或之差等于另一 條線段。截長(zhǎng)法在較 長(zhǎng)線段中截取一段等于圖中另一條線段；補(bǔ)短法延長(zhǎng)一條線段，使延長(zhǎng) 部分等于圖中另一條線段。 6 例 已知在 ABC 中， 平分 Ð BAC， Ð AD A 1 2 B=2 Ð C，求證：AB+BD=AC 證明：在 AC 上截取 AF=AB，連接 DF F B 在 D ABD 與 D AFD 中 Ð1=Ð2（已知） AB=AF AD=DA（

12、公共邊） C D E D ABD D AFD（S.A.S） ÐB=ÐAFD，BD=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊相等） 又 Ð B=2 Ð C ÐAFD=2ÐC 又 ÐAFD=ÐFDC+ÐC （在三角形中， 一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和） ÐFDC=ÐC FD=FC（等角對(duì)等邊） 即 AB+BD=AC 注： 上題也可用補(bǔ)短法， 即延長(zhǎng) AB 到點(diǎn) E， AE=AC， 使 只要證明 BE=BD 即可。 評(píng)注：在上述幾何題型中，通過透析題、圖的條件及待證結(jié)論特征，一 法補(bǔ)短，即延長(zhǎng) AB 到點(diǎn) E，使 AE=AC。一法截長(zhǎng)，在 AC 上截取