復(fù)變函數(shù)與積分變換ppt課件

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 引言引言: : 在十六世紀(jì)中葉，在十六世紀(jì)中葉，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次在研究一元二次方程方程 時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒有根，并時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒有根，并把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為 。在當(dāng)時(shí)，。在當(dāng)時(shí)，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上，復(fù)數(shù)被復(fù)數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并引入后，在很長一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的被認(rèn)為是沒

2、有意義的，不能接受的“虛數(shù)虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)，。直到十七與十八世紀(jì)，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于 L.Euler的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式公式 揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。然而一直到威瑟爾然而一直到威瑟爾( C.Wessel 挪威挪威.1745-1818)和阿爾岡和阿爾岡( R.Argand法國法國.1768-1822將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示，以及將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示，以及

3、K.F.Gauss (德國德國1777-1855)與漢密爾頓與漢密爾頓W.R.Hamilton (愛爾蘭愛爾蘭1805-1865)定義定義 為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實(shí)性的長久為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實(shí)性的長久疑慮，疑慮，“復(fù)變函數(shù)這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。1040 xx515515與cossinieiaib復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 意大利醫(yī)生、數(shù)學(xué)家、占星術(shù)家。一般稱其英文拼法名字卡當(dāng)意大利醫(yī)生、數(shù)學(xué)家、占星術(shù)家。一般稱其英文拼法名字卡當(dāng)(Cardan)(Cardan)。15011501年

4、年9 9月月2424日生于帕維亞，日生于帕維亞，15761576年年9 9月月2121日死于羅馬。日死于羅馬。早年學(xué)習(xí)古典文學(xué)、數(shù)學(xué)和星占學(xué)，后入帕維亞大學(xué)讀醫(yī)學(xué)，早年學(xué)習(xí)古典文學(xué)、數(shù)學(xué)和星占學(xué)，后入帕維亞大學(xué)讀醫(yī)學(xué)，15261526年獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。年獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。15341534年成為數(shù)學(xué)教師。年成為數(shù)學(xué)教師。15391539年到米蘭醫(yī)學(xué)年到米蘭醫(yī)學(xué)院任教，院任教，15431543年成為帕維亞大學(xué)醫(yī)學(xué)教授。他在醫(yī)學(xué)上曾是聞名全歐的醫(yī)生，也是第一個(gè)記載斑疹傷寒病醫(yī)療方法的人。年成為帕維亞大學(xué)醫(yī)學(xué)教授。他在醫(yī)學(xué)上曾是聞名全歐的醫(yī)生，也是第一個(gè)記載斑疹傷寒病醫(yī)療方法的人。 在數(shù)學(xué)上以記載三次和

5、四次代數(shù)方程的一般解法而著稱，發(fā)表在在數(shù)學(xué)上以記載三次和四次代數(shù)方程的一般解法而著稱，發(fā)表在15451545年出版的年出版的 一書中。他說明解法取自另一數(shù)學(xué)家塔一書中。他說明解法取自另一數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞，并且一名叫費(fèi)羅的人在爾塔利亞，并且一名叫費(fèi)羅的人在 3030年前已得知，但都沒有證明，他本人用幾何方法對三次方程求解公式進(jìn)行了證明。實(shí)際上年前已得知，但都沒有證明，他本人用幾何方法對三次方程求解公式進(jìn)行了證明。實(shí)際上塔爾塔利亞只告知了兩種特例情形，而卡爾達(dá)諾敘述的公式具有一般性，因此后人稱這一公式為卡爾達(dá)諾公式或卡當(dāng)公塔爾塔利亞只告知了兩種特例情形，而卡爾達(dá)諾敘述的公式具有一般性，因此后人稱這

6、一公式為卡爾達(dá)諾公式或卡當(dāng)公式。式。 書中還記載了他的學(xué)生費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的四次代數(shù)方程的一般解法，還有代數(shù)基本定理和韋達(dá)定理的初級形式，解方程中虛根的書中還記載了他的學(xué)生費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的四次代數(shù)方程的一般解法，還有代數(shù)基本定理和韋達(dá)定理的初級形式，解方程中虛根的使用等許多方程的基本理論。使用等許多方程的基本理論。 他被譽(yù)為他被譽(yù)為1616世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期人文主義的代表人物和百科全書式的學(xué)者，一生共寫了各種類型論著世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期人文主義的代表人物和百科全書式的學(xué)者，一生共寫了各種類型論著200200多種，內(nèi)容涉及力學(xué)、多種，內(nèi)容涉及力學(xué)、機(jī)械學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、密碼術(shù)、及占星術(shù)等等。機(jī)械學(xué)、天文

7、學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、密碼術(shù)、及占星術(shù)等等。 卡爾達(dá)諾卡爾達(dá)諾Cardano, Girolamo, 1501-1576Cardano, Girolamo, 1501-1576）第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。面問題的有力工具。 復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域 的推廣和發(fā)展。的推廣和發(fā)展。

8、自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù)自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù), , 它是本課程的研究對它是本課程的研究對象象. .由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算, ,第一章第一章將在原有的基礎(chǔ)上作簡要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充將在原有的基礎(chǔ)上作簡要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充; ; 然后再介紹復(fù)平面上然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念, , 為進(jìn)一步研究解為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ)析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ). .第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.11.

9、1復(fù)數(shù)及其表示法復(fù)數(shù)及其表示法iyxz 一對有序?qū)崝?shù)（一對有序?qū)崝?shù)（ ）構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，記為）構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，記為 . .yx,x, y 分別稱為分別稱為 Z 的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部, 記作記作x=Re(Z), y=Im(Z), .1i zxiy稱為稱為 Z Z 的共軛復(fù)數(shù)。的共軛復(fù)數(shù)。與實(shí)數(shù)不同與實(shí)數(shù)不同, 一般說來一般說來, 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等兩個(gè)復(fù)數(shù)相等他們的實(shí)部和虛部都相等他們的實(shí)部和虛部都相等特別地，特別地，00yxiyxz第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1.1.代數(shù)形式代數(shù)形式 : :iyxz復(fù)數(shù)的表示法復(fù)數(shù)的表示法1)點(diǎn)表示：點(diǎn)表示

10、：iyxz復(fù)數(shù)( , )XOYz x y 平面上的點(diǎn)y yz(x,y)z(x,y)x xx x0 0y yr r復(fù)平面復(fù)平面實(shí)軸實(shí)軸虛軸虛軸第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2) 2) 向量表示：向量表示：-復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z z的輻角的輻角(argument) (argument) 記作記作Arg z=q .Arg z=q . 任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z z0 0有無窮多個(gè)幅角有無窮多個(gè)幅角, ,將滿足將滿足 復(fù)數(shù)z=x+iy矢徑z0 xyxyz=x+iy|z|=rz22zzrxy-復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z z的模的模zx與 軸正向的夾角|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyzx- q0- q

11、0 的的q0 q0 稱為稱為Arg zArg z的主值的主值, , 記作記作q0=arg z .q0=arg z .那那么么Arg z=q0+2k =arg z +2k (kArg z=q0+2k =arg z +2k (k為任意整數(shù)為任意整數(shù)) )第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanarg 當(dāng)當(dāng) z = 0 時(shí)時(shí), | z | = 0, 而幅角不確定而幅角不確定. arg z可由下列關(guān)系確定可由下列關(guān)系確定:arctan22yx其中闡明：當(dāng)闡明：當(dāng) z 在第二象限時(shí)，在第二象限時(shí)，arg022z

12、tan()tan()tanyxarctanyx arctan.yx第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 2. 指數(shù)形式與三角形式指數(shù)形式與三角形式),(zArgzr)sin(cosirzirez 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系: x r cos, y r sin,: x r cos, y r sin, 可以將可以將z z表示成三角表示式表示成三角表示式: : 利用歐拉公式利用歐拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指數(shù)表示式得指數(shù)表示式:例例1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.1)122 ;2)sincos.5

13、5zizi 解解1)|1244.rzz在第三象限在第三象限, 因此因此235arctanarctan.3612 因此因此56554cos()sin()466izie第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2) 顯然顯然, r = | z | = 1, 又又3sincoscos,525103cossinsin.52510因此因此31033cossin1010izie練習(xí)：練習(xí)： 寫出寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。的輻角和它的指數(shù)形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1

14、.2 1.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的運(yùn)算222111,iyxziyxz設(shè)設(shè))0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ；z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律,結(jié)合律和分配律結(jié)合律和分配律:1 . 四則運(yùn)算：四則運(yùn)算：第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 加減法與平行四邊形加減法與平行四邊形法則的幾何意義法則的幾何意義:

15、 :乘、除法的幾何意義乘、除法的幾何意義: :111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzArgz zAzArgz,1z2z12zz12zz,定理定理1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個(gè)復(fù)兩個(gè)復(fù) 數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 等式等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等的意思是等式的兩式的兩 邊都是無限集合邊都是無限集合, 兩邊的集合相等兩邊的集合相等, 即每給定等式左邊即每給定等式左邊 的一個(gè)數(shù)

16、的一個(gè)數(shù), 就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對應(yīng)就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對應(yīng), 反之亦然反之亦然.幾何上幾何上 z1z2 相當(dāng)于將相當(dāng)于將 z2 的模擴(kuò)大的模擴(kuò)大 |z1| 倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度角度Arg z1 .011z2z1 2z z1r2r1 2rr12112 xy1iz12z第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2：設(shè)：設(shè)121,.zzi 求求1 2;1 2.z zArgz z212;iz zie 12,Argzn22,2Argzm解：解：121222,Argz zArgzArgzkk m nZ 若取若取1,k 那那么么1,1,;nmnm 若取若取0,mn那那么么1.k 第二節(jié) 目

17、錄 上頁 下頁 前往 終了 22112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArgzArgzz;按照乘積的定義按照乘積的定義, 當(dāng)當(dāng)z10時(shí)時(shí), 有有定理定理2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商, 兩個(gè)復(fù)數(shù)兩個(gè)復(fù)數(shù) 的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2 . 乘方與開方運(yùn)算乘方與開方運(yùn)算1乘方乘方cossinnninnzr erninDe Moivre （棣摩佛公式：（棣摩佛公式：cossincossin

18、ninin第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2 ）開方）開方: 若滿足，若滿足，則稱則稱w w為為z z的的n n次方根，次方根，nwz記為記為 .nwzziArgwinArgnezew2(0,1,2,1)nwzargzkArgwnkn于是于是推得推得第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2122cossin(0,1,1)arg zkinnnnzzeargzkargzkrinnkn從而從而幾何解釋：幾何解釋：z1/n的的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心, r1/n為半徑的圓為半徑的圓 的內(nèi)接正的內(nèi)接正n邊形的邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。個(gè)頂點(diǎn)。例例2 求求41. i解解 由于由于12 cos

19、sin,44ii 所以所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiik 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 即即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwi注：四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑注：四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).2821+iw0w1w2w3Oxy第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1.3 1.3 復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程很多

20、平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式或不等式)來表來表示示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式或不等式)來確定來確定 它所表示的平面圖形它所表示的平面圖形. 例例3 將通過兩點(diǎn)將通過兩點(diǎn)z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形的直線用復(fù)數(shù)形式式 的方程來表示的方程來表示. 解解 ：通過點(diǎn)：通過點(diǎn)(x1,y1)與與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示的直線可用參數(shù)方程表示為為121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此因此, 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1). (-t+)第二節(jié) 目錄 上頁

21、下頁 前往 終了 由此得知由由此得知由z1到到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成的直線段的參數(shù)方程可以寫成z=z1+t(z2-z1). (0t1)取取12t 得知線段得知線段1 2z z的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為122zzz 例例4 求下列方程所表示的曲線求下列方程所表示的曲線:1)|2;2)|2 | |2|;3)Im()4.ziziziz第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 解：解：1)| 2zi 設(shè)設(shè) z = x + i y , 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2 | |2|ziz 幾何上幾何上, 該方程表示到點(diǎn)該方程表示到點(diǎn)2i和和-2的距離相等的

22、點(diǎn)的軌跡的距離相等的點(diǎn)的軌跡, 所所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和和-2的線段的垂直平分線的線段的垂直平分線, 方方程為程為 y = - x , 也可用代數(shù)的方法求出。也可用代數(shù)的方法求出。第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 Oxy22iy=-x3)Im()4.iz設(shè)設(shè) z = x + i y , 那末那末(1)Im()1izxy iizy 可得所求曲線的方程為可得所求曲線的方程為 y = -3 .Oyxy=-3第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 復(fù)數(shù)域的幾何模型復(fù)數(shù)域的幾何模型-復(fù)球面復(fù)球面 0N除了復(fù)數(shù)的平面表除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外示方法外, 還可以還可以

23、用球面上的點(diǎn)來表用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)示復(fù)數(shù).第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 x2x3oz(x,y)x1yP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)對復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)對復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z, 用直線將用直線將z與與N相相連連, 與球面相交于與球面相交于P點(diǎn)點(diǎn), 則球面上除則球面上除N點(diǎn)點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一面上的所有點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系一對應(yīng)的關(guān)系, 而而N點(diǎn)本身可代表點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 記作記作.這樣的球面稱作復(fù)這樣的球面稱作復(fù)球面球面.x第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 擴(kuò)充復(fù)數(shù)域擴(kuò)充復(fù)數(shù)域 - 引進(jìn)一個(gè)引進(jìn)一個(gè)“新的數(shù)新的數(shù): 擴(kuò)充復(fù)平

24、面擴(kuò)充復(fù)平面 - 引進(jìn)一個(gè)引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)理想點(diǎn)”: 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn) .商定商定: : ),0(0aa),(0aa)(aa)0( aaa)(aaa第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1.4 1.4 區(qū)域區(qū)域 1. 區(qū)域的概念區(qū)域的概念 平面上以平面上以 z0為中心為中心, d (任意的正數(shù)任意的正數(shù))為半徑的圓為半徑的圓: |z-z0|d 內(nèi)內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域的鄰域, 而稱由不等式而稱由不等式 0|z-z0|M 的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合, 其中實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù) M0 , 稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域. 即它是圓即它是圓 |z|=M 的外部且包含的外部且包含

25、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身. 不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足的僅滿足 |z|M 的所有點(diǎn)稱為無窮的所有點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域, 也記作也記作 M|z|M第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 設(shè)設(shè)G為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集, z0為為G中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn). 如果存在如果存在z0的一個(gè)的一個(gè)鄰域鄰域, 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G, 則稱則稱z0為為G的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn). 如果如果G內(nèi)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), 則稱則稱G為開集為開集 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域稱為一個(gè)區(qū)域, 如果它滿足下列兩個(gè)條件如果它滿足下列兩個(gè)條件:1) D是一

26、個(gè)開集是一個(gè)開集;2) D是連通的。就是說是連通的。就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D 的一條折線連接起來的一條折線連接起來. 設(shè)設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, 如果點(diǎn)如果點(diǎn)P不屬于不屬于D, 但在但在P的任意的任意小的鄰域內(nèi)總包含有小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn)中的點(diǎn), 這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)P稱為稱為D的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn). D的所的所有邊界點(diǎn)組成有邊界點(diǎn)組成D的邊界的邊界. 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的的點(diǎn)所組成的.第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 區(qū)域區(qū)域 D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域與它的邊

27、界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域, 記作記作D.如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面, 即即存在正數(shù)存在正數(shù) M, 使區(qū)域使區(qū)域 D的每個(gè)點(diǎn)的每個(gè)點(diǎn)z都滿足都滿足 |z|M, 則稱則稱 D為有為有界的界的, 否則稱為無界的否則稱為無界的. 平面曲線在數(shù)學(xué)上平面曲線在數(shù)學(xué)上, 經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線. 如果如果x(t)和和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù), 則方程組則方程組x=x(t), y=y(t), (atb)代表一條平面曲線代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線稱為連續(xù)曲線. 如果令如果令

28、z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個(gè)方程則此曲線可用一個(gè)方程z=z(t) (atb)來代表來代表. 這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.2. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 設(shè)設(shè)C: z=z(t) (atb)為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線, z(a)與與z(b)分別分別為為C的起點(diǎn)與終點(diǎn)的起點(diǎn)與終點(diǎn). 對于滿足對于滿足 at1b, at2b 的的 t1與與 t2, 當(dāng)當(dāng) t1t2而有而有 z(t1)=z(t2) 時(shí)時(shí), 點(diǎn)點(diǎn) z(t1)稱為曲線稱為曲線 C的重點(diǎn)的重點(diǎn). 沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線 C, 稱為簡單曲線

29、或若爾當(dāng)稱為簡單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線曲線. 如果簡單曲線如果簡單曲線 C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合, 即即 z(a)=z(b) , 則曲線則曲線 C 稱為簡單閉曲線稱為簡單閉曲線.z(a)=z(b)簡單簡單,閉閉z(a)z(b)簡單簡單,不閉不閉z(a)=z(b) 不簡單不簡單,閉閉不簡單不簡單,不閉不閉z(a)z(b)第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C 把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集個(gè)互不相交的點(diǎn)集, 其中除去其中除去 C 外外, 一個(gè)是有界區(qū)域一個(gè)是有界區(qū)域, 稱稱為為 C 的內(nèi)部的內(nèi)部, 另一

30、個(gè)是無界區(qū)域另一個(gè)是無界區(qū)域, 稱為稱為 C 的外部的外部, C 為它為它們的公共邊界們的公共邊界. 簡單閉曲線的這一性質(zhì)簡單閉曲線的這一性質(zhì), 其幾何直觀意義其幾何直觀意義是很清楚的是很清楚的.內(nèi)部外部C第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定義定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B, 如果在其中任作一條如果在其中任作一條簡單閉曲線簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為單連通域就稱為單連通域, 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域就稱為多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1.5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義定義定義 設(shè)設(shè) D 是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集, :DWfzw復(fù)數(shù) ,wf zf xiyu x yiv x y稱為復(fù)變函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù). .其確定了自變量為其確定了自變量為x和和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) u ,v .例如例如, 考察函數(shù)考察函數(shù) w = z2.令令 z = x+i