分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中若干應(yīng)用.doc

1、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中若干應(yīng)用摘 要 分類討論思想是初中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想之一。本文主要從數(shù)與式、解方程、幾何和函數(shù)的四個(gè)方面，通過(guò)典型例題的淺析，闡明了分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的若干應(yīng)用。最后對(duì)如何提高初中生分類討論思想應(yīng)用水平提出若干建議，旨在幫助學(xué)生能夠更好的認(rèn)識(shí)和理解分類討論思想，并將分類討論思想運(yùn)用到實(shí)際的解題當(dāng)中去。【關(guān)鍵詞】：p ：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；解題能力 Abstract The thought of classified discussion is one of the important mathematical thoughts in junior m

2、iddle school mathematics.In this paper, from the four aspects of number and formula, solving equation, geometry and function, through the analysis of typical e_les, the author e_pounds the lication of classified discussion in junior high school mathematics problem-solving.Finally, some suggestions a

3、re put forward on how to improve the lication level of the classified discussion ideas of junior high school students, in order to help students better understand and understand the classified discussion ideas, and ly the classified discussion ideas to the actual problem-solving.Key words：Classified

4、 Discussion Thought; Junior Middle School Mathematics; Problem Solving Ability 目 錄 1 引 言 1 2 分類討論思想概述 2 3 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的若干應(yīng)用 3 3.1 分類討論思想在數(shù)與式的應(yīng)用 3 3.2 分類討論思想在解方程的應(yīng)用 4 3.3分類討論思想在幾何的應(yīng)用 6 3.4分類討論思想在函數(shù)的應(yīng)用 8 4 提高初中生分類討論思想應(yīng)用能力的幾點(diǎn)建議 11 4.1 課堂中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透 12 4.2 加強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí) 12 4.3提高意識(shí)，增加練習(xí)量 12 4.4 端正學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度 1

5、3 5 結(jié) 論 13 致 謝 15 參 考 文 獻(xiàn) 16 1 引 言 數(shù)學(xué)史不僅需要考慮到新概念和新定理，更加需要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的形成發(fā)展。195_年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫發(fā)表了數(shù)學(xué)它的內(nèi)容，方法和意義1寓意深刻的數(shù)學(xué)思想方法于淺顯的數(shù)學(xué)知識(shí)中，曾對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)造成不小影響。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)與猜想、怎樣解題等著作中闡述了許多數(shù)學(xué)思想方法2。1969年，日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏發(fā)表了數(shù)學(xué)的精神、思想與方法3系統(tǒng)闡述了貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的一些重要數(shù)學(xué)思想。在我國(guó)，徐利治教授曾出版近十部著作論述數(shù)學(xué)方法，如極具代表性的數(shù)學(xué)方法論選講4。南京大學(xué)鄭毓信教授于1985年出版的數(shù)學(xué)

6、方法論入門5，推進(jìn)了我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者深入開(kāi)展數(shù)學(xué)思想方法的研究。1989年，王仲春、李元忠教授出版了數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論6一書，比較系統(tǒng)的闡述了數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法。錢佩玲教授主編的全國(guó)中小學(xué)教師繼續(xù)教育教材中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法7一書，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了闡述和研究。自20_1年以來(lái)，新課程改革在我國(guó)被全面推進(jìn)，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)里，數(shù)學(xué)思想在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能方法的學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐漸顯現(xiàn)出其重要性。就如何培養(yǎng)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的研究和訓(xùn)練成為初中數(shù)學(xué)的一大課題。正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏所說(shuō)：“數(shù)學(xué)的知識(shí)可以記憶一時(shí)，但數(shù)學(xué)的精神、思想和方法卻隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，可以使人受益終生3

7、?！彼枰炀氄莆战炭茣锏幕靖拍詈凸?，更加需要理解數(shù)學(xué)知識(shí)背后所隱藏的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法如若能被學(xué)生掌握了，對(duì)于知識(shí)的獲取才能更加快捷，對(duì)于知識(shí)的理解才能更加透徹。其中，分類討論思想作為不可或缺的方法之一，在初中升學(xué)考試的杠桿壓力下，無(wú)法得到教師、學(xué)生良好的探究。部分教師對(duì)于初中數(shù)學(xué)中與分類討論思想有關(guān)的安排和地位認(rèn)識(shí)模糊不清，使得在講解題目中未能及時(shí)滲透該思想，也未歸納總結(jié)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的幾類應(yīng)用。使學(xué)生遇到題目是否要進(jìn)行分類討論仍缺乏分類探討的意識(shí)，甚至有的同學(xué)產(chǎn)生思維定式，遇到題目就直接進(jìn)行分類，忽略了有時(shí)候分類討論是在具體作答過(guò)程中隨機(jī)產(chǎn)生的。而掌握分類討論思想

8、的精髓，會(huì)用分類討論思想分析p 和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是課標(biāo)中的基本要求10?；谏鲜銮闆r，探討初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的幾類應(yīng)用并提出提高初中生分類討論思想水平的建議是一項(xiàng)有益處的工作。2 分類討論思想概述 當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類別分別研究得出相應(yīng)的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答11，即分類討論思想的概念。所以，要進(jìn)行分類討論即“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”8。在運(yùn)用分類討論思想時(shí)，應(yīng)遵循同一性原則、完整性原則、互斥性原則和逐級(jí)性原則9。同一性原則是指針對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，如果選擇的劃分標(biāo)準(zhǔn)不一樣那么就會(huì)得到不同的分類情況，所以需

9、要采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)解決分類討論的相關(guān)問(wèn)題。例如，討論兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，需要對(duì)其中一個(gè)集合是否為空集進(jìn)行判斷，這就是從同一性原則出發(fā)進(jìn)行分類討論。完整性原則是在分類過(guò)程中，要確?；麨榱阍俜e零為整，切不可遺漏任何一種分類情形。例如，把三角形分為銳角三角形和鈍角三角形，沒(méi)有考慮直角三角形，這與分類討論思想的完整性原則不符。互斥性原則中討論的每個(gè)分支必須相互排斥，不可以有公共部分。例如，在對(duì)一組數(shù)進(jìn)行有無(wú)理數(shù)分類時(shí)，不能在不同的類別內(nèi)出現(xiàn)相同的數(shù)，否則不光違反了題意里分類的互異性，也違背了互斥性原則。逐級(jí)性原則指每次分類都可以一次完成，遇到復(fù)雜的題目時(shí)，可能需要進(jìn)行逐級(jí)分類，才能解決問(wèn)題。例如，

10、在含有參數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的函數(shù)中討論根的存在情況，就不僅需要對(duì)參數(shù)是否為零進(jìn)行討論，還要運(yùn)用到韋達(dá)定理與根的判別式的分類情況進(jìn)行作答，這便體現(xiàn)了分類討論的逐級(jí)性原則。分類討論思想的一般類型有從數(shù)學(xué)基本概念引起的分類討論，例如，絕對(duì)值、有理數(shù)無(wú)理數(shù)和單項(xiàng)式多項(xiàng)式等等；根據(jù)公式或函數(shù)的性質(zhì)引起的分類討論，例如，探究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等等；根據(jù)圖形位置變化引起的分類討論，例如，點(diǎn)與三角形、直線與圓的位置關(guān)系，需要考慮點(diǎn)的坐標(biāo)、直線斜率的幾種情況等等；根據(jù)參數(shù)自身變化引起的分類討論，例如，探討解方程問(wèn)題時(shí)，方程系數(shù)中的元素帶有參數(shù)，解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，函數(shù)表達(dá)式中帶有參數(shù)等等。不同類型的分類討論題目，主體

11、利用的基本原則側(cè)重點(diǎn)有所不同，只有不斷練習(xí)，分類討論思想才能自然形成、根深蒂固。3 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的若干應(yīng)用 在初中數(shù)學(xué)中，對(duì)分類討論是本著先易后難，循序漸進(jìn)的原則，把分類討論思想分成兩個(gè)層次，先分類后討論12。分類討論思想的運(yùn)用在基礎(chǔ)題和綜合題多有體現(xiàn)。本文選取數(shù)與式、解方程、幾何和函數(shù)這四個(gè)主要方向的經(jīng)典題進(jìn)行論述，從題目立意、解題過(guò)程、注意知識(shí)點(diǎn)等進(jìn)行分類討論思想的應(yīng)用分析p 。3.1 分類討論思想在數(shù)與式的應(yīng)用 在中考中，考查數(shù)與式分類的題目一般以選擇題或填空題出現(xiàn)，雖然所占分值不高，考察內(nèi)容也相對(duì)簡(jiǎn)單。但其在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也是不容忽視。在初中階段，這是學(xué)生第一次接觸分

12、類討論的內(nèi)容，學(xué)生所掌握的分類技巧或多或少會(huì)影響到后續(xù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)引起教師們?cè)诮虒W(xué)中的重視。下面，通過(guò)例題來(lái)展示分類討論思想在數(shù)與式中的具體應(yīng)用，旨在提高學(xué)生分類討論意識(shí)和能力。例1 試比較與的大小。解析：初中有許多種比較大小的方法，常用的一種方法是作差法。對(duì)兩個(gè)數(shù)量作減法，通過(guò)判斷差值的大小從而來(lái)判斷原數(shù)量的大小。如即；即；即。本題因?yàn)楹瑓?，最后需再通過(guò)對(duì)參數(shù)的談?wù)搧?lái)確定結(jié)果。解：對(duì)與作差，即；對(duì)進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，即，即；當(dāng)時(shí)，即，即；當(dāng)時(shí)，即，即。答：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。注意：這是初中數(shù)與式里運(yùn)用分類討論的經(jīng)典題型，確定完參數(shù)的大小后，來(lái)判斷原來(lái)兩個(gè)元素的大小。例1是由參數(shù)自身變化所

13、引起的分類討論，對(duì)含有參數(shù)的兩個(gè)式子作差化簡(jiǎn)后，與0的關(guān)系進(jìn)行討論，滿足分類討論思想的同一性原則；考慮到參數(shù)的所有情況后，如若有不滿足條件的取值，略去，體現(xiàn)了分類討論思想的同一性和完整性原則。除此之外，在分類討論過(guò)程中格式采用了“當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；”，規(guī)范了答題過(guò)程，使分類過(guò)程一目了然。例2 當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)。解析：本題如何化簡(jiǎn)取決于絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的大小，式子大于等于零直接去絕對(duì)值，式子小于零添加負(fù)號(hào)。據(jù)此原則，通過(guò)對(duì)參數(shù)大小的分類進(jìn)行化簡(jiǎn)。解：因?yàn)椋?jiǎn)，需要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)進(jìn)行判斷。當(dāng)， 時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；所以當(dāng)， 時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，。注意：例2是含參

14、數(shù)的絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，需要判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)性。參數(shù)需要與-1進(jìn)行比較分類，參數(shù)需要與1進(jìn)行比較分類，需要進(jìn)行二級(jí)分類討論，得出參數(shù)和最終的取值范圍，從而確定正負(fù)進(jìn)行化簡(jiǎn)。這符合分類討論思想的逐級(jí)性原則。在分類時(shí)，等于-1，等于1的情況也包含，這體現(xiàn)分類討論思想的完整性原則在分類討論過(guò)程中，采用分類討論的并列格式使分類情況清晰明了、層次分明，有助于學(xué)生理解答題步驟與詳細(xì)的解題過(guò)程。3.2 分類討論思想在解方程的應(yīng)用 在初中數(shù)學(xué)中，方程考察分類討論思想的主要方面是含參方程的求解。方程的系數(shù)含參，不同此項(xiàng)的系數(shù)含參結(jié)果不同，先分類再運(yùn)用根的判別式進(jìn)行求解、討論。學(xué)習(xí)此類問(wèn)題的解題有助于促進(jìn)學(xué)生

15、對(duì)分類討論思想的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的分析p 能力和思維能力。下面，通過(guò)解方程問(wèn)題來(lái)具體說(shuō)明分類討論思想在解方程中如何具體的進(jìn)行運(yùn)用。例3 存在關(guān)于的方程， （1）判斷該方程根的情況。（2）若該方程與一元二次方程有一個(gè)相同的解，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且h為符合條件的最大整數(shù)，求此時(shí)的取值。解析：因?yàn)榉匠痰亩雾?xiàng)系數(shù)含參，所以先分類該方程是否為一元二次方程，根據(jù)根的判別式進(jìn)行解析；根據(jù)題意求解h的值，從而解出一元二次方程，又因?yàn)閮煞匠逃型猓瑥亩鴮?duì)的取值進(jìn)行分類討論，得出的取值。解：（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程為一元一次方程，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程為一元二次方程，此時(shí) （i）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程

16、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（ii）當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（iii）當(dāng)即或時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；所以當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)且或時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)且或時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。（2）由于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，所以根據(jù)根的判別式可得：， 解得， 又因?yàn)槭欠蠗l件的最大整數(shù)，所以；將代入得， 解得， 當(dāng)兩個(gè)方程相同的根為3時(shí)，將代入，解得，符合；當(dāng)兩個(gè)方程相同的根為2時(shí)，將代入，解得，符合。注意：這是屬于方程根的判別式常規(guī)的考題，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)判別條件的記憶必須準(zhǔn)確。二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)從而分類為一元一次方程還是一元二次方程；通過(guò)對(duì)是大于、等于或小

17、于零的情況分類，進(jìn)而討論根的情況，這符合分類討論思想的逐級(jí)性原則和同一性原則。在作答過(guò)程中，做到不重復(fù)不遺漏、條理清晰、層次清楚，符合分類討論思想的完整性原則。3.3分類討論思想在幾何的應(yīng)用 在初中數(shù)學(xué)的幾何里，三角形是最?？疾榈膱D形，會(huì)運(yùn)用到分類討論思想方法在具體題目中作答的有三角形某角度為頂角或底角、某長(zhǎng)度為具體哪條邊長(zhǎng)的討論；有為高分值的解答題，至少為中難題程度，一般為探究性問(wèn)題，如在規(guī)則圖形內(nèi)存在的比值或線段之間的數(shù)量關(guān)系。在幾何內(nèi)的分類討論常需要和方程相結(jié)合，設(shè)立方程解出答案。下面，通過(guò)幾道典型例題來(lái)具體闡述分類討論思想在幾何中此類問(wèn)題的運(yùn)用，旨在提高學(xué)生的分析p 能力和邏輯思維能力

18、，增強(qiáng)學(xué)生解題中的分類討論意識(shí)。例4 在三角形中，,為邊上的高，且，求。解析：在本題中，三角形為銳角、直角還是鈍角三角形并不確定，需根據(jù)不同情況進(jìn)行分類，看到要聯(lián)想到運(yùn)用相似三角形進(jìn)行解題。解：當(dāng)三角形的高在三角形內(nèi)部時(shí)， 因?yàn)椋?所以， 所以, 在中， 所以；當(dāng)三角形的高在三角形外部時(shí)， 因?yàn)? 所以, 所以， 在中，, 因?yàn)槿切瓮饨堑扔谂c它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和， 所以。即當(dāng)三角形的高在三角形內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)三角形的高在三角形外部時(shí)，。注意：例4是由角度所引起的討論，高在三角形內(nèi)部，此三角形只可能為銳角或直角三角形，高在三角形外部，此三角形只可能為鈍角三角形。這類問(wèn)題是由三角形基本定義所引起的

19、分類討論，從同一性原則出發(fā)考慮高在內(nèi)部與外部的情況，同時(shí)也參照分類討論思想的完整性原則，進(jìn)行分類討論。例5 已知三角形HCG周長(zhǎng)為32厘米，其中一邊邊長(zhǎng)是另一邊邊長(zhǎng)的2倍，長(zhǎng)多少厘米？ 解析：三角形共三條邊，其中兩邊相等，有一邊邊長(zhǎng)是另一邊邊長(zhǎng)的兩倍，因?yàn)椴恢雷帜杆鶎?duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，所以在解題時(shí)就會(huì)有兩種情況，或,需要分類討論。三角形是初中幾何中最常考查的圖形，不同三角形的相關(guān)性質(zhì)有所差異。解：設(shè)， 當(dāng)時(shí)， 據(jù)題意，列，解得厘米，則厘米；當(dāng)時(shí)， 據(jù)題意，列，解得厘米，則厘米；檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，三邊長(zhǎng)為12.8厘米，12.8厘米，6.4厘米，任意兩邊之和大于第三邊，可組成三角形；當(dāng)時(shí)，三邊長(zhǎng)為厘米，厘米，

20、厘米，任意兩邊之和不大于第三邊，不可組成三角形，舍去。所以長(zhǎng)12.8厘米。注意：在初中數(shù)學(xué)的幾何中，三角形是最?？疾榈膱D形，例4和例5都是對(duì)三角形進(jìn)行分類討論，但例5需要用到由邊長(zhǎng)變化所引起的分類討論，即有一邊邊長(zhǎng)是另一邊邊長(zhǎng)的兩倍，在解題時(shí)就會(huì)有兩種情況，或需分類討論，體現(xiàn)了分類討論思想的完整性原則。本題還需要注意的是最后的檢驗(yàn)步驟，三角形兩邊之和要大于第三邊。據(jù)此來(lái)檢驗(yàn)答案是否相符。同理的角度問(wèn)題，三角形內(nèi)角和等于一百八十度，這也是最終檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)之一。在例5的分類討論過(guò)程中運(yùn)用并列格式“當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；”，完善了作答過(guò)程，使分類情況一目了然，便于理解。3.4分類討論思想在函數(shù)的應(yīng)用 初中數(shù)

21、學(xué)中函數(shù)知識(shí)起著啟蒙的作用，在中考中所占比重也是很大的，在客觀題和主觀題上均有考查。其中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題上起著重大作用，分類討論的思想也在其中得到廣泛的應(yīng)用。例如，求解函數(shù)的最值、函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)以及與其它函數(shù)或幾何有關(guān)的綜合問(wèn)題等等。通過(guò)分析p 典型例題，提高學(xué)生的分類能力和思維能力，增強(qiáng)學(xué)生在函數(shù)題目中運(yùn)用分類討論的意識(shí)。下面，通過(guò)列舉求解函數(shù)的值、函數(shù)與幾何相結(jié)合的情況來(lái)具體說(shuō)明。例6 求函數(shù)的圖像與_軸的交點(diǎn)。解析：此函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，所以無(wú)法確定它是二次函數(shù)還是一次函數(shù)，需要對(duì)進(jìn)行分類討論。再根據(jù)題意解題，與_軸的交點(diǎn)其y值等于零，分類后即可解析。解：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)

22、含有參數(shù)， 所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)為的一次函數(shù)，故將代入得，即函數(shù)與_軸的交點(diǎn)只有一個(gè)為（1，0）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)為二次函數(shù)， ， （1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與_軸的交點(diǎn)只有一個(gè)，將代入函數(shù)得， 解得，從而交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與_軸的交點(diǎn)有兩個(gè)，將代入得，從而解得，即兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：， 綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖像與_軸只有一個(gè)交點(diǎn)（1，0）；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)圖像與_軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)：，。注意：函數(shù)的表達(dá)式含參數(shù)，所以需要對(duì)其進(jìn)行分類討論，這是根據(jù)函數(shù)自身的性質(zhì)引起的分類討論。例題中首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的分類討論，是否為零考慮是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，及使二次函數(shù)的是否為零體

23、現(xiàn)了分類討論思想的完整性原則。根據(jù)參數(shù)的討論情況，可以符合題意情況整合在一起，使答案層次更加清晰。例7 直線與_軸、y軸分別交于點(diǎn)M（3，0），點(diǎn)N（0，4），如果點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓與直線相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解析：本題是一次函數(shù)與圓的相切問(wèn)題，圓心可動(dòng)，需要分類討論，可分類兩大類：在_軸上或在y軸上；四小類：_軸上在直線左側(cè)或右側(cè)，y軸上在直線上方或下方。解：當(dāng)點(diǎn)在y軸上，并且在N點(diǎn)的下方時(shí)，設(shè)圓與直線相切于點(diǎn)A，連接，則。所以， 因?yàn)椋?所以， 所以。在中，, 所以；又因?yàn)椋?所以 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）。當(dāng)點(diǎn)在_軸上，并且在M點(diǎn)左側(cè)時(shí)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）。

24、當(dāng)點(diǎn)在_軸上，并且在M點(diǎn)右側(cè)時(shí)，設(shè)圓與直線相切于點(diǎn)B，連接,則；所以 又因?yàn)?所以 所以 所以點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）；當(dāng)點(diǎn)在y軸上，并且在N點(diǎn)的上方時(shí)，同理可得， 所以 所以點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）綜上P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（6，0），（0，8）。注意：函數(shù)與圓的綜合題，首先對(duì)于函數(shù)與圓的基本性質(zhì)需認(rèn)真把握，常涉及的是位置關(guān)系問(wèn)題，相交、相切、相離等，找到分類的依據(jù)后需細(xì)致且勿遺漏。解決此類問(wèn)題重要的是把握標(biāo)準(zhǔn)，正確分類。本題除了是在_軸上或y軸上進(jìn)行討論，在后續(xù)更具體分為左右側(cè)、上下方，這滿足分類討論思想的逐級(jí)性原則。在作答過(guò)程中，做到不重復(fù)不遺漏、條理清晰、層次清楚。在逐級(jí)分類討論結(jié)束后，根據(jù)討論情

25、況，將整合在一起，使其更加簡(jiǎn)潔明了。在分類討論過(guò)程中采用了并列格式進(jìn)行作答，規(guī)范作答過(guò)程，劃分了逐級(jí)分類的討論情況，一目了然，有助于學(xué)生理解兩個(gè)分類的具體討論情況。4 提高初中生分類討論思想應(yīng)用能力的幾點(diǎn)建議 通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)教材的簡(jiǎn)要分析p ，得到在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要經(jīng)常用到分類討論思想，但初中生在解答數(shù)學(xué)題中的分類討論意識(shí)不足，即便有分類的意識(shí)，仍然無(wú)法正確的進(jìn)行討論，缺乏分類討論的準(zhǔn)確性。這就需要教師們?cè)谄匠５慕虒W(xué)工作中，對(duì)分類討論思想在初中課程安排中有更加清晰的認(rèn)識(shí)。為此提出以下幾點(diǎn)建議：4.1 課堂中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透 教師除了要把握好對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)，更應(yīng)該注意數(shù)學(xué)思想在課

26、堂中的滲透。例如，數(shù)與式的知識(shí)板塊中，對(duì)絕對(duì)值問(wèn)題、含參數(shù)問(wèn)題需要進(jìn)行分類討論的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥，讓學(xué)生在課堂上以及課后的學(xué)習(xí)上有分類討論思想的意識(shí)，而不僅僅是強(qiáng)調(diào)課堂上知識(shí)內(nèi)容本身的學(xué)習(xí)，由于這塊知識(shí)內(nèi)容在中考題中大多以選擇和填空的形式出現(xiàn)，教師們可以根據(jù)考查形式更有針對(duì)性的對(duì)分類討論思想在集合內(nèi)容中進(jìn)行滲透。教師在教學(xué)中，應(yīng)適當(dāng)提醒學(xué)生在作答過(guò)程中考慮分類的情況，增強(qiáng)學(xué)生分類討論的意識(shí)。因?yàn)閿?shù)與式模塊是初中數(shù)學(xué)中首先用到分類討論思想的，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生影響，應(yīng)得到教師的重視。另外，由于函數(shù)自身的性質(zhì)引起分類討論，這就使得教師們?cè)谥v解函數(shù)知識(shí)模塊中要加強(qiáng)分類討論意識(shí)的點(diǎn)撥，提高學(xué)生的思維能力

27、和解題能力。教師在講解到這類題型時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，通過(guò)學(xué)生間的討論情況以及課堂上的交流，對(duì)此類問(wèn)題及時(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，在課堂中進(jìn)行滲透，從而提高學(xué)生分類討論能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。4.2 加強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí) 對(duì)需要進(jìn)行分類討論的題目開(kāi)展分類討論是無(wú)法一蹴而就的，學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)注意基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，穩(wěn)扎穩(wěn)打，才能增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)知識(shí)能力。初中的數(shù)學(xué)越來(lái)越注重抽象思維能力的培養(yǎng)，這就需要學(xué)生認(rèn)真對(duì)待數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，從最開(kāi)始就學(xué)好數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容。學(xué)生不僅要掌握數(shù)學(xué)思想在題目中的具體運(yùn)用，也要善于學(xué)習(xí)與鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)會(huì)歸納整理初中數(shù)學(xué)中重要的定義、定理和公式，利用課余

28、時(shí)間消化好這些數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，以更好的狀態(tài)備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)。4.3提高意識(shí)，增加練習(xí)量 通過(guò)對(duì)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的若干應(yīng)用的內(nèi)容討論，可以發(fā)現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)中很多知識(shí)模塊都要涉及到分類討論思想，學(xué)生在解題過(guò)程中，缺乏分類討論意識(shí)，容易造成答案遺漏或錯(cuò)誤。想要更好的應(yīng)對(duì)分類討論的題目，就需要加大對(duì)相關(guān)的例題的訓(xùn)練，量變是質(zhì)變的前提，質(zhì)變是量變的結(jié)果。在解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)自己的不足，提高自己的分析p 能力和解題能力。例如，在函數(shù)的考查中，有一種很明顯的情況需要進(jìn)行分類討論，遇到形如的情況，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是參數(shù)，需要考慮參數(shù)是否為零的情形，這時(shí)候就有一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種不同的函數(shù)需要進(jìn)行討論，如果直

29、接忽略掉參數(shù)為零的情形，這樣的分類則不滿足分類討論的完整性原則，也無(wú)法得出最終正確的答案。所以，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，遇到含有參數(shù)的題目，在腦袋里應(yīng)該考慮到該題是否需要進(jìn)行分類討論，提高分類討論思想在解答題目時(shí)具體運(yùn)用的意識(shí)，并且適當(dāng)?shù)脑黾釉擃愋皖}目的訓(xùn)練量，做到對(duì)系數(shù)的參數(shù)可以層次分明的展開(kāi)討論，熟練的運(yùn)用函數(shù)關(guān)于根的問(wèn)題的求解方法。像這類的題目，學(xué)生起初無(wú)法很熟練并正確的作答，但可以通過(guò)增加該類題目的訓(xùn)練，慢慢熟悉這類題目分類討論的技巧與步驟，做到熟能生巧，真正掌握分類討論思想在這類數(shù)學(xué)題中的運(yùn)用方法。4.4 端正學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有先有正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，才能夠更大的發(fā)揮學(xué)習(xí)的作用。對(duì)分類討論中的疑問(wèn)應(yīng)與同學(xué)積極探討或向老師尋求幫助，及時(shí)對(duì)分類討論這類的題型進(jìn)行歸納總結(jié)，收獲不同的心得體會(huì)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生可以對(duì)分類討論思想在幾何、函數(shù)、解方程等方面的應(yīng)用進(jìn)行歸納總結(jié)，避免在下次遇到該類題目時(shí)仍不知所措，或是再犯下相同的錯(cuò)誤。由于初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較多，難度也有所提高，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)自覺(jué)復(fù)習(xí)鞏固已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)并及時(shí)進(jìn)行歸納整理，以便更好的