定積分及其應(yīng)用技術(shù)

1、第19課時(shí)定積分及其應(yīng)用一.知識(shí)梳理1. 定積分的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，將區(qū)間等分成分小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（）在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為，作和如果無(wú)限趨近于 0（亦即趨向于）時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記 為，其中稱為被積函數(shù)， 稱為積分區(qū)間，稱為積分下限， 稱為積分上限，2. 微積分基本定理：對(duì)于被積函數(shù)，如果，則=.3. 定積分的運(yùn)算性質(zhì)：=；:.4. 定積分的幾何意義：在區(qū)間上曲線與軸所圍成圖形面積的（即軸上方的面積減去軸下方的面積）；當(dāng)在區(qū)間上大于 0時(shí)，表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積，這也是定積分的幾何 意義當(dāng)在區(qū)間上小于 0時(shí)，表示由

2、直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積的當(dāng)在區(qū)間上有正有負(fù)時(shí)，表示介于直線之間軸之上、之下相應(yīng)的曲邊梯形的面積的5. 定積分在物理中的應(yīng)用：勻變速運(yùn)動(dòng)的路程公式，作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程， 等于其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分，即變力做功公式，一物體在變力 （單位：）的作用下作直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與相同的方向 從移動(dòng)到（單位：），則力所作的功為.二基礎(chǔ)訓(xùn)練1.2. 已知質(zhì)點(diǎn)的速度，則從到質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程是3. 已知的力作用于靜止的彈簧，彈簧伸長(zhǎng)1cm,則將靜止的彈簧拉長(zhǎng)6cm,彈力所做的功為隹八'、4.4. 已知在區(qū)間上且由直線及曲線所圍成的圖形面積為，則5. 由直線及曲線所圍成的圖

3、形面積為，則用定積分表示，則為_(kāi)三.典型例題1. 求定積分； ； ； .2. 求曲線及直線所圍封閉區(qū)域的面積.3. 求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積4. 如圖，過(guò)點(diǎn)A(6, 4)作曲線的切線I.求切線I的方程；求切線I, x軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積S.四.課后作業(yè)1. 若，則.2. .3. .45. .6. .7. 已知為偶函數(shù)且，則8. 求曲線與所圍成圖形的面積為9. 一物體以的速度運(yùn)動(dòng)，在前30s內(nèi)的平均速度為 .10. 求函數(shù)在區(qū)間上的積分.11. 已知拋物線，過(guò)原點(diǎn)的直線平分由拋物線與軸所圍成的封閉圖形的面積，求的方程12. 已知方程為常數(shù)。若，求方程的解的個(gè)數(shù)的期望；若內(nèi)等可

4、能取值，求此方程有實(shí)根的概率.2y= ax(a>【閱讀材料】如圖，用圖“以直代曲”的方法計(jì)算直線x= 0, x= 1, y= 0和曲線°11 21 x ：解(1)分割一一把區(qū)間0, 1等分成n個(gè)小區(qū)間：0, -, -，2, , n,(2 )以直代曲 S嚴(yán) f(-) x= a- - (3)作和一一因?yàn)槊總€(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以以 形面積之和就是曲邊三角形面積 S的近似值，n個(gè)小矩nS S1+ /+ Sn=E S i= 1話-n(n+ 1) (2n+ 1) = 6 (1 + 十)(2 +a 16(1 + n)(2(4)逼近一一當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即 x無(wú)限趨近于0 (亦即n趨向于