二重積分的計算與應用研究

1、.學 號14051103學年論文論文題目：二重積分的計算與應用研究院（系）名稱：信息工程學院專 業(yè) 名稱：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學 生 姓名：丁乾龍指 導 教師：王君（講師）哈爾濱學院2017年 9 月.學號14051103密級公開二重積分的計算與應用研究Double Integral Calculation and Its Application學生姓名：丁乾龍所在學院：信息工程學院所在專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學指導教師：王君職稱：講師所在單位：哈爾濱學院論文提交日期：2017年 08 月 25日論文答辯日期：學位授予單位 ：.目 錄摘 要 .I VABSTRACT.V前 言 .1第1章緒論.21.1

2、選題背景 .21.2選題意義 .21.3研究現(xiàn)狀 .21.4研究思路 .3第 2 章 二重積分的基本計算方法 .42.1二重積分的定義與性質(zhì) .42.2利用直角坐標系計算二重積分 .52.3利用變量替換法計算二重積分 .72.4利用極坐標系計算二重積分 .9第 3 章 特殊二重積分的計算技巧 .123.1利用函數(shù)奇偶性與區(qū)域?qū)ΨQ性計算 .123.2利用格林公式計算 .133.3利用輪換法計算 .143.4利用二重積分的幾何意義計算 .14結(jié) 論 .18參考文獻 .19.摘 要二重積分在現(xiàn)實中有著廣泛的應用，二重積分可用于求解空間立體體積和曲面面積。在物理力學中，二重積分也有著不可代替的作用。本

3、文給出二重積分的概念及基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上總結(jié)了二重積分的七種比較常見的計算方法與計算技巧：利用直接坐標系計算、利用變量特換法計算、利用極坐標系計算、利用函數(shù)的奇偶性和區(qū)域?qū)ΨQ性計算、利用格林公式計算、利用輪換法計算、利用二重積分的幾何意義計算，還研究了一些二重積分在物理力學、計算空間立體體積、計算曲面面積、計算曲線積分和曲面積分等方面的應用問題。關(guān)鍵詞：二重積分；計算方法；計算技巧.ABSTRACTThe double integral is widely used in practice, the double integral can be used to solve the three

4、-dimensional volume and surface area. In mechanics, the double integral also has an irreplaceable role.This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven common calculation method of double integral and calculation skills:using direct coordinate syst

5、em to calculate, using variable replacement method to calculate, using the polar coordinate to calculate, using function and regional symmetry to calculate, using the parity of green formula to calculate, using the method of rotation to calculate, using the geometric meaning of double integral to ca

6、lculate, also studies on some practical problems about the double integral such as physical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.Key words: double integral ； computational methods ；computational ski

7、lls ；.前 言二重積分是數(shù)學分析中的重要內(nèi)容，它上承接著定積分，下引出三重積分和曲線積分、曲面積分 . 它在幾何、物理、經(jīng)濟學等多個科學都有極其廣泛的應用. 函數(shù)的二重積分是數(shù)學分析中的重要內(nèi)容，它涉及到多個科學領(lǐng)域，并起著至關(guān)重要的作用 . 然而在計算函數(shù)二重積分的過程中，由于計算和函數(shù)比較繁瑣，因此按照二重積分的定義計算二重積分有很大的局限. 計算機的廣泛應用，特別是MATLAB 等數(shù)學計算軟件的迅猛普及為二重積分的發(fā)展和應用開辟了廣闊的前景. 然而計算函數(shù)二重積分往往比較復雜和繁瑣，因此，研究二重積分的計算不僅很有必要，而且不斷尋找簡便的算法仍然是二重積計算方面的重要課題.第1章緒論

8、1.1 選題背景對于二重積分的應用主要體現(xiàn)在求曲線積分，曲面積分，曲面面積和物理學中的一些平面薄板的重心坐標，轉(zhuǎn)動慣量以及對質(zhì)點的引力等問題，利用二重積分可以巧妙解決這些問題，因此二重積分的計算與應用在物理學當中，尤其是在數(shù)學分析里是一門不可缺少的重要知識。1.2 選題意義二重積分的計算和應用研究在高等數(shù)學研究中具有重要意義，對于二重積分的研究不僅僅體現(xiàn)在理論上，與其相關(guān)的幾何模型和物理模型也在被討論研究. 二重積分的研究雖然以前也有不少人研究過，但多數(shù)人只是理論上研究，在實際應用中的研究還比較少，比如在求物體的重心，以及引力等，甚至經(jīng)濟學中方面相關(guān)深入的研究比較狹窄 4 .在有些應用當中，我

9、們會遇到一些二重積分基本運算問題，即在給定的被積函數(shù)和積分區(qū)域比較特殊時，計算二重積分，此時計算量就會很大 . 因此，不斷尋找簡便的算法便成為二重積分運算方面的重要課題。1.3 研究現(xiàn)狀采用層進式教學法可以由淺入深的讓學生輕松掌握這種積分的算法 . 是高等數(shù)學的重點，也是難點，計算較為繁瑣，有的二重積分需要一定的技巧才能求出，二重積分的計算方法主要是在極坐標系和直角坐標系下將二重積分化為二次積分，進而要利用兩次定積分計算此二重積分，但是某些二重積分化為二次積分后計算仍相當困難，這時，我們就要采用特殊的算法計算。文獻 1 介紹了二重積分的發(fā)展及其相關(guān)應用； 215 主要介紹了二重積分的一些計算方

10、法和相關(guān)性質(zhì)定理； 16 26 主要介紹了一些二重積分在力學方面的一些應用 . 鄭兆順探究了直角坐標系下二重積分的計算；曹毅探究了利用變量替換與極坐標系下二重積分的計算；李娟探究了利用函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性簡化二重積分的計算；趙赫探究了利用格林公式來計算二重積分，本文在此基礎(chǔ)上還探究了一下利用輪換法，格林公式，二重積分的幾何意義來計算一些特殊的二重積分913 .1.4選題意義通過查看圖書與學校電子閱覽室里的有關(guān)二重積分計算的資料，最終分析決定主要研究以下幾個方面：（1）二重積分的基本計算方法；（2）二重積分的特殊計算方法；（3）二重積分的應用 .根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的不同特征熟練采用

11、不同的計算方法求二重積分. 上述介紹的幾種方法不一定全是最簡單的，也不是獨立存在的，有時還需要相互配合使用 . 總之，在二重積分計算過程中要充分運用被積函數(shù)和積分區(qū)域的特征尋求最佳計算方法，這對于知識的內(nèi)在聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡單的計算方法的能力需要在實踐中逐步提高。本課題最終將達到的目標：根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點選擇簡便的計算方法；利用二重積分的一些性質(zhì)來解決實際問題。.第 2 章 二重積分的基本計算方法2.1 二重積分的定義與性質(zhì)設(shè) f ( x, y) 是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D 上的函數(shù)， J 是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù) ，總存在某個正數(shù)，使對于 D

12、 的任何分割 T ，當它的細度 T 時，屬于 T 的所有積分和都有n（1）f ( i , i ) i J，i 1則稱 f ( x, y) 在 D 上可積，數(shù) J 稱為函數(shù) f (x, y) 在 D 上的二重積分，記作Jf (x, y)d ，D其中 f ( x, y) 稱為二重積分的被積函數(shù)， x ， y 稱為積分變量， D 稱為積分區(qū)域 .當 f ( x, y)0 時，二重積分f ( x, y)d在幾何上就表示以 z f ( x, y) 為曲頂， DD為底的曲頂柱體的體積 . 當 f ( x, y)1時，二重積分f ( x, y)d 的值就等于積分區(qū)域 DD的面積 .由二重積分定義知道，若f

13、( x, y) 在區(qū)域 D 上可積，則與定積分情況一樣，對任何分割 T ，只要當 T時，（ 1）式都成立 . 因此為方便計算起見，常選取一些特殊的分割方法，如選用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來分割D ，則每一小網(wǎng)眼區(qū)域的面積x y .此時通常把f ( x, y) d記作f (x, y)dxdy .DD二重積分具有一系列與定積分完全相類似的性質(zhì)，現(xiàn)列舉如下：性質(zhì) 1 若 f ( x , y ) 在區(qū)域 D上可積， k 為常數(shù)，則 kf ( x, y) 在 D 上也可積，且kf ( x, y)dkf ( x, y)d .DD性質(zhì) 2若 f (x, y), g(x, y) 在 D 上都可積，則 f ( x,

14、 y)g( x, y) 在 D 上也可積，且f ( x, y)g( x, y) df ( x, y)dg( x, y)d .DDD性質(zhì) 3若 f( x , y ) 在 D1 和 D 2 上都可積，且 D1 與 D 2 無公共內(nèi)點，則 f ( x , y ) 在D 1D 2 上也可積，且.f (x, y) df (x, y) df (x, y)d .D1 D2D1D2性質(zhì) 4若 f (x, y), g(x, y) 在 D 上可積，且 f ( x, y)g( x, y), ( x, y) D ，則f (x, y) dg(x, y)d .DD性質(zhì) 5若 f ( x , y ) 在 D 上可積，則函數(shù)

15、 f ( x, y) 在 D 上也可積，且f ( x, y) df ( x, y) d .DD性質(zhì) 6 若 f ( x , y ) 在 D 上可積，且 mf (x, y)M , (x, y) D ，則mSDf ( x, y) dMSDD這里 SD 是積分區(qū)域 D 的面積 .性質(zhì) 7(中值定理 ) 若 f ( x , y ) 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則存在 ( , ) D ，使得f ( x, y)df ( , )SDD這里 SD 是積分區(qū)域 D 的面積 .中值定理的幾何意義是以 D 為底， zf (x, y)f (x, y)0 為曲頂?shù)那斨w體積等于一個同底的平頂柱體的體積，這個平頂柱體的高

16、等于f( x , y ) 在區(qū)域 D 中某點 ( ,) 的函數(shù)值 f ( , ) .2.2利用直角坐標系計算二重積分定理 1 設(shè) f ( x ,y ) 在矩形區(qū)域 Da,b c, d 上可積，且對每個 x a, b ，積分dbdf ( x, y) dy 存在，則累次積分 dyf (x, y)dy 也存在，且cacbdf (x, y)ddxf ( x, y) dy .acD.定理 2 設(shè) f ( x , y ) 在矩形區(qū)域Da, b c, d 上可積，且對每個 yc, d ，積分bdbf (x, y)dx 存在，則累次積分cdy f (x, y)dx 也存在，且aadbf (x, y)ddyf

17、( x, y)dx .caD定理 3 設(shè)有界閉區(qū)域 D 是由兩條交合曲線 y1 ( x) 與 y2(x) ， axb且 1 (x)2 (x) ，以及直線 x a 與 x b 所圍成，若函數(shù) f ( x, y ) 在 D 上連續(xù)，則有f (x, y)dxdyb2 ( x )f ( x, y)dy .dx1 ( x)Da定理 4 設(shè)有界閉區(qū)域 D 是由兩條交合曲線 x1 ( y) 與 x2(y) ， cyd 且1 ( y )2 ( y ) 以及直線 yc 與 yd 所圍成，若函數(shù) f ( x, y) 在 D 上連續(xù)，則有f (x, y)dxdyd2 ( y)dy1 ( y )f ( x, y)dx

18、 .Dc例 1計算二重積分x 2dxdy ，其中區(qū)域 D 是由直線 x2 ， yx 和雙曲線 xy1所Dy 2圍成 .解 ：先對 y 積分后對 x 積分，將 D 積分在 x 軸上，在區(qū)間 1,2，對任意x 1, 2 ，對 y 積分，在 D 內(nèi) y 的積分順序是 y1到 yx ，然后在積分區(qū)間1,2 上對xx 積分，即x22x x2239.y2 dxdy1dx 12 dy1( x x)dx4Dx y同理，如果先對 x 積分后對 y 積分，也可得到相應結(jié)果.若給定的積分為二次積分，但它不能用初等函數(shù)形式表示出來或者積分的計算量較大，可考慮交換積分次序，其一般步驟為： （1）先根據(jù)給定的二次積分限，

19、寫出積分區(qū)域的不等式表達式，并依此作出區(qū)域的圖形； (2) 根據(jù)區(qū)域的圖形，重新選擇積分.限，化為另一種類型的二重積分. 特別地，若積分被積函數(shù)中出現(xiàn)sin x ， sin x2 ，e x2y6 .x， ex等函數(shù)時，也可利用分部積分法來計算例 2 設(shè) D 是由直線 x 0， y1 及 y x圍成的區(qū)域，試計算： Ix2e y2d 的值 .D解 ：若用先對 y 后對 x 的積分，則I1 x2dx 1 e y2 dy .0x2由于函數(shù) e y 的原函數(shù)無法用初等函數(shù)形式表示，因此改用另一種順序的累次積1y2ey211 3y2分，則有 Idyxdx3y edy . 由分部積分法，即可算得：0001

20、1I.63e許多常見的區(qū)域都可以分解成為有限個除邊界外無公共內(nèi)點的x 型區(qū)域或 y 型區(qū)域 .因而解決了 x 型區(qū)域或 y 型區(qū)域上二重積分的計算問題，那么一般區(qū)域上二重積分的計算問題也就得到了解決 .例 3 計算二重積分d ，其中 D 為由直線 y2 x， x2 y 及 xy 3 所圍的三角形區(qū)D域 .解：當把 D 看作 x 區(qū)域時，相應的D1(x, y) 0x1, xy2x， D2( x, y) 1 x 2, xy 3 x .2212 x23x所以ddd0 dx x dy1dx xdyDD1D222(2xx )dx(3 xx )dx1202123x213x3x223.404122.3利用變

21、量替換法計算二重積分當被積函數(shù)較為復雜，這時可以考慮利用變量變換化被積函數(shù)為簡單函數(shù)，原積分區(qū)域相應的轉(zhuǎn)化為新的積分區(qū)域，進而利用公式進行計算 7 .引理 設(shè)變換 T : x(u, v) ， yy(u, v) 將 uv 平面上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域 ，一對一地映成 xy 平面上的閉區(qū)域 D ，函數(shù) x(u, v) ， y(u, v) 在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)且它們的函數(shù)行列式J (u, v)( x, y)0 ， (u, v)，則區(qū)域 D 的面積(u, v)u( D )J (u, v) dudv.D定理 5 設(shè) f ( x , y )在有界閉區(qū)域 D 上可積，變換 T : xx(u,

22、v) ， yy(u, v) 將 uv 平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對一地映成 xy 平面上的閉區(qū)域 D ，函數(shù)x(u, v) ， y(u, v) 在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)且它們的函數(shù)行列式J (u, v)(x, y)， (u,v)則f ( x, y)dxdyfx(u, v), y(u, v) J (u, v) dudv.0(u, v)Dx y例 4 求ex y dxdy ，其中 D 是由 x0 ， y 0， xy1所圍區(qū)域 .D解：為了簡化被積函數(shù)，令 uxy ， vxy ，為此作變換T: x1 (u v) ，21111(vu) ，則 J (u,v)22y110 ，在變換 T 的作

23、用下，2222xyu1 dudv1u1ee 1exy dxdyev1dvv ev du1v(ee 1 )dv.D220v204例 5 求拋物線 y2mx ， y2nx 和直線 yx ， yx 所圍成區(qū)域 D 的面積u( D ) (0mn ， 0) .解： D 的面積 u( D )dxdy . 為了簡化積分區(qū)域，作變換xu2 ， y u .Dvv它把 xy 平面上的區(qū)域 D 對應到 uv 平面上的矩形區(qū)域 m, n, .12uuv2v3由于 J (u,v)1uv40， (u, v)，vv2所以 (D)du4 dudvdvn(n2m2 )( 33 )4udu3 3.Dvvm62.4 利用極坐標系計

24、算二重積分當積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或者被積函數(shù)的形式為f (x2y2) 時，采用極坐xr cos ,， 02往往能達到簡化積分區(qū)域或被積函數(shù)的目標變換 T:0 ryr sin ,的 . 此時，變換 T 的函數(shù)行列式為 J (r , )cosr sinsinr .r cos應用極坐標替換將直角坐標系中的二重積分化為極坐標系中的二重積分，能簡化二重積分的計算，二重積分的極坐標替換是f ( x, y )dxdyf (r cos ,r sin ) rdrd .DD下面介紹二重積分在極坐標系下如何化為累次積分計算.（1） 若原點 0 D 且 xy 平面上射線常數(shù)與 D 的邊界至多交于兩點，則可表

25、示成 r1( )r r2 ( ) ，于是有f (x, y)dxdyr2 ()df (r cos , r sin ) rdr .Dr1 ( )類似地，若 xy 平面上的圓 r常數(shù)與 D 的邊界至多交于兩點，則必可表示為1 (r )2 (r ) ， r1 r r2 ，所以r22 ( r )f (x, y)dxdyrdrf (r cos , r sin )d .r11 (r )D.（2）若原點為 D 的內(nèi)點， D 的邊界的極坐標方程為rr ( ) ，則可表示成0 r r ( ) ， 02r ()2 ，所以 f ( x, y)dxdyd0f (r cos , r sin )rdr .0D（3）若原點

26、0 在 D 的邊界上，則為 0rr ( ) ，于是有f (x, y)dxdydr ( )f (r cos , r sin)rdr .0D例計算x2y 2，其中D為區(qū)域2216Iedxdyxy.D解 ：如果用直角坐標系來計算，這個積分卻無法求出，現(xiàn)采用極坐標，此時 D表示為 0r1 ， 02 ，故有Ie r 2rdrd2d1rer 2dr12d1e r 2d ( r 2 )(1 e 1 ) .D00200例 7 計算 Id，其中 D 為圓域： x2y21 .D1x2y2解：由于原點為 D 的內(nèi)點，故有d21r221ddr1 rdD1 x2y 20 1 r 2000與極坐標相類似，我們也可以作下面

27、的廣義極坐標變換：02，a cosar sin8 .并計算得 J (r , )abrb sinbr cosx2y2z2例 8 求橢球體a2 b2 c2 1 的體積 .2d2.0xar cos,，T :br sin0 ry,.解：由對稱性，橢球體的體積V 是第一卦限部分體積的8 倍，這一部分是以x2y2x2為底的曲頂柱體，所以zc 1a2b2為曲頂， D ( x, y) 0yb 1a 2 ,0xax2y2c 1 r 2 ，因此V8c 122 dxdy . 應用廣義極坐標變換，由于zDabV1c 1r 2 abrdr 8abc 2 d1r 2 dr4abc .8 2 dr 100003.第 3 章

28、 特殊二重積分的計算技巧3.1 利用函數(shù)奇偶性與區(qū)域?qū)ΨQ性計算（1）設(shè)區(qū)域 D 關(guān)于 y 軸對稱，若函數(shù)f (x)關(guān)于 x 是奇函數(shù)，因為函數(shù)f (x)關(guān)于 x是奇函數(shù)，即關(guān)于原點對稱，所以有f (x, y)f (x, y) ，則f (x, y)dxdy 0 ；若函數(shù)f (x)關(guān)于 x 是偶函數(shù)，因為函數(shù)Df (x)關(guān)于 x 是偶函數(shù)，即關(guān)于 y 軸對稱，所以有f ( x, y) f ( x, y) ，則f ( x, y) dxdy2f (x, y) dxdy （其中 D1 是區(qū)域 D 位于 y 軸右側(cè)的部分） .DD1（2）設(shè)區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱，若函數(shù) f (x)關(guān)于 y 是奇函數(shù)，

29、因為函數(shù)f (x)關(guān)于 y 是奇函數(shù)，即關(guān)于原點對稱，所以有f ( x,y)f ( x, y) ，則f ( x, y)dxdy0 ；若函數(shù)f (x)關(guān)于 y 是偶函數(shù)，因為函數(shù)Df (x)關(guān)于 y 是偶函數(shù)，即關(guān)于 x 軸對稱，所以有f ( x, y) f ( x, y)，則f ( x, y)dxdy2f ( x, y ) dxdy （其中 D1 是區(qū)域 D 位于 x 軸上DD1側(cè)的部分） .（3）設(shè)區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸和 y 軸都對稱，同時f ( x) 也是關(guān)于 x, y 對稱的，因為區(qū)域D關(guān)于 x 軸和 y 軸對稱， f ( x) 也是關(guān)于 x, y 對稱，所以有f (x, y)f (

30、x, y) ，f ( x,y)f ( x, y) ，則有f ( x, y)dxdy4f (x, y) dxdy （其中 D1 是區(qū)域 D 位于第一象限中的部分） .DD1下面僅證明（ 1），類似可以證明（ 2），由（ 1）和（ 2）可得（ 3） .證明：由條件知，(x, y)D1，則 (x, y)D2 ，其中 D1, D2分別是 y 軸右側(cè)，左側(cè)的部分.從而f (x, y)dxdyf ( x, y)dxdyf ( x, y) dxdy ，令 ux ， vy 則DD1D 2J101 ， J1.01當 f ( x ,y )關(guān)于 x 是奇函數(shù)，即 f ( x, y)f ( x, y) 時，有f (x

31、, y)dxdyf (x, y) J dxdyf ( x, y)dxdyD1D 2D2故f (x, y) dxdy0 .D當 f( x ,y )關(guān)于 x 是偶函數(shù)，即 f ( x, y)f (x, y) 時，有.f (x, y)dxdyf (x, y) J dxdyf ( x, y)dxdyD1D2D2故f (x, y) dxdy2f ( x, y)dxdy .DD1例 9 計算雙紐線 ( x2y2 ) 22a2 (x2y2 ) 所圍成的面積 .解：采用極坐標變換xr cos， yr sin，雙紐線的極坐標方程是r 22a2 cos2.因為雙紐線關(guān)于x軸和 y 軸對稱，于是，雙紐線所圍成區(qū)域 D 的面積 A 是第一象