提公因式法基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、提公因式法(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關(guān)系；2. 能確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，會(huì)用提公因式法將多項(xiàng)式分解因式 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1 )因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體， 而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式(2) 要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止(3) 因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算要點(diǎn)二、公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就

2、叫做公因式要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1 )公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式(2) 公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式(3) 公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母是各項(xiàng)中相同的字母， 指數(shù)取各字母指數(shù)最低的要點(diǎn)三、提公因式法把多項(xiàng)式，分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是 7 I，即:;/ .；，而匚.，正好是記二- 一“二除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律,即懶住十施h +決亡二戰(zhàn)，(a + b +c).(2) 用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多

3、項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.(3) 當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).(4) 用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸? 1”或“1 ”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤【典型例題】類(lèi)型一、因式分解的概念1、觀察下列從左到右的變形： 6a3b32a2b3ab2 ；mambc m ab c 6x2 12xy 6y226 x y ；3a2b3a 2b9a2 4b其中是因式分解的有 (填序號(hào))【思路點(diǎn)撥】根據(jù)因式分解的定義是將多項(xiàng)式形式變成幾個(gè)整式的積的形式，從對(duì)象和結(jié)果兩方面去

4、判斷.【答案】(3).【解析】解： (1) 的左邊不是多項(xiàng)式而是一個(gè)單項(xiàng)式，(2) (4)的右邊都不是積的形式，所以它們都不是因式分解；只有 (3)的左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式的積的形式，所以只有(3)是因式分解【總結(jié)升華】 因式分解是將多項(xiàng)式變成積的形式， 所以等式的左邊必須是多項(xiàng)式， 將單項(xiàng)式拆成幾個(gè)單項(xiàng)式乘積的形式不能稱(chēng)為因式分解等式的右邊必須是整式因式積的形式舉一反三：【變式】(2014?海南)下列式子從左到右變形是因式分解的是()+4a - 21=a (a+4)-21+4a- 21=( a- 3)( a+7)2+4a- 21=( a+2)- 252C.( a- 3)( a+7) =a

5、+4a- 21 【答案】 B.類(lèi)型二、提公因式法分解因式22、(1)多項(xiàng)式 3x2 6xy 3 的公因式是(2) 多項(xiàng)式 4mn3 16m2 8m 的公因式是 ；(3) 多項(xiàng)式 x(b c a) y(b c a) (a b c) 的公因式是 ；(4) 多項(xiàng)式 2(x 3) x(3 x) 的公因式是 【答案】 (1)3(2)4(3)b c a (4)【解析】 解：先確定系數(shù)部分的公因式，再確定字母部分的公因式(1 )的公因式就是 3、6、3 的最大公約數(shù)，最后的一項(xiàng)中不含字母，所以公因式中也不 含字母公因式為 3.(2) 公因式的系數(shù)是 4、16、8 的最大公約數(shù)，字母部分是公因式為4.(3)

6、公因式是( b c a )，為一個(gè)多項(xiàng)式因式(4) 多項(xiàng)式可變形 2 x 3 x x 3 ，其公因式是【總結(jié)升華】 確定公因式一定要從系數(shù)、字母及指數(shù)三方面入手，公因式可以是一個(gè)數(shù)， 也 可以是一個(gè)單項(xiàng)式，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式，互為相反數(shù)的因式可變形為公因式舉一反三：【變式】下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法分解因式的是( )222A xyB x2xC x yD xxy y【答案】B；2323、若pqqpqp E，則E是()A1qpBC 1 p qD 1 q p答案】 C；解析】解：2pq3qp2q p 1 p q 故選 C總結(jié)升華】 觀察等式的右邊，提取的是2q p ，故可把22p q 變成 q p

7、 ，即左邊2=q p 1 p q 注意偶次幕時(shí)，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，值不變；奇次幕時(shí)，交 換被減數(shù)和減數(shù)的位置，應(yīng)加上負(fù)號(hào)舉一反三：【變式】把多項(xiàng)式 m 1 m 1 m 1 提取公因式 m 1 后，余下的部分是( )ABC. 2D【答案】 D；解： m 1 m1m 1 ，=m 1 m1 1 ，=m 1 m24、(2015春？新沂市期中)分解因式：3x (a- b)- 6y ( b-a).【思路點(diǎn)撥】 將原式變形后，提取公因式即可得到結(jié)果【答案與解析】解：原式 =3x(a- b) +6y(a- b) =3(a- b)(x+2y)【總結(jié)升華】 此題考查了因式分解-提公因式法， 熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān) 鍵舉一反三：【變式】用提公因式法分解因式正確的是()222A. 12abc 9a2b2c23abc 43abB. 3x2y3xy 6y3y2xx 2yC. a2ab acaabcD. x2y5xy y2 yx5x【答案】 C；解： A. 1 2abc 9a2b2c2 3abc 4 3abc ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；22B.3x2 y 3xy 6y 3y x2 x 2 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C. a2ab ac a a b c ，正確；2D. x y25xy y y x2 5x 1 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤類(lèi)型三、提公因式法分解因式的應(yīng)用2 3 25、若 x 3x 20，求 2x 6