提公因式法基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、提公因式法(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關(guān)系；2. 能確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，會(huì)用提公因式法將多項(xiàng)式分解因式 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式要點(diǎn)詮釋：(1 )因式分解只針對多項(xiàng)式，而不是針對單項(xiàng)式，是對這個(gè)多項(xiàng)式的整體， 而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式(2) 要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止(3) 因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算要點(diǎn)二、公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就

2、叫做公因式要點(diǎn)詮釋：(1 )公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式(2) 公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式(3) 公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母是各項(xiàng)中相同的字母， 指數(shù)取各字母指數(shù)最低的要點(diǎn)三、提公因式法把多項(xiàng)式，分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是 7 I，即:;/ .；，而匚.，正好是記二- 一“二除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法.要點(diǎn)詮釋：(1)提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律,即懶住十施h +決亡二戰(zhàn)，(a + b +c).(2) 用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多

3、項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.(3) 當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“一”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號.(4) 用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸? 1”或“1 ”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤【典型例題】類型一、因式分解的概念1、觀察下列從左到右的變形： 6a3b32a2b3ab2 ；mambc m ab c 6x2 12xy 6y226 x y ；3a2b3a 2b9a2 4b其中是因式分解的有 (填序號)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)因式分解的定義是將多項(xiàng)式形式變成幾個(gè)整式的積的形式，從對象和結(jié)果兩方面去

4、判斷.【答案】(3).【解析】解： (1) 的左邊不是多項(xiàng)式而是一個(gè)單項(xiàng)式，(2) (4)的右邊都不是積的形式，所以它們都不是因式分解；只有 (3)的左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式的積的形式，所以只有(3)是因式分解【總結(jié)升華】 因式分解是將多項(xiàng)式變成積的形式， 所以等式的左邊必須是多項(xiàng)式， 將單項(xiàng)式拆成幾個(gè)單項(xiàng)式乘積的形式不能稱為因式分解等式的右邊必須是整式因式積的形式舉一反三：【變式】(2014?海南)下列式子從左到右變形是因式分解的是()+4a - 21=a (a+4)-21+4a- 21=( a- 3)( a+7)2+4a- 21=( a+2)- 252C.( a- 3)( a+7) =a

5、+4a- 21 【答案】 B.類型二、提公因式法分解因式22、(1)多項(xiàng)式 3x2 6xy 3 的公因式是(2) 多項(xiàng)式 4mn3 16m2 8m 的公因式是 ；(3) 多項(xiàng)式 x(b c a) y(b c a) (a b c) 的公因式是 ；(4) 多項(xiàng)式 2(x 3) x(3 x) 的公因式是 【答案】 (1)3(2)4(3)b c a (4)【解析】 解：先確定系數(shù)部分的公因式，再確定字母部分的公因式(1 )的公因式就是 3、6、3 的最大公約數(shù)，最后的一項(xiàng)中不含字母，所以公因式中也不 含字母公因式為 3.(2) 公因式的系數(shù)是 4、16、8 的最大公約數(shù)，字母部分是公因式為4.(3)

6、公因式是( b c a )，為一個(gè)多項(xiàng)式因式(4) 多項(xiàng)式可變形 2 x 3 x x 3 ，其公因式是【總結(jié)升華】 確定公因式一定要從系數(shù)、字母及指數(shù)三方面入手，公因式可以是一個(gè)數(shù)， 也 可以是一個(gè)單項(xiàng)式，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式，互為相反數(shù)的因式可變形為公因式舉一反三：【變式】下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法分解因式的是( )222A xyB x2xC x yD xxy y【答案】B；2323、若pqqpqp E，則E是()A1qpBC 1 p qD 1 q p答案】 C；解析】解：2pq3qp2q p 1 p q 故選 C總結(jié)升華】 觀察等式的右邊，提取的是2q p ，故可把22p q 變成 q p

7、 ，即左邊2=q p 1 p q 注意偶次幕時(shí)，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，值不變；奇次幕時(shí)，交 換被減數(shù)和減數(shù)的位置，應(yīng)加上負(fù)號舉一反三：【變式】把多項(xiàng)式 m 1 m 1 m 1 提取公因式 m 1 后，余下的部分是( )ABC. 2D【答案】 D；解： m 1 m1m 1 ，=m 1 m1 1 ，=m 1 m24、(2015春？新沂市期中)分解因式：3x (a- b)- 6y ( b-a).【思路點(diǎn)撥】 將原式變形后，提取公因式即可得到結(jié)果【答案與解析】解：原式 =3x(a- b) +6y(a- b) =3(a- b)(x+2y)【總結(jié)升華】 此題考查了因式分解-提公因式法， 熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān) 鍵舉一反三：【變式】用提公因式法分解因式正確的是()222A. 12abc 9a2b2c23abc 43abB. 3x2y3xy 6y3y2xx 2yC. a2ab acaabcD. x2y5xy y2 yx5x【答案】 C；解： A. 1 2abc 9a2b2c2 3abc 4 3abc ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；22B.3x2 y 3xy 6y 3y x2 x 2 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C. a2ab ac a a b c ，正確；2D. x y25xy y y x2 5x 1 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤類型三、提公因式法分解因式的應(yīng)用2 3 25、若 x 3x 20，求 2x 6