考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之多維隨機(jī)變量及其分布

1、考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之多維隨機(jī)變量及其分布來源:文都教育多維隨機(jī)變量及其分布經(jīng)常和隨機(jī)變量的數(shù)字特征結(jié)合出一道大題,經(jīng)常考試 的題型就是求連續(xù)性或者離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布, 參數(shù)的值, 以及數(shù)字特征等, 題目類型很固定,分值在 11分左右,主要內(nèi)容總結(jié)如下:一、二維隨機(jī)變量概念與性質(zhì)1、 定義 設(shè) E 是隨機(jī)試驗, 則由定義在 E 的樣板空間 上的隨機(jī)變量 X 與 Y 構(gòu)成的有 序?qū)?, (Y X 稱為二維隨機(jī)變量。2、定義 對任意實數(shù) y x , ,二元函數(shù)(, ( (, F x y P X x Y y P X x Y y =稱為隨機(jī)變量 X 和 Y 的聯(lián)合分布函數(shù)。3、定義 稱 (xPXxPXx

2、, y F(x, X F =-<<+=+為隨機(jī)變量 X 的 邊緣分布函數(shù);稱 (yPYPX , Y yF(, y Y F y =-<<+=+為隨機(jī)變量 Y 的邊緣分布函數(shù)。4、定義 若把二維隨機(jī)變量 , (Y X 看成平面上隨機(jī)點 , (Y X 的坐標(biāo),則分布函數(shù), (y x F 就表示隨機(jī)點落在以點 , (y x 為頂點的左下方的無限矩形域內(nèi)的概率:5、分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì):(1 1 , (0y x F ,且對任意 固定的 y , 0 , (=-y F ; 對任意固定的x ,0 , (=-x F ; 0 , (=-F , 1 , (=F .(2 , (y x F

3、分別是 x 和 y 的不減函數(shù) .(3 , ( , 0(y x F y x F =+, , ( 0, (y x F y x F =+, 即 , (y x F 關(guān)于 x 或 y 均右連續(xù) . (4若 2121, y y x x <<,則 0 , ( , ( , ( , (11122122+-y x F y x F y x F y x F .二、離散型隨機(jī)變量及分布1、概念 如果二維隨機(jī)變量 , (Y X 可能取的值是有限對或可列無限對,則稱 , (Y X 是 二維離散型隨機(jī)變量 。2、 聯(lián)合分布律 , (Y X 的分布律或 X 和 Y 的聯(lián)合分布律為ij j i p y Y x X

4、P =, , 1,2, , ; j 1,2, ,n i m =其中 ij p 滿足:(1 ; 0ij p (2111=i j ijp。X 和 Y 的聯(lián)合分布律也可用表格表示:213、邊緣分布律隨機(jī)變量 X 的分布律稱為 X 的邊緣分布律,且 12Xx p p p i i i in P =+ ;隨機(jī)變 量 Y 的分布律稱為 Y 的邊緣分布律,且 12Yp p p i j j mj P y =+ ,二維 離散型 隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律與邊緣分布律關(guān)系為:1.2.m.1m m m n n n mn i Y X x x x p y p p p p y p p p p y p p p p p p p p注

5、:. j 111, 1mmi i j pp =三、連續(xù)型隨機(jī)變量及分布1、概念 對二維隨機(jī)變量 , (Y X 的分布函數(shù) , (y x F ,如果存在非負(fù)函數(shù) , (y x f ,使 對任意的 y x , 有-=yxdudv v u f y x F , ( , (則稱 , (Y X 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量, , (y x f 稱為 , (Y X 的概率密度, 或稱為 X 和 Y 的 聯(lián)合概率密度。2、 , (y x f 具有性質(zhì) (1 0 , (y x f (21 , (=-dxdy y x f(3設(shè) G 是平面 xOy 上的區(qū)域,則 , (Y X 落在 G 內(nèi)的概率為=Gdxdy y x f

6、G Y X P , ( , (4若 , (y x f 在點 , (y x 連續(xù),則有, (, (2y x f yx y x F = 3、邊緣密度函數(shù)X 的 邊 緣 密 度 函 數(shù) 為 :-=dy y x f x f X , ( (; Y 的 邊 緣 密 度 函 數(shù) 為 :-=dx y x f y f Y , ( (。4、邊緣分布函數(shù)X 的邊緣分布函數(shù)為:(xP(Xx ( xX X F f x dx -=; Y 的邊緣分布函數(shù)為:(yP(Y (yyY Y F y f dy -=。5、常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布:設(shè) D 是平面上的有界區(qū)域 , 其面積為 A , 若二維隨機(jī)變量 (X , Y

7、的概率密度為=, ,0, (, 1, (其它 D y x Ay x f則稱 (X , Y 在 D 上服從均勻分布。正態(tài)分布:設(shè)二維隨機(jī)變量 (X , Y 的概率密度為-+-=2222212121212221 ( (2 ( 1(21exp 21, (y y x x y x f +<<-+<<-y x . 其中 1、 2、 1、 2、 都是常數(shù) , 且 1> 0, 2> 0, -1 << 1. 我們稱 (X , Y 為服從參數(shù)為1、 2、 1、 2、 的二維正態(tài)分布注:(1若 221122(u, ,Y (u, X N N 且 , X Y 相互獨立,則

8、:22221212(aubu c,a b aX bY c N +四、二維隨機(jī)變量的條件分布及獨立性(一 條件分布1、離散型隨機(jī)變量的條件分布設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 , (Y X 的 聯(lián) 合 分 布 律 為 ij j i p y Y x X P =, ,1,2, , ; j 1,2, ,n i m = ,則在 . (Xx p i i P =條件下 Yy j =的條件分布律為:.Xx ,Y y Yy Xx i j ij j i i i P p P X x P p =在 . j (X p j P y =條件下 Xi x =的條件分布律為:. jXx ,Y y Y y Yi j ij i j j

9、P p P X x P y p =2、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布 在 X x =條件下 Y 的條件密度為:/(x,yf y(xY X x f x f =在 Y y =條件下 X 的條件密度為:X/Y(x,yf y(yY f x f =(二 二維隨機(jī)變量獨立性1、 定義設(shè) , (y x F 及 (, (y F x F Y X 分別是二維隨機(jī)變量 , (Y X 的分布函數(shù)及邊緣分布 函數(shù)。若對所有 y x , 有, y Y P x X P y Y x X P =即 ( ( , (y F x F y x F Y X = 則稱隨機(jī)變量 X 與 Y 是相互獨立的。一般由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布, 但當(dāng)隨機(jī)

10、變量具有獨立性時, 聯(lián)合分布就可由邊緣 分布確定。2、 , (Y X 是二維離散型隨機(jī)變量時, X 與 Y 相互獨立的充分必要條件是, j i j i y Y P x X P y Y x X P =即 j i ij p p p =, , 2, 1, , 2, 1( =j i 。 3、 , (Y X 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量時, X 與 Y 相互獨立的充分必要條件是( ( , (y f x f y x f Y X =。在 xOy 平面上幾乎處處成立,或者 (, ( ( xy x yX Y dx f x y dy f x dx f y dy -+-=五、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1、兩個離散型隨機(jī)變量的函

11、數(shù)的分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 ( X , Y 的分布律為 PX = xi , Y = y j = pij (i = 1,2,L, m；j = 1,2,L, n 。 則 X , Y 的函數(shù) Z = g ( X , Y 的分布律可按以下步驟計算： （1）計算 g ( xi , y j (i = 1,2,L, m；j = 1,2,L, n ，將其中互不相同的按由小到大次序 排列，設(shè)為 z1 , z 2 ,L, zl ； （2）按以下公式計算 Z 取各個 z k 的概率 P(Z = z k = ij ( i , j | g ( xi , y j = z k åp (k = 1,2, L ,

12、 l 2、兩個連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，僅討論以下幾個具體的函數(shù)： （1） Z = X + Y 的分布 設(shè) ( X , Y 的概率密度為 f ( x, y ，則 Z = X + Y 的分布函數(shù)為 FZ ( z = PZ £ z = x+ y£ z òò f ( x, ydxdy Z 的概率密度為 f Z ( z = 或 f Z ( z = ò +¥ -¥ f ( z - y, ydy ò +¥ -¥ f ( x, z - xdx ； 又若 X 與 Y 相互獨立，則 f Z ( z = 

13、2; f X ( z - y × f Y ( ydy -¥ +¥ 或 f Z ( z = ò f X ( x × f Y ( z - xdx ； -¥ +¥ （2） Z = Y 和 Z = XY 的分布 X Y 和 XY 的概率密度分別為 X f Y / X ( z = ò | x | f ( x, xzdx ， -¥ +¥ f XY ( z = ò 又若 X 與 Y 相互獨立，則 +¥ 1 1 z z f ( x, dx = ò f ( , xdx -¥

14、 | x | - ¥ x |x| x +¥ f Y / X ( z = ò | x | f X ( x × f Y ( xzdx ， -¥ +¥ f XY ( z = ò +¥ 1 1 z z f X ( x × f Y ( dx = ò f X ( × f Y ( xdx -¥ | x | -¥ | x | x x +¥ （3） M = maxX , Y 及 N = minX , Y 的分布 設(shè)隨機(jī)變量 X , Y 相互獨立，其分布函數(shù)分別為 FX ( x 和 FY ( y 。 M = maxX , Y 的 分布函數(shù)為 Fmax ( z = PM £ z = PX £ z, Y £ z = PX £ z × PY