向量組的線性相關(guān)性課件

1、0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組注意注意.0 ,0, 1.2211121成立才有時則只有當(dāng)線性無關(guān)若nnnn., 2. 性無關(guān)就是線性相關(guān)不是線對于任一向量組定義定義4 4則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)A., 0, 0, 3.線性無關(guān)則說若線性相關(guān)則說若時向量組只包含一個向量.4. 組是線性相關(guān)的包含零向量的任何向量. ,. 5量共面向量相關(guān)的幾何意義是三是兩向量共線；三個向義量對應(yīng)成比例，幾何意充要條件是兩向量的分它線性相關(guān)的量組對于含有兩個向量的向證明證明

2、 充分性充分性 設(shè)設(shè) 中有一個向量（比如中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 向量組向量組 （當(dāng)（當(dāng) 時）線性相關(guān)時）線性相關(guān)的的充分必要條件充分必要條件是是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211 m(補充)命題命題1(1(補充補充) )故故 01112211 mmma 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關(guān)線性相關(guān).m ,21必要性必要性設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21m

3、kkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,21不妨設(shè)則有不妨設(shè)則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.1 證畢證畢.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要條條件件是是向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分于于向向量量個個數(shù)數(shù)的的秩秩小小矩矩陣陣條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組 定理定理4 4下面舉例說明定理的應(yīng)用下面舉例說明定理的應(yīng)用.).,( .0A , 0 212211mmmAxxxxA其中有非零解即方程組齊次線性線性相關(guān)的

4、充要條件是向量組命題命題2:維向量組下列n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.維單位坐標向量組稱為n解解.),( 21階單位矩陣是的矩陣維單位坐標向量組構(gòu)成neeeEnn.)(01 nERE ，知知由由.4)(向量組是線性無關(guān)的知此，故由定理等于向量組中向量個數(shù)即ER例例4 (P88) .相關(guān)性維單位坐標向量的線性討論n， 742520111321 .21321的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性，及及，試試討討論論向向量量組組 解解.2, 21321321即可得出結(jié)論即可得出結(jié)論）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（），可同時看出矩陣（可同時看出矩陣（

5、成行階梯形矩陣成行階梯形矩陣），施行初等行變換變），施行初等行變換變，對矩陣（對矩陣（ 已知已知例例5(P88)分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)；，向向量量組組可可見見 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201. , , 321133322211321線性無關(guān)試證線性無關(guān)已知向量組 bbbbbb例例6 60 ,332211321 bxbxbxxxx使使設(shè)有設(shè)有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332

6、221131 xxxxxx（亦亦即即線性無關(guān)，故有線性無關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證：證：02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx 請同學(xué)課后學(xué)習(xí)P89證法二和證法三。. , ,. ,: , (1) 1121也線性無關(guān)向量組則線性無關(guān)量組若向反言之也線性相關(guān)向量組則線性相關(guān)：向量組若ABBAmmm定理定理5 (P90)5 (P90)維向量一定線性相關(guān)。個特別有，時一定線性相關(guān)于向量個數(shù)小當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組，個）

7、（nnmnnm1. 2.,:,: (3)121且表示式是唯一的線性表示必能由向量組向量則線性相關(guān)組而向量線性無關(guān)設(shè)向量組AbbBAmm), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj.,.,.2121性相關(guān)也線則向量組線性相關(guān)反言之，若向量組關(guān)也線性無：則向量組線性無關(guān)：若向量組添上一個分量后得向量即ABbbbBAbmmjj（補充）(4) (補充)設(shè).2, 11)()()(4,. 1)()(),(),( 1 111線性相關(guān)知向量組根據(jù)定理因此，從而有，則根據(jù)定理線性相關(guān)若向量組，有記）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm證明證明.:1 關(guān)關(guān)的任何部分組

8、都線性無的任何部分組都線性無向量組線性無關(guān)，則它向量組線性無關(guān)，則它反之，若一個反之，若一個線性相關(guān)線性相關(guān)含有零向量的向量組必含有零向量的向量組必特別地，特別地，量組線性相關(guān)量組線性相關(guān)相關(guān)的部分組，則該向相關(guān)的部分組，則該向一個向量組若有線性一個向量組若有線性）可推廣為）可推廣為結(jié)論（結(jié)論（說明說明.,)(,.)(),(,2 212121線性相關(guān)個向量故則若，有構(gòu)成矩陣維向量個）（mmmnmmmARmnnARAnm.)(1)(. 1)(;)().()(),(),() 3(2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm，即有所以組線性相關(guān)，有因組線性無關(guān)，有因有記.),( ,)()

9、(21一線性表示，且表示式唯組能由向量有唯一解，即向量知方程組由AbbxmBRARm列），只有因但從而有，則線性無關(guān)若向量組有，）記（mBmBRmBRmARABRARbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),(4 1)1(1.B)(線性無關(guān)線性無關(guān)，因此向量組，因此向量組故故mBR .,14 結(jié)論也成立個分量維）而言的，若增加多即維數(shù)增加）是對增加一個分量（結(jié)論（說明說明設(shè)向量組321,aaa線性相關(guān)，向量組432,aaa線性無關(guān)，證明：線性表示；，不能由）（線性表示；，能由）（321432121aaaaaaa證：性無關(guān)矛盾；線，線性表示，這與，能由線性表示，因此，能由）知由（

10、線性表示，能由）用反證法。設(shè)（線性表示；，能由）知（由定理線性相關(guān)，線性無關(guān)，而，）知，（線性無關(guān)，由定理，）因（ 1 235 151432324321321432132132432aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa例7 (P90)P107 -4(2) -5 -91. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；（重點重點）2. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，兩個定理兩個定理（難點難點）. , )3(0 )2( 0 )1(:兩兩式式不不一一定定同同時時成成立立或或者者線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是，兩兩個個向向量量；線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是一一個個向向量量；線線性性相相關(guān)關(guān)的的充