市級公開課《分類加法計數原理與分步乘法計數原理》教學設計

1、1.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理（第一課時）一教學內容解析（一）教材的地位和作用“分類加法計數原理和分步乘法計數原理”（以下簡稱“兩個計數原理”）是人教A 版高中數學課標教材選修2-3“第一章計數原理”第1.1節(jié)的內容，教學需要安排4個課時，本節(jié)課為第1課時兩個計數原理是人類在大量的實踐經驗的基礎上歸納出的基本規(guī)律，是解決計數問題的最基本、最重要的方法，它們不僅是推導排列數、組合數計算公式的依據，而且其基本思想方法也貫穿在解決本章應用問題的始終，在本章中是奠基性的知識由于排列、組合及二項式定理的研究都是作為兩個計數原理的典型應用而設置的，因此，理解和掌握兩個計數原理，是學好本章內容的

2、關鍵。從認知基礎的角度看，兩個計數原理實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的拓展應用，是體現加法與乘法運算相互轉化的典型例證從思想方法的角度看，運用分類加法計數原理解決問題是將一個復雜的計數問題分解為若干“類別”，再分類解決；運用分步乘法計數原理解決問題則是將一個復雜的計數問題分解為若干“步驟”，先對每個步驟分類處理，再分步完成綜合運用兩個計數原理就是將綜合問題分解為多個單一問題，再對每個單一問題各個擊破也就是說，兩個計數原理的靈魂是化歸與轉化的思想、分類與整合的思想和特殊與一般的思想的具體化身 從數學本質的角度看，以退為進，以簡馭繁，化難為易，化繁為簡，是理解和掌握兩個計數原理的

3、關鍵，運用兩個計數原理是知識轉化為能力的催化劑（二） 教學目標1. 知識與技能：（1）正確理解和掌握分類加法計數原理和分步乘法計數原理；（2）會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；。2. 過程與方法：經歷由實際問題推導出兩個原理，再回歸實際問題的解決這一過程，體會數學源于 生活、高于生活、用于生活的道理，讓學生體驗到發(fā)現數學、運用數學的過程3.情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)主動探究的學習態(tài)度和協作學習的能力，進一步提高學習數學、研究數學的興趣（三） 教學重點與難點重點：理解兩個原理, 并能運用它們來解決一些簡單的問題.難點：正確地理解“完成一件事情”的含義；根據實際問題的特征，正確地區(qū)分“分類

4、”或“分步”.二學生學情分析1. 認知基礎：計數問題學生并不陌生，在不同的學段都有相應的接觸，特別是在高中數學必修2中學習“古典概型”時，學生又學會了用樹狀圖、列舉法解決最簡單的計數問題；同時在學習和生活中，學生已經不自覺地會使用“分類”和“分步”的方法來思考和解決問題2. 能力基礎：高二學生有較強的觀察能力和一定的數學抽象概括能力。3. 可能障礙：一是應用原理的意識淡薄，二是不能根據問題的特征，正確地選擇原理解決問題。兩個計數原理雖簡單樸素，易學好懂，但如何讓學生借助已有的數學活動經驗，抽象概括出兩個計數原理，并領悟其中重要的數學思想方法，實現認知的飛躍，則是本課必須要突破的難點所在為此，抓

5、住以下兩個要點尤為重要：一是要通過典型豐富的實例來幫助學生完成歸納提煉的過程，加強學生應用兩個計數原理解決問題的意識這是有效提升學生抽象概括能力的契機；二是要在解決問題的過程中，始終突出兩個計數原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含義和區(qū)分“分步”與“分類”的特征這是如何選擇兩個計數原理的關鍵三教學策略分析（一）教法分析對于兩個計數原理，不僅僅在于規(guī)律本身，更在于學生從已有的方法中發(fā)現原理、歸納原理，進一步深刻認識原理，在發(fā)現的過程中學會學習，學會探究，提升思維的品質擬定采取以退為進的教學策略，采用“情景引入問題誘導實例探究抽象概括原理應用歸納總結拓展鋪墊”的探究發(fā)現式教學方法，緊緊圍繞如何

6、抽象、怎樣概括、如何歸納和怎么應用等問題展開，通過典型豐富的實例引導學生歸納出兩個計數原理，并能學會初步應用，加深對原理的區(qū)分和思想方法的理解（二）學法指導學生已具備一定的計數能力（樹狀圖、列舉法等），能解決一些基本的計數問題，包括本節(jié)課所涉及的一些實際問題，只是還沒有上升到理論的高度。但是要由實際問題轉變?yōu)閿祵W知識，必須借助于老師的引導和幫助。而當歸納總結得出分類加法計數原理之后，運用類比的方式得出分步乘法計數原理對學生來說就并不困難了。同時，對于兩個原理的應用，關鍵是能否根據具體問題的特征選擇相應的原理，要指導學生感悟兩個計數原理的區(qū)別與聯系及其應用的前提條件、應用的注意點。具體教學策略分

7、成如下五個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，提出問題從“神十的身份證號碼”出發(fā)，引出“人造天體的編號問題”，通過問題設疑，引導學生在不斷思考中獲取兩個計數原理的發(fā)現過程；第二環(huán)節(jié)：實例探究，歸納原理從以退為進的實例出發(fā)，通過先“兩類”后“多類”，先“分類”后“分步”，先“加法”后“乘法”的逐步過渡，引導學生在加法與乘法相互轉化的過程中提煉歸納兩個計數原理；第三環(huán)節(jié)：演練反饋，鞏固提升從選擇兩個原理解決計數問題的關鍵出發(fā)，通過“各取”“任取”等關鍵詞的辨別，引導學生真正弄清“完成一件事”的具體含義，領會準確區(qū)分“分步”和“分類”的操作要領；第四環(huán)節(jié)：歸納小結，認知升華從放手讓學生自主小結出發(fā)，通過提綱挈

8、領的表格式小結，引導學生進一步加深對兩個計數原理本質的認識；第五環(huán)節(jié)：課后檢測，拓展鋪墊從引發(fā)學生進一步思考出發(fā)，通過設置有關涂色的思考題，為后繼學習排列組合做好鋪墊，激發(fā)學生進一步學習的欲望四教學基本流程 五教學手段采用多媒體輔助教學，營造愉悅的學習情境。六教學過程：(一 創(chuàng)設情境，提出問題中國夢，航天夢近年來，我國科技發(fā)展突飛猛進，“神十”的發(fā)射更是讓世人矚目，下面我們就一起來回顧這令人激動的時刻（視頻：“神十”升天，飛入太空）“神十”升天，國人歡呼，世界矚目你知道他的“身份證號碼”嗎？它的國際編號為2013-029A.人造天體的編號規(guī)則：發(fā)射年份+四位編碼；四位編碼前三位為阿拉伯數字，第

9、四位為英文大寫字母；前三位數字不能同時為0；英文字母不得選用I ，O （ I 易與1混淆，O 易與0混淆）按照這樣的編號規(guī)則，2013年的人造天體所有可能的編碼有多少種？欣賞完激動人心的視頻，我們來看看這個問題的設問方式，“按照這樣的編號規(guī)則，2013年的人造天體所有可能的編碼有多少種？”這就是一個典型的計數問題所謂計數就是數數其實類似的問題有很多：幼兒園時我們數有多少只鴨子？我們班有多少同學？甚至我們穿校服上衣和褲子有多少種不同的搭配種數等等，我們將這種方法數的計算問題都稱之為計數問題計數問題：即計算完成一件事的方法數的問題小時候，我們是怎么數的呀？當這個數很大時，列舉的方法很難實施比如，剛

10、才這個問題“一個一個的去數”可以嗎？比較復雜看來我們有必要探究更有效的計數方法今天我們先來學習計數問題中兩種最基本、最重要的方法。（板書課題：1.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理）（二）實例探究，歸納原理這個問題研究四位編碼比較復雜，怎么辦？我們不妨先退回來研究一位、兩位的情形，從中探索出規(guī)律，從而解決四位的情形（1）師生共同探究，得出分類加法計數原理問題1：如果用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給衛(wèi)星編號，那么總共能夠編出多少種不同的號碼？問題2：從甲地到乙地，可以乘動車，也可以乘汽車一天中，動車有5班，汽車有6班那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?那這兩個計數

11、問題有什么共同特點呢？列成表格，將共性總結成一個命題，即如果完成一件事有兩類不同方案，在第一類方案中有種不同的方法，在第二類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N m n =+種不同的方法根據特點給它起個名字，就叫分類加法計數原理原理是在大量觀察的基礎上經過歸納、概括而得出的基本規(guī)律同學們還要特別注意：這里的關鍵詞是：完成一件事，分類，加法，每類中的任一種方法都能獨立完成這件事同學們試一試，能用自己得到的原理解決具體的問題嗎？例1 在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A ，B 兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A 大學 B 大學生物學 數 學化 學 會計學醫(yī) 學 信息

12、技術學物理學 法 學工程學如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？（5+4=9種） 如果還有C 大學呢？變式：在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A ，B ，C 三所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A 大學 B 大學 C 大學生物學 數 學 新聞學化 學 會計學 金融學醫(yī) 學 信息技術學 人力資源學物理學 法 學工程學如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？（5+4+3=12種） 看來加法原理不僅對完成一件事有兩類不同方案適用，也對分三類方案適用，對分n 類同樣適用一般地，如果完成一件事有n 類不同方案，在第1類方案中有1m 種不同的方法，在第2類中

13、有2m 種不同的方法，在第n 類中有n m 種不同的方法，那么完成這件事共有種12n N m m m =+ 不同方法下面，我們看大家能否用這個原理解決更復雜的問題?。?）類比轉化探究，得出分步乘法計數原理問題3：如果用前六個大寫英文字母中的一個和19九個阿拉伯數字中的一個，組成編碼形如A 1，B 2的方式給衛(wèi)星編號，那么總共能編出多少個不同的號碼?問題 4： 從甲地到丙地， 要從甲地先乘動車到乙地， 再于次日從乙地乘汽車到丙地 一 天中，動車有 3 班，汽車有 2 班，那么乘坐這些交通工具，從甲地到丙地共有多少種不同 的走法？ 類比加法計數原理，歸納問題 3 和問題 4 的共同特點，我們可以得

14、到什么結論？ 如果完成一件事需要兩個步驟，做第一步有 m 種不同的方法，做第 2 步有 n 種不同 的方法，那么完成這件事共有 N = m ´ n 種不同的方法 師： 我們稱它分步乘法計數原理 同學們還要特別注意： 這里的關鍵詞是完成一件事， 分步，乘法，每步中的任一種方法都不能獨立的完成這件事，只有各個步驟都完成才算做 完這件事情 例 2 我班有男生 28 名，女生 21 名，現要從中選出男、女生各一名代表班級參加公 益活動，共有多少種不同的選法？ 變式：我班有男生 28 名，女生 21 名，任課老師 10 名，現要從中選出男、女生各一 名代表班級參加公益活動，還要從中選派 1 名

15、老師作領隊，組成代表隊，共有多少種不同 選法？ 由此又可以得到什么結論呢？ 一般地， 如果完成一件事要 n 個步驟， 做第 1 步有 m1 種不同的方法， 做第 2 步有 m2 種 不同的方法，做第 n 步有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有種 N = m1 ´ m2 ´ L´ mn 不同方法 我們已經歸納了兩個計數原理，他們的共性是：為了計數區(qū)別是：因為問題特征不 同，有時需要分類，有時需要分步希望以后用原理解決問題時，要清楚的用原理表達完 成一件什么事，怎么完成，是分步還是分類呢？下面我們來做幾個練習 （三）演練反饋，鞏固提升 練 1 書架的第 1 層放

16、有 4 本不同的數學書，第 2 層放有 3 本不同的語文書，第 3 層 放有 2 本不同的化學書 （1）從書架的第 1，2，3 層各取一本書，有多少種不同取法？ （2）從書架中任取 1 本書，有多少種不同的取法？ 變式：從書架中取 2 本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 還記得人造天體編號的問題嗎？請同學們試一試，我們現在能解決了嗎？ 第 6 頁 共 8 頁 練 2 【引例回放】“神十”的國際編號為 2013-029A人造天體的編號規(guī)則： 發(fā)射年份+四位編碼； 四位編碼前三位為阿拉伯數字，第四位為英文大寫字母； 前三位數字不能同時為 0； 英文字母不得選用 I，O（ I 易與 1 混淆，O

17、易與 0 混淆） 這樣的編號規(guī)則，2013 年的人造天體所有可能的編碼有多少種？ 練 3 【簡單的綜合應用】某座山，若從東側通往山頂的道路有 3 條，從西側通往山 頂的道路有 2 條，那么游人從上山到下山共有多少種不同的走法？ 練 4【應用訪談】你能舉出生活中或其它學科中的運用兩個原理的計數問題嗎？ （汽車牌照、身份證后 4 位，從綜合樓 1 樓到 4 樓） 數學來自生活，又應用于生活，數學是有用的！生活豐富多彩，世界奧秘無窮，在知 識的天空里，讓我們借助數學的力量，像“神十”一樣展翅飛翔吧！ （四）歸納小結，認知升華 我們今天探討了一個問題就是如何計數？得出了計數方法的兩個原理 這兩個計數原

18、 理是怎么來的？是我們從實際生活中歸納出來的那么應用這兩個計數原理的關鍵是什 么？就是關注它們的應用場合：有的要分類，有的要分步，有的既要分類又要分步這兩 個計數原理的不同點是： 分類加法原理中每類中的任一種方法都能獨立的完成這件事；分 步乘法計數原理中，每步中的任一種方法都不能獨立的完成這件事， 只有各個步驟都完成 才算做完這件事情它們的異同點如下表： 分類加法計數原理 相同點 分步乘法計數原理 用來計算完成一件事的方法種數 分類、相加 分步、相乘 每步依次完成才算完成這件事情（每 步中的每一種方法不能獨立完成這件 事） 不同點 每類方案中的每一種方法都能獨 立完成這件事情 第 7 頁 共 8 頁 注意點 類類獨立，不重不漏 步步相依，缺一不可 （五）課后檢測，拓展鋪墊 （1）閱讀作業(yè)：閱讀教材第 6