錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途

1、§2 錄 像 機(jī) 計(jì) 數(shù) 器 的 用 途問題的提出老式的錄像機(jī)上都有計(jì)數(shù)器，而沒有計(jì)時(shí)器，一些錄音機(jī)也有類似的情況這種計(jì)數(shù)器有什么用呢，讓我們從這樣一個(gè)問題開始：一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭轉(zhuǎn)到尾，用時(shí)184分鐘，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061在某一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下一小時(shí)的節(jié)目 如果計(jì)數(shù)器讀數(shù)隨著錄像帶的轉(zhuǎn)動(dòng)是均勻增加的，那么由于4450已經(jīng)顯著地超過6061的三分之二，即錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過兩小時(shí)多，所以顯然不能再錄一小時(shí)的節(jié)目但是，只要你耐心地觀察一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，讀數(shù)并非均勻增長，而是先快后慢，這樣，回答上面的問題就需要知道計(jì)數(shù)

2、器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過的時(shí)間之間的關(guān)系本節(jié)的目的是要建立表述這個(gè)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型問題的分析 計(jì)數(shù)器的讀數(shù)是怎樣變化的，它的增長為什么先快后慢，回答這些問題需要了解計(jì)數(shù)器的簡單工作原理(圖1) 錄像帶有兩個(gè)輪盤，一開始錄像帶纏滿的那個(gè)輪盤不妨稱為左輪盤，另一個(gè)為右輪盤計(jì)數(shù)器與右輪盤的軸相連，其讀數(shù)與右輪轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)成正比開始時(shí)右輪盤是空的，讀數(shù)為0000，隨著帶子從左向右運(yùn)動(dòng)，右輪盤半徑增加，使得轉(zhuǎn)動(dòng)越來越慢，計(jì)數(shù)器讀數(shù)的增長也就越來越慢 在錄像帶的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與微型電機(jī)相連的主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速當(dāng)然是不變的，錄像帶靠壓輪壓在主動(dòng)輪上，所以錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度(線速度)為常數(shù)(想想看，如果錄像帶通過磁頭時(shí)的速度不是

3、常數(shù)，我們看到的畫面會(huì)是怎樣的)，而右輪盤隨著半徑的增加，其轉(zhuǎn)速當(dāng)然越來越慢 我們要找出計(jì)數(shù)器讀數(shù)(記作)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間(記作)之間的關(guān)系，即建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型模型的假設(shè) 根據(jù)以上分析作如下的假設(shè)： 1錄像帶的線速度是常數(shù)； 2計(jì)數(shù)器讀數(shù)與右輪盤轉(zhuǎn)的圈數(shù)(記作)成正比，為比例系數(shù)；3錄像帶的厚度(加上纏繞時(shí)兩圈間的空隙)是常數(shù)，空右輪盤半徑為； 4初始時(shí)刻時(shí)，。模型的建立 圖2 時(shí)間t與計(jì)數(shù)器讀數(shù)n的關(guān)系建立與之間的關(guān)系有多種途徑，一種很自然的想法是計(jì)算纏繞在右輪盤上的錄像帶的長度當(dāng)右輪盤轉(zhuǎn)到第圈時(shí)其半徑為，周長為，圈的總長度恰等于錄像帶轉(zhuǎn)過的長度，即考慮到比小得多，并代人容易算出 （2）這就

4、是我們需要的數(shù)學(xué)模型另一種更簡單的辦法是考察右輪盤面積的增加，它應(yīng)該等于錄像帶轉(zhuǎn)過的長度與厚度的乘積，即由此同樣可以得到(2)式 讀者還可以考慮如何用微積分的辦法得到(2)式 思考 對(1)，(3)式仔細(xì)推算一下，會(huì)發(fā)現(xiàn)由(1)得到的結(jié)果與(2)式有微小差別，你能解釋這個(gè)差別嗎? 要利用模型(2)由計(jì)算，必須先確定其中的參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是進(jìn)行測量或調(diào)查，你能設(shè)計(jì)測量的辦法嗎?實(shí)際上，從建模的目的看，我們并不需要知道這4個(gè)參數(shù)的每一個(gè)，如果把 (2)式改記作 那么只需要確定兩個(gè)參數(shù)即可進(jìn)行，和之間的計(jì)算 (4)式表明，和的關(guān)系不是線性的(這是通過觀察和分析就知道的)，而是二次的(這只能通過

5、數(shù)學(xué)建模確定)與的這種函數(shù)關(guān)系可描繪成圖2的曲線，直觀地表明隨著時(shí)間的增加，計(jì)數(shù)器讀數(shù)的增長是越來越慢的參數(shù)估計(jì) 理論上，有兩組數(shù)據(jù)就能算出(題目中已經(jīng)給出一組：，所以再測試一組數(shù)據(jù)即可)而實(shí)際上，由于測試有誤差，一般應(yīng)該用足夠多的測試數(shù)據(jù)作擬合為此，用這盤錄像帶測得了一組數(shù)據(jù)，如表2我們用其中一部分?jǐn)?shù)據(jù)()按照最小二乘法估計(jì)算出，得到，代人(4)式即得到需要的數(shù)學(xué)模型 模型的檢驗(yàn) 上面得到的模型除了要用參與擬合的數(shù)據(jù)作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)外(統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)將在第10章作簡單介紹)，還應(yīng)該用未參加建模的數(shù)據(jù)(如用表2中的另一部分?jǐn)?shù)據(jù))進(jìn)行檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)果也相當(dāng)好 模型的應(yīng)用 對于本節(jié)開始提出的問題，當(dāng)n=4450時(shí)，由(4)式算出分鐘，剩下的一段帶子尚可錄下分鐘的節(jié)目當(dāng)然，這個(gè)問題由上面的實(shí)測數(shù)據(jù)就能回答()時(shí)不到120分鐘，顯然還可錄下1小時(shí)節(jié)目)，但是建立數(shù)學(xué)模型(4)式的意義在于，不僅在使用這盤錄像帶時(shí)，對于任意的計(jì)數(shù)器讀數(shù)可以算出時(shí)間，而且揭示了“與之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這個(gè)普遍規(guī)律當(dāng)錄像帶型號(hào)改變(或其它因素變化)時(shí)，只需再測量一批數(shù)據(jù)來估計(jì)參數(shù)，模型(4)式仍然能用評(píng)注 從提出日常生活中的一個(gè)實(shí)際問題人手，通過觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)先快后