計(jì)數(shù)原理與排列組合題型與解題策略

1、計(jì)數(shù)原理與排列組合題型與解題策略計(jì)數(shù)原理一、知識(shí)精講1、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：2、分步計(jì)數(shù)原理： 特別注意:兩個(gè)原理的共同點(diǎn)：把一個(gè)原始事件分解成若干個(gè)分事件來(lái)完成。不同點(diǎn)：如果完成一件事情共有n 類(lèi)辦法，這n 類(lèi)辦法彼此之間相互獨(dú)立的，無(wú)論哪一類(lèi)辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理。分類(lèi)時(shí)應(yīng)不重不漏（即任一種方法必須屬于某一類(lèi)且只屬于這一類(lèi)）如果完成一件事情需要分成n 個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成 每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分步計(jì)數(shù)原理。各步驟有先后，相互依存，缺一不可。

2、3、排列(1排列定義, 排列數(shù)(2排列數(shù)公式:(3全排列列:4. 組合(1組合的定義, 排列與組合的區(qū)別;(2組合數(shù)公式:(3組合數(shù)的性質(zhì)二、. 典例解析題型1:計(jì)數(shù)原理例1. 完成下列選擇題與填空題(1有三個(gè)不同的信箱, 今有四封不同的信欲投其中, 則不同的投法有 種。A.81 B.64 C.24 D.4(2四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍, 獲得冠軍的可能的種數(shù)是( A.81 B.64 C.24 D.4(3有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽,每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽, 則有不同的參賽方法有 ;每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加, 則有不同的參賽方法有 ;每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽, 每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加, 則不

3、同的參賽方法有 。例2（1）如圖為一電路圖，從A 到B 共有 條不同的線(xiàn)路可通電。例3: 把一個(gè)圓分成3塊扇形，現(xiàn)在用5種不同的顏色給3塊扇形涂色，要求相鄰扇形的顏色互不相同，問(wèn)有多少鐘不同的涂法？若分割成4塊扇形呢？例4、某城在中心廣場(chǎng)造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分(如圖. 現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 _ 種.(以數(shù)字作答 D例5、 四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，問(wèn)共有多少種不同的取法？例6、（1）電視臺(tái)在”歡樂(lè)今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱, 其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信, 甲信箱中有30封,

4、乙信箱中有20封. 現(xiàn)有主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾, 若先確定一名幸運(yùn)之星, 再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴, 有多少種不同的結(jié)果?（2）三邊均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)是 題型2:排列、組合問(wèn)題處理策略一. 元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題枚舉法:1、設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？2、學(xué)號(hào)為1、2、3、4的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4的四張凳子上，要求學(xué)生的學(xué)號(hào)與其所坐的凳子編號(hào)不同，問(wèn)有多少種不同的坐法？二、特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略3、. 由0

5、,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).4、五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）A 120種 B 96種 C 78種 D 72種三、相鄰捆綁、不相鄰插空5、（1）7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？（2）7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？6、馬路上有8只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法共有多少種？7、某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)?槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為8、一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)

6、相聲,3個(gè)獨(dú)唱, 舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng), 則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？四、不盡相異元素、定序問(wèn)題倍縮法9、（1）7人排隊(duì), 其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法（2）10人身高各不相等, 排成前后排，每排5人, 要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？（3）由4個(gè)A 和3個(gè)B 可以組成多少個(gè)7位字符信息？五、分排問(wèn)題“直排法”10、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？11、8人排成前后兩排, 每排4人, 其中甲乙在前排, 丁在后排, 共有多少排法六、重排問(wèn)題方冪策略（住店、投郵、影射）12、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí), 共有多少種不同的分法13、某8層大

7、樓從一樓電梯上來(lái)8名乘客人, 他們 到各自的一層下電梯, 則他們下電梯的方法有多少種？七. 構(gòu)造模型的策略14、10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中, 每盒至少一個(gè)有多少裝法？15、 方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？八、排列組合混合問(wèn)題先選后排策略16、有5個(gè)不同的小球, 裝入4個(gè)不同的盒內(nèi), 每盒至少裝一個(gè)球, 共有多少不同的裝法.17、一個(gè)班有6名戰(zhàn)士, 其中正副班長(zhǎng)各1人，現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù), 每人完成一種任務(wù), 且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加, 則不同的選法有_ 種九、. 正難則反總體淘汰策略18、我們班里有43位同學(xué), 從中任抽5人, 正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法

8、有多少種?十、無(wú)編號(hào)平均分組問(wèn)題除法策略19、6本不同的書(shū)平均分成3堆, 每堆2本共有多少分法？20、10名學(xué)生分成3組, 其中一組4人, 另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組, 有多少種不同的分組方法21、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為十一 化歸策略22、 25人排成5×5方隊(duì), 現(xiàn)從中選3人, 要求3人不在同一行也不在同一列, 不同的選法有多少種？23、某城市的街區(qū)由4 5條街道組成，從西南A 走到東北B 的最短路徑有多少種？三、練習(xí)題組：1、7種不同的花種在排成一列的花盆里, 若兩種葵花不種在中間，

9、也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？2、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí), 共有多少種不同的分法3.(1在 這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中, 各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有( ）(A36個(gè) (B24個(gè) (C18個(gè) (D6個(gè)(2從4名男生和3名女生中選出3人, 分別從事三項(xiàng)不同的工作, 若這3人中至少有1名女生, 則選派方案共有( (A108種 (B186種 (C216種 (D270種(3在數(shù)字1,2,3與符號(hào)+,-五個(gè)元素的所有全排列中, 任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是( A.6 B. 12 C. 18 D. 24(4高三(一 班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂(lè)節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝

10、節(jié)目的演出順序, 要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排, 則不同排法的種數(shù)是( (A1800 (B3600 (C4320 (D50404.(1用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù), 則其中數(shù)字1,2相鄰的偶數(shù)有 個(gè)(用數(shù)字作答;(2電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告, 其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告, 要求首尾必須播放公益廣告, 則共有 種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示.5.(1將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí), 每班至少1名, 最多2名, 則不同的分配方案有( (B90 種 (C180 種 (D270 種 (A30 種 (2將 4 個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為 1 和 2 的兩個(gè)

11、盒子里,使得放入每個(gè)盒子里 的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有( A.10 種 B.20 種 C.36 種 D.52 種 6.(1某校從 8 名教師中選派 4 名教師同時(shí)去 4 個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地 1 人,其中甲和乙不同 去,則不同的選派方案共有 種; (25 名志愿者分到 3 所學(xué)校支教,每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者,則不同的分派方法共有 (A150 種 (B180 種 (C200 種 (D280 種 7、 .已知直線(xiàn) ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的 3 個(gè)不同的元素,并且 該直線(xiàn)的傾斜角為銳角,求符合這些條件的直線(xiàn)的條數(shù) 8

12、、甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包 8 項(xiàng)工程，甲公司承包 3 項(xiàng)工程，乙公司承包 1 項(xiàng)，丙、 丁各承包 2 項(xiàng)，問(wèn)共有 種承包方式？ 9、 停車(chē)場(chǎng)劃出一排 12 個(gè)停車(chē)位置，今有 8 輛車(chē)需要停放，要求空位置連在一起，不同的 停車(chē)方法有多少種？ 10、x+y+z+w=100 求這個(gè)方程組的正整數(shù)解的組數(shù) 11、.設(shè)有編號(hào) 1,2,3,4,5 的五個(gè)球和編號(hào) 1,2，3,4,5 的五個(gè)盒子,現(xiàn)將 5 個(gè)球投入這五個(gè)盒子 內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法 12、.正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線(xiàn) 13、3 個(gè)人坐在一排 8 個(gè)椅子上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法的種類(lèi)有多少種？ 14 （2008 陜西，16）某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線(xiàn)共分 6 段，傳遞活動(dòng)分別由 6 名火炬手完 成。如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩 人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種（用數(shù)字作答） 。 15.（2009